電磁學通論 Chapter2 靜電場中的導體 電介質(zhì)

電磁學通論第2章

靜電場中的導體

電介質(zhì)2.1導體靜電平衡條件

2.2若干實例及其典型意義2.3空腔導體&靜電屏蔽

2.4電容器&電容2.5介質(zhì)的極化&極化強度矢量2.6介質(zhì)的極化規(guī)律

2.7電位移矢量2.8靜電場的邊值關(guān)系

2.9靜電場的能量本章概述在第1章中確立的靜電場基本規(guī)律是普遍的，它的成立與電荷的來源和機制無關(guān)。正如第0章導言中所述，源電荷通常來自金屬導體上的自由電荷和絕緣介質(zhì)上的極化電荷，當然還有一種空間電荷，它不依賴任何載體。另一方面，當導體或介質(zhì)進入業(yè)已存在的電場（外場），它們身上出現(xiàn)的自由電荷或極化電荷又將影響全空間的電場分布。那么，在外場作用下，導體或電介質(zhì)身上將有怎樣的電荷分布，進而如何求得最終的電場分布，正是本章主題。換言之，本章論述的內(nèi)容系導體與靜電場的相互作用，以及電介質(zhì)與靜電場的相互作用。無論從理論上或?qū)嵱蒙峡矗芯窟@種相互作用是靜電學必須面對的問題。2.1導體靜電平衡條件導體中自由電子氣概念■導體中自由電子氣概念■導體達到靜電平衡的過程描述■導體靜電平衡條件

■幾點說明■討論——導體表面處的場強和導體表面受力面密度導體達到靜電平衡的過程描述在外場

E0作用下

體內(nèi)自由電荷定向遷移

自由電荷重新分布

產(chǎn)生附加場

E’在導體內(nèi)部

E’場反抗外場

E0

最終總場

過程終止。這個達到靜電平衡過程的響應時間是很短的，約

τ=10-4s量級。對導體達到靜電平衡的過程描述尚有兩點說明:在導體外部，由外場

E0(in)和附加場

E’(out)疊加而成的總場

E(out)，一般呈現(xiàn)復雜的分布，這相當程度上源于附加場

E’(out)的復雜性。導體靜電平衡特性達到靜電平衡的導體其內(nèi)部場強必定為零，即Ein=0據(jù)此并結(jié)合靜電場通量定理和環(huán)路定理，得到如下幾個推論：靜電導體是一等勢體，其表面是一等勢面。靜電導體內(nèi)部無電荷，其體電荷密度處處為零，即

ρin=0。一個帶電的或電中性的導體，其電荷均分布于表面，其自由電荷面密度

σ0

的分布，隨導體表面形狀和環(huán)境而變，以保證

Ein=0，或保證其表面為一等勢面。導體表面外側(cè)的場強

Eos，其方向與表面正交，其數(shù)值與該處面電荷密度

σ0之間有一確定的比例關(guān)系，

這里，n表示該面元外法線方向的單位矢量。證明第（4）條特性:

在表面元

ΔS兩側(cè)作一個甚薄扁盒子

(ΔΣ)，其內(nèi)、外兩側(cè)的底面積均為

ΔS，而兩者間隔無線靠近，接著對這扁盒子

(ΔΣ)應用通量定理，幾點說明在這一系列平衡特性中，Ein=0是根本，它是無條件成立的，即，它的成立與導體形狀、大小、帶電量以及與四周環(huán)境皆無關(guān)。它是憑借導體自身自由電荷的重新分布而得以實現(xiàn)的。導體靜電問題相當靈活，這是因為在導體與靜電場相互作用過程中扮演主角的是自由電荷。導體表面的電荷分布是不能事先人為給定的，雖然其總電量可以事先給定。導體靜電問題活而不亂，靜電平衡特性、通量定理和環(huán)路定理，這三者的結(jié)合是解決導體靜電問題的理論基礎。疊加原理和唯一性定理，也是解決導體靜電問題的兩個有力工具。所謂靜電導體的唯一性定理，可簡單地表述為，在給定條件下，滿足導體

