第2章 邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)

第二章邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)2.1基本邏輯運算2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡2.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法本章要求：掌握邏輯代數(shù)的基本公式、運算定律、規(guī)則。熟悉邏輯函數(shù)的表示方法以及邏輯函數(shù)的公式法化簡。掌握卡諾圖及用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法。

2.1

基本邏輯運算數(shù)字電路研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系，邏輯關系一般用邏輯函數(shù)來描述，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)是由邏輯變量和基本的邏輯運算符構(gòu)成的表達式，其變量只能取兩個值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義。0和1表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關的開合等。A

為原變量，為反變量

1.基本運算公式(0-1律，還原律)與（乘）或（加）非

2.基本運算定律結(jié)合律交換律分配律普通代數(shù)不適用!證明:右邊=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC

;分配律=A+A(B+C)+BC

;結(jié)合律,AA=A=A(1+B+C)+BC

;結(jié)合律=A?1+BC

;1+B+C=1=A+BC

;A?1=A=左邊吸收律:吸收多余（冗余）項，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。（1）原變量的吸收：證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A長中含短，留下短。（2）反變量的吸收：證明：長中含反，去掉反。想一想：?（3）混合變量的吸收：證明：1吸收正負相對，余全完。反演律（德?摩根(De?Morgan)定理）可以用列真值表的方法證明：

3.基本運算規(guī)則（1）運算順序：先括號再乘法后加法。（2）代入規(guī)則：在任何一個包含變量A

的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A

的位置，則等式仍然成立。例：已知則得到（3）反演規(guī)則：將函數(shù)式F中所有的?++?變量與常數(shù)均取反（求反運算）互補運算2.不是一個變量上的反號不動。注意:用處：實現(xiàn)互補運算（求反運算）。新表達式：F'顯然：1.變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變例1：與或式注意括號注意括號例2：與或式反號不動反號不動（4）對偶規(guī)則：若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。對偶式：對于任何一個邏輯式Y(jié)，若將其中的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，則得到一個新的邏輯式Y(jié)′，則Y′叫做Y的對偶式對偶式2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡四種表示方法邏輯代數(shù)式(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式)11&&≥1ABY邏輯電路圖:卡諾圖n個輸入變量種組合。真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應的輸出變量值用列表的方式一一對應列出的表格。2.2.1邏輯函數(shù)表示方法：四種，并可相互轉(zhuǎn)換1、從真值表寫出邏輯函數(shù)式不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換：一般方法：（1）找出真值表中使邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合；（2）每組輸入變量取值的組合對應一個乘積項，其中取值為1

的寫入原變量，取值為0

的寫入反變量；（3）將這些乘積項相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函數(shù)式：驗證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對應的輸出狀態(tài)。方法：一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應，列出所有可能的狀態(tài)。例如：2、從邏輯函數(shù)式寫出真值表3、從邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖方法：圖形符號代替式中的運算符號即可例：已知邏輯函數(shù)為畫出對應的邏輯圖&C1A≥1

1B&&≥1

Y邏輯代數(shù)式是把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。例：

一個邏輯函數(shù)可以表示為不同的表達式。對應的邏輯圖也不同。實際應用中，電路越簡單，可靠性越高，成本越低，故常需對函數(shù)式進行變換和化簡。2.2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡與-或式：由幾個乘積項相加組成的邏輯式。化簡的目的：得到邏輯函數(shù)的最簡形式。最簡與-或式：邏輯式中包含的乘積項已經(jīng)最少，而且每個乘積項里的因子最少。通常先化簡成最簡與-或式，再轉(zhuǎn)換成其他形式2.2.2邏輯函數(shù)的變換和化簡（公式法）反復使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項和多余的因子，以得到函數(shù)式的最簡形式。例1：(1)吸收法:利用例2：反變量吸收提出AB=1，并項提出A

(2)并項法:例3：化簡（3）配項法化簡例4：化簡（4）加項法例5：再看一例題例6：化簡吸收吸收吸收吸收例6：化簡利用公式法進行化簡的問題：

復雜技巧性強是否最簡尚不得而知

2.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

2.3.1.最小項和最大項一、最小項1、定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。（1）n變量的最小項應為2n個；（2）在輸入變量的任何取值下必有一個且僅有一個最小項的值為1;（3）全體最小項之和為1;（4）任意兩個最小項的乘積為0;（5）相鄰性：若兩個最小項只有一個因子不同則這兩個最小項具有相鄰性。（6）具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子;2、特點：以三變量的邏輯函數(shù)為例分析最小項表示及特點最小項使最小項為1的變量取值對應的十進制數(shù)編號ABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7變量賦值為1時用該變量表示賦0時用該變量的反來表示?？梢娸斎胱兞康陌朔N狀態(tài)分別唯一地對應著八個最小項。當輸入變量的賦值使某一個最小項等于1時，其他的最小項均等于0。返回A

