《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》素材2

《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》素材（2）考情分析兩個原理是解決排列、組合和概率的基礎(chǔ)，貫穿始終，在高考中一般不單獨考察，而是作為一種思想方法用在排列組合問題中。在本部分要注意分類討論思想和補集思想?；A(chǔ)知識1．分類計數(shù)原理完成一件事,有n類方式,在第一類方式,中有種不同的方法,在第二類方式,中有種不同的方法，……，在第n類方式,中有種不同的方法.那么完成這件事共有2．分步計數(shù)原理完成一件事,需要分成n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法,那么完成這件事共有種方法。3．（1）分類計數(shù)與分步計數(shù)原理是兩個最基本，也是最重要的原理，是解答排列、組合問題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問題的基礎(chǔ).（2）辨別運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理的關(guān)鍵是“分類”還是“分步”，也就是說“分類”時，各類辦法中的每一種方法都是獨立的，都能直接完成這件事，而“分步”時，各步中的方法是相關(guān)的，缺一不可，當(dāng)且僅當(dāng)做完個步驟時，才能完成這件事.注意事項分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)并貫穿始終．分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類，簡單的說分類的標(biāo)準(zhǔn)是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，在各個步驟中任取一種方法，即是完成這件事的一種方法，簡單的說步與步之間的方法“相互獨立，多步完成”．類比加法與乘法的關(guān)系，在特定的情況下分步乘法計數(shù)原理可簡化運用分類加法計數(shù)原理的過程．題型一分類加法計數(shù)原理【例1】某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有()．A．4種B．10種C．18種D．20種解析贈送一本畫冊，3本集郵冊，共4種方法；贈送2本畫冊，2本集郵冊共Ceq\o\al(2,4)種方法，由分類計數(shù)原理知不同的贈送方法共4＋Ceq\o\al(2,4)＝10(種)．答案B【變式1】如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個．解析把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個)；第二類，有兩條公共邊的三角形共有8(個)．由分類加法計數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個)．答案40題型二分步乘法計數(shù)原理【例2】如圖所示2×2方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3、4中的任何一個，允許重復(fù)．若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有()ABCDA.192種 B.128種C.96種 D.12種答案：C解析：可分三步：第一步，填A(yù)、B方格的數(shù)字，填入A方格的數(shù)字大于B方格中的數(shù)字有6種方式(若方格A填入2，則方格B只能填入1；若方格A填入3，則方格B只能填入1或2；若方格A填入4，則方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的數(shù)字，有4種不同的填法；第三步，填方格D的數(shù)字，有4種不同的填法．由分步計數(shù)原理得，不同的填法總數(shù)為6×4×4＝96.【變式2】](1)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？(2)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？解：(1)該問題中要完成的事是4名同學(xué)報名，因而可按學(xué)生分步完成，每一名同學(xué)有3種選擇方法，故共有34＝81(種)報名方法．(2)該問題中，要完成的事是三項冠軍花落誰家，故可按冠軍分步完成，每一項冠軍都有4種可能，故可能的結(jié)果有43＝64(種)．題型三涂色問題【例3】]如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有________．答案：480種解析：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(種)．【變式3】如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．解法一可分為兩大步進行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法．當(dāng)S、A、B染好時，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法，若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S、A、B已染好時，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)．法二以S、A、B、C、D順序分步染色第一步，S點染色，有5種方法；第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，B點染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當(dāng)A與C同色時，D點有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)．法三按所用顏色種數(shù)分類第一類，5種顏色全用，共有Aeq\o\al(5,5)種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×Aeq\o\al(4,5)種不同的方法；第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有Aeq\o\al(3,5)種不同的方法．由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＋2×Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(3,5)＝420(種)．重難點突破【例4】用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？顏色可以反復(fù)使用，即說明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色，首先確定第一個小方格的涂法，再考慮其相鄰的兩個小方格的涂法．1234[解析]如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．①當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有Aeq\o\al(2,4)＝12種不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法．由分步計數(shù)原理可知，有5×12×3＝180種不同的涂法；②當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰西格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步計數(shù)原理可知．有5×4×4＝80種不同的涂法．由分類加法計數(shù)原理可得，共有180＋80＝260種不同的涂法．鞏固提高1.某電話局的電話號碼為139××××××××，若最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼一共有()A.20個 B.25個C.32個 D.60個答案：C解析：采用分步計數(shù)的方法，五位數(shù)字由6或8組成，可分五步完成，每一步有兩種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有25＝32個，故選C.2.現(xiàn)有4名同學(xué)去聽同時進行的3個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是()A.81 B.64C.48 D.24答案：A解析：每個同學(xué)都有3種選擇，所以不同選法共有34＝81(種)，故選A.3.只用1、2、3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)共有()A.6個 B.9個C.18個 D.36個答案：C解析：對于1、2、3三個數(shù)組成一個四位數(shù)，其中必有一個數(shù)要重復(fù)，從三個中選一個有Ceq\o\al(1,3)種，這樣重復(fù)的數(shù)有2個，利用插空法知共有Aeq\o\al(3,3)種，因此共有3Aeq\o\al(3,3)＝18個這樣的四位數(shù)．4.若從1,2,3，…，9這9個數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則不同的取法共有()A.66種 B.63種C.61種 D.60種答案：D解析：從1,2,3，…，9這9個數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的取法分為兩類：第一類取1個奇數(shù)，3個偶數(shù)，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,4)＝20種取法；第二類是取3個奇數(shù)，1個偶數(shù)，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)＝40種取法．故不同的取法共有60種，選D.5.