Ein=0的面電荷分布是唯一的，不可能有兩種不同的面電荷分布皆滿足平衡條件?！居懻摗繉w表面處的場強和導體表面受力面密度

凡經(jīng)過面電荷處其兩側(cè)場強Es將有突變，就目前靜電導體表面而言，亦是如此。那么，在導體表面元

(ΔS,σ0)處是否存在場強

Es。這個問題不僅有概念意義，且有實用意義，它涉及這表面元所受靜電力。須知，任何電荷所受電力只能是其它電荷產(chǎn)生的電場即外場施予的，一電荷的場不可能使自身受力，況且目前

Δq=σ0ΔS在自身所在處的場強為零。如果求得在

(ΔS,σ0)處的

Es不為零，則這

Es必定是外場，于是該面元受力為

Δf=(σ0ΔS)Es

結(jié)果：導體表面元(ΔS,σ0)處的場強公式為正是除(ΔS,σ0)

外其它所有導體的面電荷分布在該處的場強。導體表面元(ΔS,σ0)

所受電力為

故其受力面密度為無論σ0<0，或

σ0

>0，面元受力總是沿n方向即總是擴張力2.2若干實例及其典型意義■給定導體電勢求出空間電勢場■給定導體總電量求出面電荷分布■半定量分析----中性導體進入一均勻場所帶來的變化■半定量分析----中性導體接近一帶電導體所引起的變化■單一導體表面不可能出現(xiàn)異號電荷給定導體電勢求出空間電勢場

一個導體球連接一直流電源，以維持自身的電勢值為

U0

，試求出全空間的電勢場

U(r)。

設分布于導體球表面的總電量為

Q0

，球?qū)ΨQ，Q0

均勻分布于球面，借用均勻帶電球殼的電勢場公式，其中并未事先給定的電量

Q0

，可由邊界條件，最終得本題全空間電勢場為：這是一個質(zhì)樸的例子，卻體現(xiàn)了導體靜電問題中無源空間邊值定解這一重要物事。當然，若是其它非球形導體，則求解由該導體電勢值U0

所決定的空間電勢場U(r)，在數(shù)學上可能變得相當復雜，這時人們求助于數(shù)學物理方法，可以獲得幾類特定邊界的定解。給定導體總電量求出面電荷分布

兩個面積很大的平行平板導體

A和

B，分別被充以電量

QA

和

QB，面積均為

S，試求出其四個表面的面電荷密度

(σ1,σ2)和

(σ3

,σ4)。

由導體靜電平衡條件可知，這四個面電荷取值必然使兩個導體板內(nèi)部場強為零，即再由孤立導體電荷守恒律，有可見，有四個未知數(shù)且有四個獨立方程，其解是唯一的。得到兩個重要關(guān)系式，最后求出面電荷密度值分別為

這是一個質(zhì)樸的例子，卻體現(xiàn)了導體靜電問題中一個重要定理，即，唯一性定理。雖然在導體問題中，電荷分布是不能人為地事先被給定，但在總電量給定條件下，滿足靜電平衡條件的電荷分布是唯一的，原則上它們可以由平衡條件以及其它關(guān)系而求得。半定量分析----中性導體進入一均勻場所帶來的變化

一對平行導體板

A和

B，其上均勻分布的面電荷為

(σ0,-σ0

)，它產(chǎn)生了一均勻場

E0，現(xiàn)有一中性導體小塊進入這

E0場區(qū)，它將引致整個場空間的場強變化和電勢變化。試(1)粗略描繪出空間場線圖像和空間等勢線圖像，(2)比較場強

Ee、Ef和

E0三者數(shù)值之大小(排序)。

本題結(jié)果卻表明了一個具有普遍意義的重要物事，即，一旦有一導體進入電場，即便它是不帶電的，也將引起空間等勢面形態(tài)發(fā)生顯著變化，似有牽一發(fā)而動全身之效應，這里，起決定性作用的是導體的形狀、大小、位置及其電勢值。

在電子光學領(lǐng)域，比如電子顯像管和電子顯微鏡的設計，其核心問題是關(guān)于電極組作為一導體系其形狀、大小、布局以及電勢取值的選擇，這將直接決定著運行于其間的電子徑跡、偏轉(zhuǎn)和聚焦，這是一項專門的學問。

