第3章習(xí)題解答

3.1一質(zhì)量為，邊長為的等邊三角形薄板，求繞垂直于薄板平面并通過其頂點的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解1：三角形的頂點與質(zhì)心的距離為，設(shè)所求轉(zhuǎn)動慣量為，垂直于薄板平面并通過其質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，利用平行軸定理，。YX取直角坐標(biāo)系原點位于轉(zhuǎn)軸與邊的交點，三角形的一個頂點位于處，等邊三角形薄板的面密度為，通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為由于該積分區(qū)域是對軸對稱的，積分區(qū)間從到，的積分區(qū)間從到(單位均為L)。將上述積分化為，其中，，[是由于積分號內(nèi)的單位被提出][令]所以：解2：在薄板平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系，原點即為通過轉(zhuǎn)軸的三角形頂點，另兩個頂點分別位于，，如下圖所示。YX則而由于該積分區(qū)域是對軸對稱的，積分區(qū)間從到，的積分區(qū)間從到(單位均為L)。上述積分化為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動的角速度為，求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。解：外力做功為，帶子松開的長度為L時，系統(tǒng)動能為，所以3.4質(zhì)量為長為的均質(zhì)桿，其B端水平的放在桌上，A端用手支住，問在突然撒手的瞬時，(1)繞B點的力矩和角加速度各是多少？(2)桿的質(zhì)心加速度是多少？解：(1)繞B點的力矩由重力產(chǎn)生，設(shè)桿的線密度為，，則繞B點的力矩為桿繞B點的轉(zhuǎn)動慣量為角加速度為(2)桿的質(zhì)心加速度為3.6飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r/min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)μ=0.4，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。解：設(shè)在飛輪接觸點上所需要的壓力為，則摩擦力為，摩擦力的力矩為，在制動過程中，摩擦力的力矩不變，而角動量由變化到0，所以由有解得。由桿的平衡條件得。3.7如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為與，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為。⑴如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與(設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動)；⑵如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與。解：⑴先做受力分析，物體1受到重力和繩的張力，對于滑輪，受到張力和，對于物體2，在水平方向上受到摩擦力和張力，分別列出方程[][]通過上面三個方程，可分別解出三個未知量3.8電動機帶動一個轉(zhuǎn)動慣量為I=50kg·m2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動。在0.5s內(nèi)由靜止開始最后達到120r/min的轉(zhuǎn)速。假定在這一過程中轉(zhuǎn)速是均勻增加的，求電動機對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)施加的力矩。解：由于轉(zhuǎn)速是均勻增加的，所以角加速度為從而力矩為3.9求題3.6中制動力矩在制動過程中所作的功。解：制動力矩在制動過程中所作的功等于系統(tǒng)動能的變化本題也可以先求出摩擦力做功的距離以及摩擦力的大小來求解。3.10一飛輪直徑為0.30m，質(zhì)量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速，經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速達到10r/s。假定飛輪可看作實心圓柱體，求：⑴飛輪的角加速度及在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；⑵拉力及拉力所作的功；⑶從拉動后t=10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。解：⑴飛輪的角加速度為轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為⑵飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為，所以，拉力的大小為拉力做功為⑶從拉動后t=10s時，輪角速度為輪邊緣上一點的速度為輪邊緣上一點的加速度為。3.11彈簧、定滑輪和物體的連接如圖3.11所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0Nm-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kgm2，半徑為0.30m，問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時，它的速率為多大？假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長。解：當(dāng)物體落下0.40m時，物體減少的勢能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢能、物體的動能和滑輪的動能，即，將，，，，代入，得3.12一均勻鉛球從高為，與水平面夾角為的固定斜面頂上由靜止無滑動地滾下，求滾到底端時球心的速度。試用下述幾種方法求解：(1)轉(zhuǎn)動定理，以球和斜面的接觸點為瞬時轉(zhuǎn)軸；(2)質(zhì)心運動定理；(3)機械能守恒定律；(4)角動量定理。解鉛球的受力如圖3.12所示，根據(jù)質(zhì)心運動定理，質(zhì)心沿斜面平移運動的方程為繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動方程為，．因為是無滑移的滾動，有消去，我們有，即，滾到底端時球心的速度為3.13質(zhì)量為m、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m0的子彈以速度v0射入輪緣(如題3-13圖所示方向)。(1)開始時輪是靜止的，在子彈打入后輪的角速度為何值？(2)用m,m0和表示系統(tǒng)[包括輪和子彈]最后動能和初始動能之比。