數(shù)值計(jì)算 第一章 緒論

同學(xué)們新學(xué)期好！下一頁(yè)

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1主講教師：彭葉輝馮和英計(jì)算方法Instructor: PENGYehui&FENGHeying

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QQ:446806582NumericalAnalysis計(jì)算方法數(shù)值分析、數(shù)值方法、數(shù)值計(jì)算方法上一頁(yè)下一頁(yè)返回

3目錄第一章緒論第二章插值法第三章函數(shù)的最佳逼近第四章數(shù)值積分和數(shù)值微分第六章線性方程組的迭代解法第五章線性方程組的直接解法第七章非線性方程和方程組的數(shù)值解法第八章矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值解法第九章常微分方程的數(shù)值解法上一頁(yè)下一頁(yè)返回4第三節(jié)數(shù)值穩(wěn)定性和要注意的若干原則第一節(jié)數(shù)值計(jì)算方法的研究對(duì)象和特點(diǎn)第二節(jié)數(shù)值計(jì)算的誤差第一章緒論上一頁(yè)下一頁(yè)返回

第四節(jié)向量和矩陣的范數(shù)5§1計(jì)算方法的研究對(duì)象和特點(diǎn)

(1)數(shù)學(xué)的一個(gè)分支、數(shù)學(xué)與其它應(yīng)用學(xué)科的橋梁提問(wèn)：計(jì)算方法有什么重要地位和作用？上一頁(yè)下一頁(yè)

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“21世紀(jì)的大部分科學(xué)與工程將建立在數(shù)學(xué)科學(xué)的基礎(chǔ)上”

19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)“音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切”6隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法已深入到計(jì)算物理、計(jì)算力學(xué)、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。

(2)其它學(xué)科發(fā)展迫切需要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與仿真，“科學(xué)與工程計(jì)算”已經(jīng)成為平行于理論分析和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的第三種科學(xué)手段.7計(jì)算方法的研究對(duì)象和內(nèi)容：研究求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及其理論，并且將方法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，求出問(wèn)題的數(shù)值解，或者說(shuō)是問(wèn)題的近似解。注意：我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，不但要掌握并會(huì)使用算法，還要重視必要的理論分析，即分析算法的收斂性、穩(wěn)定性、誤差分析等，這樣才能保證計(jì)算結(jié)果的可靠性。上一頁(yè)下一頁(yè)

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8§2數(shù)值計(jì)算的誤差

/*Error*/一、誤差的來(lái)源與分類/*Source&Classification*/

從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差

/*ModelingError*/

通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值

——觀測(cè)誤差

/*MeasurementError*/確定數(shù)值方法求近似解

——方法誤差(截?cái)嗾`差

/*TruncationError*/)

進(jìn)行計(jì)算求得近似解——舍入誤差

/*RoundoffError*/上一頁(yè)下一頁(yè)

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計(jì)算方法這門課程主要討論截?cái)嗾`差和舍入誤差，截?cái)嗾`差主要涉及方法的收斂性，舍入誤差則涉及到方法的穩(wěn)定性。9大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱為截?cái)嗾`差/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.743……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起上一頁(yè)下一頁(yè)

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10絕對(duì)誤差

/*absoluteerror*/設(shè)x為精確值，x*為x的近似值,記二、誤差與有效數(shù)字/*ErrorandSignificantDigits*/相對(duì)誤差

/*relativeerror*/稱e為近似值的絕對(duì)誤差或誤差.上一頁(yè)下一頁(yè)

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由于精確值x

通常是不知道的，實(shí)際中總將下式作為x*的相對(duì)誤差:11稱為x*的相對(duì)誤差界

/*relativeaccuracy*/

顯然,是的上界,即。上一頁(yè)下一頁(yè)

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絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限（界）一般求絕對(duì)誤差是很困難的，但往往可以估計(jì)出絕對(duì)誤差的上限，即：可找到一個(gè)正數(shù)，使得，滿足上式的稱為近似數(shù)的絕對(duì)誤差界，或簡(jiǎn)稱為誤差界。故有時(shí)也可寫成：。12實(shí)際問(wèn)題中所截取的近似數(shù)，其絕對(duì)誤差界一般不會(huì)超過(guò)最小刻度的半個(gè)單位，因而上一頁(yè)下一頁(yè)

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13有效數(shù)字

/*significantdigits*/用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數(shù)字，精確到。例：?jiǎn)枺河袔孜挥行?shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第位。43上一頁(yè)下一頁(yè)

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14如果一個(gè)數(shù)的近似值的誤差的絕對(duì)值不超過(guò)的這一位開始，直到它某一位的半個(gè)單位，則從前面的第一個(gè)非零數(shù)字為止的所有數(shù)字，叫有效數(shù)字。

例：取的近似值分別為：0.051，0.0510，0.05100，0.0509，0.05099時(shí)，其有效數(shù)字位數(shù)分別為：23423上一頁(yè)下一頁(yè)

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注：0.2300有4位有效數(shù)字，而0.0023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！15三、有效數(shù)字與誤差限的關(guān)系設(shè)的近似值

為其中m為整數(shù),分別是0到9中的某個(gè)數(shù)字且，如果具有n位有效數(shù)字，則有即其絕對(duì)誤差限為。在m相同的情況下，n越大，越小。即有效數(shù)字位數(shù)越多，絕對(duì)誤差限越小。上一頁(yè)下一頁(yè)

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16有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系

有效數(shù)字

相對(duì)誤差限已知x*有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為相對(duì)誤差限有效數(shù)字已知x*的相對(duì)誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數(shù)字。上一頁(yè)下一頁(yè)

