第7章1 常微分方程的數(shù)值解法

常微分方程的數(shù)值解法

第7章考慮常微分方程的初值問(wèn)題

(7-1)

(7-2)則（7-1）的解存在且唯一。

或與其等價(jià)的積分方程

若f(t,u)關(guān)于u滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L，對(duì)任意t∈[a,b],均有

它是一種離散化方法，利用這種方法，可以在一系列事先求出其上的未知函數(shù)u(t)之值的近似值:而u1,u2,…,uN通常稱為初值問(wèn)題的數(shù)值解。

首先我們利用數(shù)值積分公式建立求解（7-1）或（7-2）的數(shù)值方法。什么是數(shù)值解法？通常取成等距，即ti=t0+ih,i=1,2,…,N,其中h>0稱為步長(zhǎng)。取定的[a,b]中的離散點(diǎn)（稱為節(jié)點(diǎn)）基于數(shù)值積分的解法

由（7-2）式將節(jié)點(diǎn)取為（7-3）

如果u(tn)的近似值un已經(jīng)求出，則通過(guò)計(jì)算(7-3)右端項(xiàng)的數(shù)值積分可求出u(tn+1)的近似值un+1令

上式稱為Euler求解公式，又稱矩形公式。一、Euler法首先，對(duì)(7-2)右端積分項(xiàng)使用左矩形求積公式，則得用Euler公式計(jì)算如下初值問(wèn)題的解u(t)在t=0.3處的數(shù)值解u3。

例：（取步長(zhǎng)h=0.1,小數(shù)點(diǎn)后保留4位）

解：

相應(yīng)的Euler公式：由初值，計(jì)算得首先，對(duì)(7-3)右端積分項(xiàng)使用右矩形求積公式，則得令

上式稱為隱式Euler公式，又稱右矩形公式。隱式Euler法二、梯形法對(duì)(7-2’)右端的積分使用梯形求積分式計(jì)算，則得令上式稱為梯形求解公式，簡(jiǎn)稱梯形法．

將Euler公式與隱式Euler公式做算術(shù)平均，也可得出梯形公式取初值為，反復(fù)迭代，即一般的迭代公式表示為：k=0,1,2,…,梯形公式與Euler公式相比要精確的多，但是梯形公式的從而要用如下迭代公式：每步計(jì)算要解一個(gè)關(guān)于un+1的非線性方程，計(jì)算量要大一些。，，，

若序列收斂于，當(dāng)時(shí)，得到：則取為第個(gè)近似值。

如此迭代下去得到迭代序列：，，在實(shí)際計(jì)算中，通常要求滿足

為終止條件，此時(shí)取作為的近似值。

為了避免求解非線性代數(shù)方程，可以用Euler法將它顯化，建立預(yù)測(cè)——校正系統(tǒng)：此求解公式稱為改進(jìn)的Euler法，其中稱為預(yù)測(cè)值，稱為校正值.其求解順序?yàn)椋焊倪M(jìn)的Euler法還可寫(xiě)成如下形式：如果f(t,u(t))關(guān)于u是線性函數(shù)，則隱式公式可以顯式化。

例若方程為：

隱式Euler公式：

，

梯形公式：

三、Milne公式若使用Simpson求積公式，得

令

進(jìn)一步可寫(xiě)成其中

此為二步方法，需要已知un和un+1，才能由上式計(jì)算出un+2的值。二步以上的方法也稱為多步法。定義

為求解公式在tn點(diǎn)上的整體截?cái)嗾`差。衡量求解公式好壞的一個(gè)主要標(biāo)準(zhǔn)是求解公式的精度。定義假設(shè)ui=(u(ti))，i=0,1,2,…,n-1，則稱為求解公式第n步的局部截?cái)嗾`差。

如果設(shè)某求解公式的局部截?cái)嗾`差：這樣我們就稱該求解公式具有p階精度。則我們可以證明其整體截?cái)嗾`差為：事實(shí)上，若則

求解公式的精度越高，計(jì)算解的精確性可能越好。的分析，可知Euler法具有一階精度，梯形法具二階精度。通過(guò)簡(jiǎn)單下面利用Taylor展開(kāi)，求Euler法的局部截?cái)嗾`差

線性二步法公式：在前面，我們介紹了基于數(shù)值積分的特殊的單步法與多步法。顯式單步法Euler公式:單步法一般可寫(xiě)成：其中φ是依賴于(7-1)右端的函數(shù)f(t,u)。