B

C

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

比如當三變量取值分別為1、0、1時，只有最小項為1之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。例如：對于三變量的邏輯函數(shù)，如果某一項的變量數(shù)少于3個，則該項可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個，則該項不能繼續(xù)分解。A

B

C

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

相鄰性：若兩個最小項只有一個因子不同，則這兩個最小項具有相鄰性。邏輯相鄰邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子二、最大項1、定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。2、特點：

（1）n變量的最大項應為2n個。（2）輸入變量的每一組取值都使一個且僅有一個對應的最大項的值等于0。（3）全體最大項之積為0；（4）任意兩個最大項的和為1；（5）相鄰性：若兩個最大項只有一個因子不同則這兩個最大項具有相鄰性。（6）具有相鄰性的兩個最大項之積可以合并成一項并消去一對因子;最大項使最大項為0的變量取值對應的十進制數(shù)編號ABC00000101001110010111011101234567M0M1M2M3M4M5M6M7三、最大項和最小項之間的關系例如2.3.2邏輯函數(shù)的兩種標準形式可以把任何一個邏輯函數(shù)一般表達式化為最小項之和的標準形式利用1.最小項之和形式——標準的與或表達式例如給定邏輯函數(shù)則可化為例：將邏輯函數(shù)展開為最小項之和的形式2.最大項之積形式任何一個邏輯函數(shù)都可以化成最大項之積的標準形式若給定則例：將邏輯函數(shù)展開成最大項之積的形式解：已求得2.3.3卡諾圖

卡諾圖：將n個輸入變量的全部最小項用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。m3m2m1m0AB0101m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD0001111000011110m6m7m5m4m2m3m1m00001111001ABC表示最小項的卡諾圖兩變量卡諾圖四變量卡諾圖三變量卡諾圖說明：一格一個最小項相鄰兩格必須為邏輯相鄰項m3m2m1m0AB0101m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD0001111000011110m6m7m5m4m2m3m1m00001111001ABC表示最小項的卡諾圖兩變量卡諾圖四變量卡諾圖三變量卡諾圖說明：上下兩行相鄰左右兩列相鄰有時為了方便，用二進制對應的十進制表示單元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7單元取1，其它取0

ABC編號

00000011010201131004101511061117ABC0001111001ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號:從真值表到卡諾圖：對應填寫2.3.4邏輯函數(shù)的卡諾圖表示

ABY001011101110AB01010111輸出變量Y的值輸入變量例1：二輸入變量卡諾圖邏輯相鄰：相鄰單元輸入變量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111輸入變量輸出變量Y的值ABCY00000010010001101000101111011111例2：三輸入變量卡諾圖注意：00與10邏輯相鄰。ABCD0001111000011110四變量卡諾圖編號為0010單元對應于最小項：ABCD=0100時函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，稱為無關項。例3：四輸入變量卡諾圖2.3.4邏輯函數(shù)的卡諾圖表示把邏輯函數(shù)化為最小項之和的形式；（熟練可省）在卡諾圖上與這些最小項對應的位置添1；在其余的位置上添入0；從函數(shù)式到卡諾圖：例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：先將邏輯函數(shù)化為最小項之和形式1101010000100000ABCD0001111000011110Y實際上我們一般不用把函數(shù)化為最小項填入卡諾圖，而是把所有包含非最小項的的方格都填1。例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1101010000100000ABCD0001111000011110YABCDABDACD已知函數(shù)的卡諾圖，寫出該其邏輯式1000100000000101ABCD0001111000011110Y2.3.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡1.合并最小項的規(guī)則：n=1，合并一對因子n=2，合并兩對因子……個最小項相鄰并排成一個矩形組，如果則它們可以合并為一項，并消去n對互反因子。個最小項相鄰并排成一個矩形組，則它們可以合并為一項，并消去n對互反因子。011010110001111001ABC0100111010110100ABCD0001111000011110Y合并兩個相鄰最小項1101111111111101ABCD0001111000011110Y合并四個相臨最小項1001111111111001ABCD0001111000011110YB合并八個相鄰最小項2.卡諾圖化簡的步驟將函數(shù)化為最小項之和的形式；畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；找出可以合并的最小項；選取化簡后的乘積項；合并圈的選?。喝簩幋笪鹦?；圈數(shù)寧少勿多；圈圈含新例1：化簡F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A111010110001111001ABC解：例2：化簡例3：化簡解：1001000000101001ABCD0001111000011110F例4：化簡邏輯函數(shù)解：由Y畫出卡諾圖，得出1111111011101111ABCD0001111000011110F想一想：能否圈0？3.具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡舉例說明：三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令。

A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止可能取值只有001，010，100當中的某一種，這種對輸入變量取值所加的限制稱為約束。而000，011，101，110，111