2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（文科）試題（天津卷）

2016年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1．（5分）（2016?天津）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，則A∩B=（）A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}考點(diǎn)：集合的概念及其基本運(yùn)算難度：中等解析：根據(jù)題意，集合A={1，2，3}，而B={y|y=2x﹣1，x∈A}，則B={1，3，5}，則A∩B={1，3}，故選：A．2．（5分）（2016?天津）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．考點(diǎn)：古典概型難度：中等解析：∵甲不輸與甲、乙兩人下成和棋是互斥事件．∴根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式可知：甲不輸?shù)母怕蔖=+=．故選：A．3．（5分）（2016?天津）將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）A． B． C． D．考點(diǎn)：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖難度：中等解析：由主視圖和俯視圖可知切去的棱錐為D﹣AD1C，棱CD1在左側(cè)面的投影為BA1，故選B．4．（5分）（2016?天津）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，則雙曲線的方程為（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1考點(diǎn)：雙曲線難度：中等解析：∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距為2，∴c=，∵雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，∴=，∴a=2b，∵c2=a2+b2，∴a=2，b=1，∴雙曲線的方程為=1．故選：A．5．（5分）（2016?天津）設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)：命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件難度：中等解析：設(shè)x＞0，y∈R，當(dāng)x=0，y=﹣1時(shí)，滿足x＞y但不滿足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，則“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”?“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分條件，故選：C．6．（5分）（2016?天津）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（，） D．（，+∞）考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及其最值難度：中等解析：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故選：C．7．（5分）（2016?天津）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用難度：中等解析：如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且DE=2EF，∴?========．故選：B．8．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及其最值難度：較難解析：函數(shù)f（x）=+sinωx﹣=+sinωx=，由f（x）=0，可得=0，解得x=?（π，2π），∴ω?∪∪∪…=∪，∵f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點(diǎn)，∴ω∈∪．故選：D．二、填空題本大題6小題，每題5分，共30分9．（5分）（2016?天津）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2，則z的實(shí)部為1．考點(diǎn)：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入難度：中等解析：由（1+i）z=2，得，∴z的實(shí)部為1．故答案為：1．10．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=（2x+1）ex，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（0）的值為3．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用難度：中等解析：∵f（x）=（2x+1）ex，∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex，∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．故答案為：3．11．（5分）（2016?天津）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為4．考點(diǎn)：算法與程序框圖、基本算法語句難度：中等解析：第一次循環(huán)：S=8，n=2；第二次循環(huán)：S=2，n=3；第三次循環(huán)：S=4，n=4，結(jié)束循環(huán)，輸出S=4，故答案為：4．12．（5分）（2016?天津）已知圓C的圓心在x軸正半軸上，點(diǎn)（0，）圓C上，且圓心到直線2x﹣y=0的距離為，則圓C的方程為（x﹣2）2+y2=9．考點(diǎn)：圓的方程難度：中等解析：由題意設(shè)圓的方程為（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），由點(diǎn)M（0，）在圓上，且圓心到直線2x﹣y=0的距離為，得，解得a=2，r=3．∴圓C的方程為：（x﹣2）2+y2=9．故答案為：（x﹣2）2+y2=9．13．（5分）（2016?天津）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為．考點(diǎn)：直線、圓的位置關(guān)系難度：中等解析：如圖，過D作DH⊥AB于H，∵BE=2AE=2，BD=ED，∴BH=HE=1，則AH=2，BH=1，∴DH2=AH?BH=2，則DH=，在Rt△DHE中，則，由相交弦定理可得：CE?DE=AE?EB，∴．故答案為：．14．（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2﹣恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是[，）．考點(diǎn)：函數(shù)模型及其應(yīng)用難度：中等解析：∵f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上單調(diào)遞減，y=loga（x+1）+1在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴，解得≤a≤．作出y=|f（x）|和y=2﹣的函數(shù)草圖如圖所示：∵|f（x）|=2﹣恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，∴3a＜2，即a．綜上，．故答案為[，）．三、解答題：本大題共6小題，80分15．（13分）（2016?天津）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．考點(diǎn)：解三角形的應(yīng)用難度：中等解析：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．16．（13分）（2016?天津）某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示：ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車品乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元、分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．