v0m0解：由角動量守恒定律有，3.14在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤的半徑為，轉(zhuǎn)動慣量為，角速度為。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動能的變化。解：系統(tǒng)的角動量在整個過程中保持不變。人在盤邊時，角動量為人走到盤心時角動量為因此人在盤邊和在盤心時，系統(tǒng)動能分別為，系統(tǒng)動能增加3.15在半徑為，質(zhì)量為的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心，半徑為[]的圓周勻速地走動時，設(shè)他相對于圓盤的速度為，問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？解：整個體系的角動量保持為零，設(shè)人勻速地走動時圓盤的角速度為，則解得3.16如題3.16圖示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量解：要使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)?，由于砂粒落下時不能改變體系角動量，所以必須要使體系的轉(zhuǎn)動慣量加倍才行，即。將和代入得所以3.17一質(zhì)子從遠處射向一帶電量為的重核，但沒有瞄準(zhǔn)，偏離了一個距離[叫做散射參量]，如習(xí)題3.17圖所示。質(zhì)子的動能為，重核的質(zhì)量非常大，可以略去其反沖能量，即可以把重核看作是靜止的。求質(zhì)子能接近重核的最近距離。解：設(shè)質(zhì)子在離核最近處，速度為。分別列出體系的角動量守恒方程和能量守恒方程由得，代入能量守恒方程得，，，由于，因而。3.18一脈沖星質(zhì)量為1.5×1030kg，半徑為20km。自旋轉(zhuǎn)速為2.1r/s，并且以1.0×10-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動動能以多大的變化率減小？如果這一變化率保持不變，這個脈沖星經(jīng)過多長時間就會停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。解：脈沖星的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動動能為轉(zhuǎn)動動能的變化率為由，，得停止自旋所需要的時間為3.19兩滑冰運動員，質(zhì)量分別為MA=60kg，MB=70kg，它們的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運動并保持兩者間的距離為1.5m。求該瞬時：⑴系統(tǒng)的總角動量；⑵系統(tǒng)的角速度；⑶兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒，為什么？解：⑴設(shè)兩滑冰運動員拉手后，兩人相距為，兩人與質(zhì)心距離分別為和，則，兩人拉手前系統(tǒng)總角動量為⑵設(shè)兩人拉手后系統(tǒng)的角速度為，由于兩人拉手后系統(tǒng)角動量不變所以，⑶兩人拉手前總動能為：拉手后，由于整個體系的動量保持為零，所以體系動能為所以體系動能保持守恒?？梢运愠?，當(dāng)且僅當(dāng)時，體系能量守恒，否則能量會減小，且3.20一長=0.40m的均勻木棒，質(zhì)量M=1.00kg，可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時棒自然地豎直懸垂?，F(xiàn)有質(zhì)量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點與O點的距離為，如圖。求：⑴棒開始運動時的角速度；⑵棒的最大偏轉(zhuǎn)角。解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點的角動量為子彈射入后，整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為由角動量守恒有⑵子彈射入后，且桿仍然垂直時，系統(tǒng)的動能為當(dāng)桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)動能為零，勢能的增加量為由機械能守恒，得。3.21一根均勻細棒的下端放在光滑的水平面上，上端受一豎直向上的力，棒這時是靜止的，如圖所示．當(dāng)力撤去后棒就會下落到地面上，則它下落的方式是(A)點不動(B)中點豎直下落，(C)點豎直下落(D)條件不足不能確定．根據(jù)質(zhì)心運動定理，當(dāng)力撤去后，棒的質(zhì)心在重力作用下豎直下落。[B]3.22壓路機的滾筒可近似地看作一個直徑為D的圓柱形薄壁圓筒[如習(xí)題3.22圖]，設(shè)滾筒的直徑D=1.50m，質(zhì)量為10噸，如果水平牽引力F為20000N，使它在地面上作純滾動。求：⑴滾筒的角加速度和軸心的加速度；⑵摩擦力；⑶從靜止開始走了1m時，滾筒的轉(zhuǎn)動軸心的加速度為⑵在水平方向上滾筒受到水平牽引力和摩擦力的作用，由牛頓第二定律，摩擦力為⑶由于整個體系做勻加速運動，走了一米后，滾筒的速度為其平動動能為轉(zhuǎn)動動能為3.23如圖所示，一圓柱體質(zhì)量為，長為，半徑為，用兩根輕軟的繩子對稱地繞在圓柱兩端，兩繩的另一端分別系在天花板上?，F(xiàn)將圓柱體從靜止釋放，試求：⑴它向下運動時的線加速度；⑵向下加速運動時，兩繩的張力。解：⑴采用瞬時轉(zhuǎn)軸法，以繩和圓柱體的接觸點為瞬時轉(zhuǎn)軸，繩的張力無力矩，所以，⑵向下加速運動時，圓柱體豎直方向受到向下的重力，以及繩子的拉力，所以，。3.24半徑為30cm的輪子，裝在一根長為40cm的軸的中部，并可繞其轉(zhuǎn)動，輪和軸的質(zhì)量共5kg，系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)半徑為25cm，軸的一端A用一根鏈條掛起，如果原來軸在水平位置，并使輪子以的自旋角速度旋轉(zhuǎn)，方向如圖所示，求：⑴該輪自轉(zhuǎn)的角動量；⑵作用于軸上的外力矩；⑶系統(tǒng)的進動角速度，并判斷進動方向。解：本題屬于進動問題。(1)因為輪軸系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)半徑為，所以其轉(zhuǎn)動慣量，自轉(zhuǎn)角動量為(2)輪軸系統(tǒng)對A點的力矩為：(3)進動的角速度為，進動的方向俯視為逆時針方向。3.25繞有電纜的大木軸，質(zhì)量為1000kg，繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為300kg·m2。如圖所示：=1.00m，=0.40m。假定大木軸與地面間無相對滑動，當(dāng)用F=9800N的水平拉力拉電纜的一端時，問：⑴輪子將怎樣運動？⑵軸心的加速度是多大？⑶摩擦力是多大？⑷摩擦系數(shù)至少為多大時才能保證無相對滑動？解：本題為純滾動問題。(