半定量分析-----中性導體接近一帶電導體所引起的變化

一導體球

A帶有電量

Q，其產(chǎn)生的電場線為球?qū)ΨQ輻射狀。現(xiàn)將一個中性導體塊

B從遠處移近導體球

A，這將引起整個空間電場的變化。試(1)粗略而正確地描繪出空間電場線圖像和等勢線圖像。(2)比較電勢

UA、UB、U地

和

UA0

這四者數(shù)值之大小(排序)，這里UA0

為球A

原先電勢。在

QA產(chǎn)生的電場力驅(qū)動下，B塊中自由電荷的遷移所造成的面電荷積累

(-q,q)，只可能是左負右正，唯此方能反抗外場以至體內(nèi)；另一方面，這新出現(xiàn)的電荷分布

(-q,q)

反過來影響

A球上原本均勻的電荷分布，其趨勢是左邊的部分正電荷向右邊遷移，亦即向

B塊方向遷移，否則

A球若依然保持電荷均勻分布，由于

(-q,q)的存在其內(nèi)部的場強就不為零了，這是不滿足靜電平衡條件的。據(jù)以上分析所得兩者面電荷的重新分布，可粗略而正確的描繪出空間電場線圖像，如圖中帶箭頭的曲線。再根據(jù)導體

A或

B皆為等勢體，以及電場線處處與等勢面正交，可粗略地描繪出二維等勢線，如圖中那些粗黑的閉合曲線。以下分析中關(guān)于正、負、左、右的措詞皆以

QA>0為前提。

根據(jù)電場線

E方向總是指向電勢降落方向這一性質(zhì)，立馬可以判斷出電勢

UA

>UB>

U地

=0

?？剂垦巯码妱?/p>

UA與原先電勢

UA0數(shù)值大小之比較，就是考量球

A電量右遷和

(-q,q)出現(xiàn)對球

A電勢之影響，為此選擇位于球

A左側(cè)的場點

P作為考察對象是明智的，顯然那正電量右遷引致

P點電勢增量

ΔU1(p)<0，而

(-q,q)出現(xiàn)引致

P點電勢增量

ΔU2(p)<0，綜合這兩個負效應，得即最終得那四個電勢值之排序為

結(jié)果表明，一個不帶電的中性導體靠近一個帶正電的導體，則將導致后者電勢降低，而自身的電勢提升為正。特別值得注意的是，當一個中性導體比如人體，接近一個高壓靜電器比如20萬伏，雖然它并未直接觸摸后者，但它已處于高電勢比如1萬伏，這將招致人身安全危險。遠離高壓帶電體或高壓電器，應當成為人們的一個安全須知。單一導體表面不可能出現(xiàn)異號電荷分布

單一導體指稱其周圍無其他帶電體的導體，如圖所示。如果一個單一導體被充以

Q電量設為正值，則其上面電荷分布與曲率半徑有關(guān)，曲率半徑越小之處其面電荷密度越大，如圖(a)所示。在表面凹陷處即曲率半徑為負之處，其面電荷密度甚小，但絕不可能出現(xiàn)異號電荷，如圖(b)所示。試普遍地論證：單一導體表面不可能出現(xiàn)異號電荷。單一導體表面曲率半徑越小處，則其表面電荷密度越大，因而其外側(cè)場強就越強，以致其數(shù)值超過周圍介質(zhì)比如空氣的擊穿場強。一旦周圍空氣被擊穿即被電離，就有異號電荷比如負離子，流向該處，從而中和了其上的電荷，或者說，導體表面尖端處易于最先放電，使其上感應電荷的積累受限，亦即其電勢受限。這就是人們常說的導體尖端放電原理或尖端放電效應。高大建筑物頂層裝有一避雷針，以防止在雷電天氣時被雷擊，其依據(jù)的就是尖端放電原理。對導體表面尖端放電效應稍加詳細說明:2.3空腔導體&靜電屏蔽

■一類空腔導體的靜電特性■靜電屏蔽的第一種含義■靜電高壓起電■二類空腔導體的靜電特性■靜電屏蔽的第二種含義■關(guān)于導體靜電平衡的唯一性定理■討論----導體身上是否有足夠的自由電量以實現(xiàn)靜電屏蔽■討論----試估算導體達到靜電平衡的響應時間一類空腔導體的靜電特性