當(dāng)取φ=f(tn,un)時(shí)，為Euler法；

當(dāng)取φ=f(tn+1,un+1)時(shí)，為隱式Euler法；當(dāng)取時(shí)，為梯形法。用到前一結(jié)點(diǎn)的值un-1,所以從初值u0出發(fā)可逐步算出以后各結(jié)點(diǎn)的值u1,u2,…,通過(guò)（7-3）計(jì)算結(jié)點(diǎn)tn=t0+nh,n=0,1,2,…的近似值un,每次只故稱為單步法。基于Taylor展開(kāi)的解法

線性多步法的一般公式為：是常數(shù)，（7-4）其中和不同時(shí)為0。按（7-4）計(jì)算un+k時(shí)要用到前面k個(gè)結(jié)點(diǎn)值因此稱（7-4）為多步法

或k-步法。又因?yàn)椋?-4）關(guān)于是線性的，所以稱為線性多步法。為使多步法的計(jì)算能夠進(jìn)行，除給定的初值u0

外，還要知道附加初值u1,u2,…,uk-1，這可用其它方法計(jì)算。若βk≠0,則方法（7-4）是隱式的。則稱（7-4）是顯式的；若βk=0例如，對(duì)于線性二步法：當(dāng)取時(shí)，就是Milne法。或（數(shù)值解滿足的差分方程）我們將基于Taylor展開(kāi)式來(lái)構(gòu)造出更一般的求解公式。1、基于Taylor展開(kāi)式的求解公式(單步法、多步法)2、顯式Runge-Kutta法(單步法)用數(shù)值積分法只能構(gòu)造一類特殊的多步法，本節(jié)這將包含如下的內(nèi)容：初值問(wèn)題（7-1），（7-2）的解充分光滑，將u(t)在t0處用Taylor公式展開(kāi)：(7-5)其中(7-6)令舍去余項(xiàng)(7-7)則可將（7-5）改寫(xiě)成為，則得一般而言，若已知un，則這是一個(gè)單步法，局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，(7-7),由（7-6）

當(dāng)p=1時(shí)，它是Euler法。展開(kāi)法做數(shù)值計(jì)算，但可用它計(jì)算附加值。一般不直接用Taylor

令(7-28)設(shè)u(t)是初值問(wèn)題（7-1），（7-2）的解，將u(t+jh)和在點(diǎn)t處進(jìn)行Taylor展開(kāi),將上式代入（7-28）式，得2.待定系數(shù)法將下式按h的同次冪合并同類項(xiàng)，得記為其中即有(7-30)若u(t)有p+2次連續(xù)微商，則可選取適當(dāng)k和αj，βj使而cp+1≠0,即選αj和β

j滿足：此時(shí)而，則cp+1hp+1u(p+1)(t)稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng);cp+1稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)系數(shù)。舍去余項(xiàng)Rn，并un+j代替u(tn+jh)，用fn+j記f(tn+j,un+j)，就得到

線性多步法（7-24），其局部截?cái)嗾`差為：可以證明其整體截?cái)嗾`差En=O(hp)，故稱為p階k步法。因?yàn)椋?-24）可以相差一個(gè)非零常數(shù)，所以不妨設(shè)αk=1。

當(dāng)βk=0時(shí),un+k可用un+k-1,…，un直接表示，故稱為顯式法。

反之，當(dāng)βk≠0時(shí)，求un+k需解一個(gè)方程(一般用迭代法),用待定函數(shù)法構(gòu)造多步法的一個(gè)基本要求是選取αj,βj使局部截?cái)嗾`差的階盡可能高。下面我們討論構(gòu)造一般線性二步法公式的待定系數(shù)法。記α0=α,其余四個(gè)系數(shù)由確定，即滿足方程：稱為隱式法。此時(shí)解之得所以一般二步法為(7-31)由（7-30）知道:當(dāng)α≠-1時(shí)c4≠0

，方法（7-31）是三階二步法。

這是四階二步法，是具有最高階的二步法，稱為Milne方法。當(dāng)α=-1時(shí)c4=0

，但c5≠0，方法（7-31）化為：

此外，若取α=0,則（7-31）為：

此為二步隱式Adams方法；若取α=-5，則（7-31）為：是顯式方法。用類似的計(jì)算過(guò)程可獲得一些常用的線性多步法的局部截?cái)嗾`差。當(dāng)k=1時(shí)，梯形法（二階隱式方法）：其中α1=1,α0=-1,，從而有，其局部截?cái)嗾`差為后Euler法（一階隱式方法）其中α1=1,α

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