勾股定理地應(yīng)用實(shí)例解析匯報(bào)

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第十一講 勾股定理與應(yīng)用時(shí)間：2005-9-916:11:00 來源：初中數(shù)學(xué)競賽 作者：佚名在課內(nèi)我們學(xué)過了勾股定理及它的逆定理．勾股定理 直角三角形兩直角邊 a，b的平方和等于斜邊 c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理 如果三角形三邊長 a，b，c有下面關(guān)系：a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形．早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法．關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的． 下面的證法是歐幾里得證法．證法1如圖2-16所示．在 Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形 ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是 c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積之和．過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因?yàn)锳B=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案所以SAEML=b2．①同理可證SBLMD=a2．②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即c2=a2+b2．證法2如圖2-17所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c，BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB為邊長是 c的正方形．顯然，正方形 CDEF的面積等于正方形 AGHB的面積與四個(gè)全等的直角三角形 (△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案化簡得a2+b2=c2．證法3如圖2-18．在直角三角形 ABC的斜邊AB上向外作正方形 ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF，DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．設(shè)五邊形ACKDE的面積為 S，一方面S=SABDE+2S△ABC，①另一方面S=SACGF+SHGKD+2S△ABC．②由①，②文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案所以c2=a2+b2．關(guān)于勾股定理，在我國古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法， 我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國古代數(shù)學(xué)家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論．定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和， 減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊 (或其延長線)上的射影的乘積的 2倍．證(1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D，則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，2 2 2AB=AD+BD，①在直角三角形 ACD中，2 2 2AD=AC-CD，②又2 2BD=(BC-CD)，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2 2 2 2=AC-CD+BC+CD-2BC·CD2 2=AC+BC-2BC·CD，即c2=a2+b2-2a·CD．④設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示．過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影．在直角三角形 ABD中，2 2 2AB=AD+BD，⑤在直角三角形 ACD中，2 2 2AD=AC-CD，⑥又2 2BD=(BC+CD)，⑦將⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)22 2 2 2=AC-CD+BC+CD+2BC·CD2 2=AC+BC+2BC·CD，即文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案c2=a2+b2+2a·cd．⑧綜合④，⑧就是我們所需要的結(jié)論特別地，當(dāng)∠ C=90°時(shí)，CD=0，上述結(jié)論正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)．由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對于角的影響．在△ABC中，(1)222若c=a+b，則∠C=90°；(2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90°．勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形 (及多邊形)的問題中有著廣泛的應(yīng)用．例1如圖2-21所示．已知：在正方形 ABCD中，∠BAC的平分線交 BC于E，作EF⊥AC2于F，作FG⊥AB于G．求證：AB=2FG．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明△ABE≌△AFE．文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證因?yàn)锳E是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以AF=AB．①在Rt△AGF中，因?yàn)椤螰AG=45°，所以AG=FG，2222．②AF=AG+FG=2FG由①，②得2 2AB=2FG．說明事實(shí)上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們意識(shí)到兩個(gè)直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個(gè)直角三角形中，可以利用勾股定理進(jìn)行證明了．例2如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：2222AB+AC=2(AM+BM)．證過A引AD⊥BC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi))．由廣勾股定理，在△ ABM中，2 2 2AB=AM+BM+2BM·MD．①在△ACM中，2 2 2AC=AM+MC-2MC·MD．②文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案①+②，并注意到 MB=MC，所以2 2 2 2AB+AC=2(AM+BM)．③如果設(shè)△ABC三邊長分別為 a，b，c，它們對應(yīng)邊上的中線長分別為 ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長的公式．推論 △ABC的中線長公式：說明三角形的中線將三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是銳角三角形，另一個(gè)是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項(xiàng)，獲得中線公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長．例3如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點(diǎn)連線平方的4倍．分析如圖2-23所示．對角線中點(diǎn)連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題．證設(shè)四邊形 ABCD對角線AC，BD中點(diǎn)分別是 Q，P．由例2，在△BDQ中，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案即2 2 2 22BQ+2DQ=4PQ+BD．①在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以將②，③代入①得2 2=4PQ+BD，即2 2 2 2 2 2 2AB+BC+CD+DA=AC+BD+4PQ．說明 本題是例 2的應(yīng)用．善于將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知的方法．下面，我們再看兩個(gè)例題，說明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用．例4如圖2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點(diǎn)．求2222證：AD+BE=AB+DE．分析 求證中所述的 4條線段分別是 4個(gè)直角三角形的斜邊， 因此考慮從勾股定理入手．2 2 2 2 2 2證AD=AC+CD，BE=BC+CE，所以文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2 2 2 2 2 2 2 2AD+BE=(AC+BC)+(CD+CE)=AB+DE例5求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的 4倍等于斜邊平方的 5倍．如圖2-25所示．設(shè)直角三角形 ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線．求證：2 2 24(AM+BN)=5AB．分析 由于AM，BN，AB均可看作某個(gè)直角三角形的斜邊， 因此，仿例 4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例 4的特殊情況——即 M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，那么可直接利用例 4的結(jié)論，使證明過程十分簡潔．證連接MN，利用例 4的結(jié)論，我們有2 2 2 2AM+BN=AB+MN，所以4(AM2222+BN)=4AB+4MN．①由于M，N是BC，AC的中點(diǎn)，所以所以4MN2=AB2．②文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由①，②2 2 24(AM+BN)=5AB．說明 在證明中，線段 MN稱為△ABC的中位線，以后會(huì)知道中位線的基本性質(zhì)：“ MN∥AB且MN= 圖2-26所示．MN是△ABC的一條中位線，設(shè)△ ABC的面積為 S．由于M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，所以 S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△ CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又 S△ABM= 高相同，而 S△ABM=2S△BMN，所以 AB=2MN．練習(xí)十一1．用下面各圖驗(yàn)證勾股定理 (虛線代表輔助線 )：趙君卿圖(圖2-27)；(2)項(xiàng)名達(dá)圖(2-28)；文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(3)楊作枚圖(圖2-29)．2 2 2 22．已知矩形 ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證： PA+PC=PB+PD．(提示：應(yīng)分三種情形加以討論， P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，均有這個(gè)結(jié)論．)3．由△ABC內(nèi)任意