（1）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（2）問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，求出此最大利潤．考點(diǎn)：二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃難度：中等解析：（1）x，y滿足的條件關(guān)系式為：．作出平面區(qū)域如圖所示：（2）設(shè)利潤為z萬元，則z=2x+3y．∴y=﹣x+．∴當(dāng)直線y=﹣x+經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，截距最大，即z最大．解方程組得B（20，24）．∴z的最大值為2×20+3×24=112．答：當(dāng)生產(chǎn)甲種肥料20噸，乙種肥料24噸時(shí)，利潤最大，最大利潤為112萬元．17．（13分）（2016?天津）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G為BC的中點(diǎn)．（1）求證：FG∥平面BED；（2）求證：平面BED⊥平面AED；（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．考點(diǎn)：立體幾何綜合難度：中等解析：證明：（1）BD的中點(diǎn)為O，連接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中點(diǎn)，∴OG∥DC，且OG=DC=1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF=0G，即四邊形OGEF是平行四邊形，∴FG∥OE，∵FG?平面BED，OE?平面BED，∴FG∥平面BED；（2）證明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理可得BD=，僅而∠ADB=90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，∴BD⊥平面AED，∵BD?平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，連接BH，又平面BED∩平面AED=ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直線AB與平面BED所成的角為∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=，由余弦定理得cos∠ADE=，∴sin∠ADE=，∴AH=AD?，在Rt△AHB中，sin∠ABH==，∴直線EF與平面BED所成角的正弦值18．（13分）（2016?天津）已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{（﹣1）nb}的前2n項(xiàng)和．考點(diǎn)：數(shù)列的綜合應(yīng)用難度：較難解析：（1）設(shè){an}的公比為q，則﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，則S6=0，與S6=63矛盾，不符合題意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴an=2n﹣1．（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中項(xiàng)，∴bn=（log2an+log2an+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．∴bn+1﹣bn=1．∴{bn}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．設(shè){（﹣1）nbn2}的前2n項(xiàng)和為Tn，則Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．19．（14分）（2016?天津）設(shè)橢圓+=1（a＞）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知+=，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直線l的斜率．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系難度：較難解析：（1）由+=，得+=，即=，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴橢圓方程為；（2）由已知設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣2），（k≠0），設(shè)B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA=∠MAO，∴x0=1，再設(shè)H（0，yH），聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根與系數(shù)的關(guān)系得，∴，，MH所在直線方程為y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），令x=0，得yH=（k+）x0﹣2k，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1yH=1﹣[（k+）x0﹣2k]=0，整理得：=1，即8k2=3．∴k=﹣或k=．20．（14分）（2016?天津）設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=0；（3）設(shè)a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值不小于．考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用難度：較難解析：（1）若f（x）=x3﹣ax﹣b，則f′（x）=3x2﹣a，分兩種情況討論：①、當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），②、當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=或x=，當(dāng)x＞或x＜﹣時(shí)，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)﹣＜x＜時(shí)，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）為減函數(shù)，故f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣），（，+∞），減區(qū)間為（﹣，）；（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，則必有a＞0，且x0≠0，由題意可得，f′（x）=3x2﹣a，則x02=，進(jìn)而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣x0﹣b，又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣x0+2ax0﹣b=f（x0），由題意及（Ⅰ）可得：存在唯一的實(shí)數(shù)x1，滿足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，則有x1=﹣2x0，故有x1+2x0=0；（Ⅲ）設(shè)g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y兩個(gè)數(shù)的最大值，下面分三種情況討論：①當(dāng)a≥3時(shí)，﹣≤﹣1＜1≤，由（I）知f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的取值范圍是[f（1），f（﹣1）]，因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}=max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}=，所以M=a﹣1+|b|≥2②