一類空腔導體指稱其空腔內(nèi)沒有電荷或其它帶電體。設其腔體內(nèi)表面為

(Σi

)，其外表面為(Σs)，其空腔區(qū)域為

(V0

)。當這空腔導體被充以電量

Q，且達到靜電平衡后，則它具有以下三點特性：內(nèi)表面不帶電，其上面電荷密度處處為零，即全部電量分布于其外表面(Σs)，即在空腔(V0

)區(qū)域，場強E0

恒為零，即若腔壁

(Σi)上部分表面帶電量為

q，則其另一部分表面必帶電

(-q)，這是因為腔體內(nèi)部

Ein=0，故腔體內(nèi)任何一個將腔壁包圍其中的閉合面其電通量為零，而據(jù)靜電通量定理，其內(nèi)部電荷之代數(shù)和為零，q+(-q)=0滿足這一要求。雖然存在

(q,-q)不違背這一方面的通量定理，可是正電荷

q的存在，必定從此處發(fā)出電場線（這也是通量定理的一種形象表述），這些電場線不可能中斷于無源空間

(V0

)，它們將繼續(xù)延伸而終止于對方

(-q)處；顯然，沿這些電場線的場強積分值不為零，這意味著其頭尾兩點之間存在電勢場，這違背了靜電導體是一個等勢體這一平衡條件。于是，其結(jié)論是一類空腔導體其內(nèi)表面處處無電荷。靜電屏蔽的第一種含義

換言之，若在實心導體中挖除一個空腔，不論空腔大小、形狀和位置如何，不會改變面電荷

σs分布。即便這空腔導體外部有了其它帶電體比如

qA，這將立馬引起面電荷

σs的重新分布，以保證

(Σs

)所包圍的區(qū)域中總場強為零，即

在一類空腔導體內(nèi)部，不僅導體中場強

Ein=0，且腔內(nèi)

E0=0，這是依賴其外表面

(Σs)上面電荷的特定分布（σs分布）來實現(xiàn)的，與無空腔的實心導體無異。

如果外部電荷

qA

移動至另一處，則，面電荷立馬響應一個新的分布，以完全抵消

qA產(chǎn)生的場強，而依然保證

E0=0，且

Ein=0。這一圖景宛如老鷹抓小雞，表面上大量的自由電荷扮演一群母雞的角色，總能完全抵擋住

qA

這只老鷹的侵襲。簡言之，一類空腔導體通過自身外表面自由電荷的重新分布，而屏蔽了空間其它帶電體對空腔內(nèi)部場強的影響，使總場強為零得以保證。如果用一金屬罩罩住電場中不存在電荷的某局部空間，則該空間中將不再有電場。這個起屏蔽作用的金屬罩稱為法拉第罩。靜電高壓起電

不斷向一空腔導體內(nèi)表面?zhèn)魉碗娏?/p>

q，于是表面就一次次獲得電量

q，持續(xù)地積累最終獲得大電量、高電勢。

假如，那個攜帶電量

q的小球直接地與空腔導體外表面接觸，以試圖將

q轉(zhuǎn)移到導體身上，此種方式下空腔導體表面所能積累的最高電量是受限的，即它有一個飽和值QM

。設小球與大球直接密合時，大球分到電量百分比為p比如，令

p=90%，則

QM

=9q；p=95%，則

QM=19q.

嚴格閉合的球腔，等效于其

p100%，故

QM∞。實際上的空腔導體非嚴密閉合而開有一個小孔。這使其最大電量及相應的最高電勢受到了一定程度的限制。不過，靜電高壓球的最高電勢值，主要受限于其周圍空氣的擊穿場強。對于干冷空氣，EM≈3kV/mm。

某一科技館有一個靜電高壓球（帽），觀其半徑約為

15cm，便可估算出其所能獲得的最高電勢值

UM：據(jù)以

R≈15cm，EM≈3kV/mm代入，得

UM

≈450kV，若在夏日濕熱空氣中，其

UM值顯著下降，以致該科技館原計劃表演的高壓靜電實驗多遭失靈，這是因為水蒸氣的擊穿場強

EM’

值明顯地小于純凈空氣的

EM值，溫濕空氣

EM’值約為

2

kV/mm。二類空腔導體的靜電特性

第二類空腔導體指稱其空腔內(nèi)有電荷或帶電體，如圖所示。其導體外殼有厚度，設這外殼內(nèi)表面為

(Σi

)，其外表面為

(Σs)，而腔內(nèi)有電荷

q.