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17設(shè)的近似值

由式(*)表示，若具有n

位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為，反之，若

x*的相對(duì)誤差限滿足，則x*至少具有

n

位有效數(shù)字。定理1有效數(shù)字位數(shù)越多，相對(duì)誤差限越?。环粗嗳?。上一頁(yè)下一頁(yè)

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18例：為使的相對(duì)誤差限小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n

位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為要保證其相對(duì)誤差限小于0.001%，只要保證滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6lg6，即n6，應(yīng)取*=3.14159。上一頁(yè)下一頁(yè)

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19四、函數(shù)求值的誤差估計(jì)

/*ErrorEstimationforFunctions*/問(wèn)題：對(duì)于y=f(x)，若用x*

取代x，將對(duì)y

產(chǎn)生什么影響？分析：e(y)=f(x*)f(x)e(x)=x*x=f’()(x*x)x*與x非常接近時(shí)，可認(rèn)為f’()

f’(x*)，則有：|e(y)||f’(x*)|·|e(x)|即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過(guò)f作用后被放大/縮小了|f’(x*)|倍。上一頁(yè)下一頁(yè)

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20上一頁(yè)下一頁(yè)

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21例:

計(jì)算y=ln

x。若x

20，則取x

的幾位有效數(shù)字可保證y

的相對(duì)誤差<0.1%?解：設(shè)截取

n

位有效數(shù)字后得x*

x，則于是x

和y

的相對(duì)誤差上限滿足近似關(guān)系不知道怎么辦??？x

可能是20.#，也可能是19.#，取最壞情況，即a1=1。n4上一頁(yè)下一頁(yè)

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22三、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)23例設(shè)有3個(gè)近似數(shù)

a=2.31，b=1.93，c=2.24，它們都有3位有效數(shù)字，試計(jì)算p=a+bc的誤差界和相對(duì)誤差界，并問(wèn)p的計(jì)算結(jié)果能有幾位有效數(shù)字？解：p=2.31+1.93×2.24=6.6332于是有誤差限相對(duì)誤差限故p=6.6332有2位有效數(shù)字.上一頁(yè)下一頁(yè)

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24§3數(shù)值計(jì)算的若干原則

一、使用數(shù)值穩(wěn)定的算法上一頁(yè)下一頁(yè)

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數(shù)值穩(wěn)定的算法：初始誤差在計(jì)算過(guò)程中能夠得到控制的算法。即：在運(yùn)算過(guò)程中舍入誤差不增長(zhǎng)的算法。

算法：是指按某種規(guī)定的順序進(jìn)行運(yùn)算的一個(gè)運(yùn)算序列，它是實(shí)施計(jì)算的具體方案。25例：計(jì)算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!上一頁(yè)下一頁(yè)

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26考察第n步的誤差我們必須改變算法。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增走勢(shì)?？梢姵跏嫉男_動(dòng)公式二：注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇∩弦豁?yè)下一頁(yè)

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27取

Wejustgotlucky?上一頁(yè)下一頁(yè)

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28考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。上一頁(yè)下一頁(yè)

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291.

避免相近二數(shù)相減(嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字,使誤差限增大)例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：上一頁(yè)下一頁(yè)

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二、避免有效數(shù)字的損失302.

避免小分母

:分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出/*overflow*/用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù),會(huì)使誤差增大,例如：x*的誤差為0.5×10-3,則y*=x*/10-7的誤差將為0.5×10-3/10-7=5000再如：2.02/10-7=2.02×107，若分母10-7有一個(gè)很小的誤差0.01×10-7,即分母變?yōu)?.01×10-7,則2.02/(1.01×10-7)=2.00×107,其誤差為2.02×107-2.00×107＝2×105，是很大的.用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù),還可能會(huì)因計(jì)算溢出而死機(jī).上一頁(yè)下一頁(yè)

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313.

避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時(shí)就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)上一頁(yè)下一頁(yè)

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32注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+100+109三、注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為算法2：先解出再利用上一頁(yè)下一頁(yè)

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33例計(jì)算下列n次多項(xiàng)式：解：方案一直接計(jì)算此時(shí)所需的乘法次數(shù)為：此時(shí)所需的加法次數(shù)為：方案二（秦九韶算法）

考慮到：則有

此時(shí)所需的加法次數(shù)為：n；所需的乘法次數(shù)為：n顯然方案二的計(jì)算次數(shù)比方案一的計(jì)算次數(shù)要少。上一頁(yè)下一頁(yè)

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34一、向量的范數(shù)

/*vectorandmatrixnorms*/定義

Rn空間的向量范數(shù)

||·||對(duì)任意滿足下列條件:（正定性

/*positivedefinite*/)對(duì)任意(齊次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)常用向量范數(shù)：==niixx11||||||==niixx122||||||pnipipxx/11||||||==||max||||1inixx=注：也稱為向量的?！?向量和矩陣的范數(shù)上一頁(yè)下一頁(yè)

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35定義向量序列收斂于向量是指對(duì)每一個(gè)1in都有?？梢岳斫鉃槎ɡ鞷n

上一切范數(shù)都等價(jià)。例如：上一頁(yè)下一頁(yè)

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36二、矩陣的范數(shù)

/*matrixnorms*/定義

Rn

n空間的矩陣范數(shù)

||·||對(duì)任意滿足：（正定性

/*positivedefinite*/)對(duì)任意(齊次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)(4)*||AB||||A||·||B||

（相容

/*consistent*/)定義

設(shè)x是方程組Ax＝b

的準(zhǔn)確解向量,x*

是其近似解向量,則分別稱為x