當這導體殼被充以電量

Q，則達到靜電平衡以后，這類空腔導體具有以下特性。導體殼內(nèi)表面

(Σi

)帶有電量

(-q)，相應地外表面

(Σs

)帶有電量

(Q+q)。這是殼內(nèi)場強必為零、靜電場通量定理和電荷守恒定理導致的結(jié)果。內(nèi)表面

(Σi

)上

(-q)電量的面分布與腔內(nèi)帶電體

q的位置有關(guān)；當腔內(nèi)

q的位置有變動，則牽動

(-q)電量的面分布，從而牽動腔內(nèi)電場的分布。導體殼外表面

(Σs

)上電荷

(Q+q)的面分布，在導體內(nèi)部包括空腔區(qū)域所貢獻的電場為零，這一結(jié)論與空腔內(nèi)無電荷的一類空腔導體無異，也與無空腔的實心導體無異，即

(Q+q)分布

E1(p)=0

(場點

p

在殼內(nèi))腔內(nèi)電荷與導體殼內(nèi)表面分布，共同決定腔內(nèi)電場和腔外電場，

(q,-q

分布)E2(腔內(nèi))，一般較為復雜；(q,-q

分布)E2(腔外)=0

。上圖顯示了以上電荷分布的疊加，以及相應的場強疊加，即靜電屏蔽的第二種含義在上述第二類空腔導體的靜電特性中，最值得關(guān)注的一點是，當空腔內(nèi)存在電荷

q，則導體殼的內(nèi)表面

(Σi

)便感應到一個(

-q)

電荷的面分布，以抵消電荷

q在腔外產(chǎn)生的電場；當電荷

q的位置和數(shù)值有所變動，則內(nèi)表面立馬策應一個新的電荷分布，依然

(q,(-q)

分布)使在腔外的場強為零，簡言之，第二類空腔導體憑借其內(nèi)表面

(Σi

)自由電荷的分布或重新分布，而屏蔽了腔內(nèi)帶電體及其變化對腔外空間電場的影響。所謂內(nèi)部不影響外部，就是這個內(nèi)容，此乃靜電屏蔽這一流行術(shù)語的第二種含義。

以上對于兩類空腔導體的兩種靜電屏蔽效應的論述，展現(xiàn)了這樣一幅圖景，一個其體內(nèi)場強為零的閉合導體殼，將全空間分割為兩部分，即殼內(nèi)空間與殼外空間，兩者彼此隔離，互不影響或互不干擾。這對電磁測量實驗，特別對精密電磁測量實驗尤其重要。關(guān)于導體靜電平衡的唯一性定理關(guān)于導體靜電問題，有兩種基本提法：給定各個導體的電量，求出空間的電場

E(r)和

U(r)。給定各個導體的電勢，求出空間的電場

E(r)和

U(r)。相應的唯一性定理可有兩種表述：當導體系中各導體的電量被給定，則滿足導體平衡條件的電荷分布是唯一的，從而空間電場分布也是唯一的。當導體系中各導體的電勢被給定，則滿足導體平衡條件的各電量分布是唯一的，從而空間電場分布也是唯一的?，F(xiàn)以單一導體為對象，證明唯一性定理的第一種表述，給定該導體總電量為

Q，假定它有兩個不同的面電荷分布

σ1(P)與

σ2(P)，均能使該導體分別處于平衡態(tài)

(I)與平衡態(tài)

(II)，即σ1(P)平衡態(tài)

(I)，σ2(P)

平衡態(tài)

(II)這兩個平衡態(tài)相減，應是一個新的平衡態(tài)

(III)，即(I)

態(tài)-

(II)

態(tài)

=

(III)

態(tài)，系一新平衡態(tài)，（推論一）；相應的新的面電荷分布為

σ3(P)，它應滿足且這勢必導致，該導體部分表面σ3(P)

>0，另一部分表面

σ3(P)<0。（推論二）單一導體表面不可能出現(xiàn)異號電荷，表明推論一與推論二是不相容的，或是自相矛盾的，可是，兩者均是以

σ1(P)≠σ2(P)為前提的邏輯必然。這就反證了唯一性定理的第一種表述。這一論證方式可以推廣到兩個或多個導體的情形。各導體身上也不可能出現(xiàn)異號電荷分布，否則必違背導體靜電平衡條件。同任何數(shù)學上或物理上的唯一性定理一樣，導體靜電唯一性定理僅指明其解是唯一的，并不回答這唯一解是什么，這有賴于導體平衡條件及其它相關(guān)的物理定理而求得，說到底，這要憑借關(guān)于無源空間電勢的拉普拉斯方程和導體邊界條件來定解。也可以憑借經(jīng)驗和對稱性分析而給出一試探解，看其是否滿足導體內(nèi)部

Ein=0，如是，則試探解是唯一正確的解。我們對于第二類空腔導體屏蔽效應的論述，就是采取了這一思維方式。【討論】導體身上是否有足夠的自由電量以實現(xiàn)靜電屏蔽

空腔導體通過其表面自由電荷的分布或重新分布以產(chǎn)生靜電屏蔽效應，那么，當腔外或腔內(nèi)存在帶有巨大電量的荷電體時，導體身上是否有足夠的自由電量，可以被調(diào)動起來以抵消前者的電場。為此，首先讓我們估算金屬內(nèi)存的自由電量的體密度ρ0(C/cm3)，對于金、銀、銅、鐵和鋁，其摩爾質(zhì)量為取平均值約為，上述金屬的比重約為兩者之比值就是在1cm3

體積中所含

mol數(shù)，即

mol數(shù)體密度為即使一個金屬原子僅提供一個自由電子其電量

e=1.6×10-19C，則得到一般金屬所含自由電量的體密度（數(shù)量級）為

這是一個很大的電量體密度值。試用曾計算過的靜電高壓金屬球為例以作比較，一個半徑為

R=15cm的金屬球，所能獲得的最高電壓UM=45萬伏，則其表面總電量為而這靜電高壓球體中含有自由電量為（設厚度

ΔR=6mm）兩者之比值竟達

如此巨大的比值，給出了一個令人寬慰的結(jié)論：導體內(nèi)存足夠的自由電量可用以實現(xiàn)靜電屏蔽?！居懻摗吭嚬浪銓w達到靜電平衡的響應時間

這個問題的實際意義是，對于變化的外電場，導體屏蔽效應在多高的頻段以上將要失靈，雖然它對靜電屏蔽是完全的。

誠如前述，空腔導體是通過其表面自由電荷的分布或重新分布來實現(xiàn)靜電屏蔽的，而自由電荷的分布及其調(diào)整是需要時間的，因為自由電荷的遷移速度

v是有限的。

當腔外或腔內(nèi)的帶電體反復不斷地變更其位置或帶電量時，就有可能出現(xiàn)自由電荷跟不上作及時調(diào)整，以致不能屏蔽外電場，或不能完全屏蔽外電場。

設導體尺寸及其幾何線度為

l，自由電荷從導體這一側(cè)漂移到另一側(cè)的時間

τ，則合理地被定義為導體上自由電荷對電場變化的響應時間，即

現(xiàn)在讓我們專注于估算導體中自由電子的定向遷移速度

v。這可以憑借以下三個公式：得到一個估算金屬中自由電子遷移率公式，取σ

為107

/(

Ωm)

，而

ρ0

約為1010

C/m3，得μ

≈

10-3

m2/V·S

代入v=μE

得一反比律公式以l=0.3m

，μ

=

10-3

m2/V·S

代入，得τE

=

300V·S/m.

取EM≈3kV/mm，即干空氣的擊穿場強，得τ

≈

10-4s.

響應時間的倒數(shù)

1/τ具有特定頻率

fM

的意義，即

fM=10kHz姑且稱

fM為導體動電屏蔽的截止頻率，意指當外電場變化頻率

f>fM

時，空腔導體的屏蔽效應將失靈，或者說，對這頻段以上的電訊號，空腔導體的屏蔽是不完全的。最后，似應申明一點，以上對那響應時間

τ的估算方式也許是不唯一的方式。若從電磁場理論的高度認識，當一個交變的電磁波入射于空腔導體，將出現(xiàn)電磁波在金屬表面的高反射，以及電磁波進入金屬體內(nèi)的趨膚效應，這類內(nèi)容本課程不予深究。不過，通過以上討論認識到?？涨粚w對靜電屏蔽是完全的，而對動電屏蔽是不完全的。如果認為，外電場變化的頻率越高，則此時導體屏蔽效應越弱，這也未必正確。明確地說，以上對于導體達到靜電平衡的響應時間的考慮，以及相聯(lián)系的對于空腔導體屏蔽效應失靈的截止頻率的估算，適用于低頻段。2.4電容器&電容

■電容器&電容■三種簡單電容器的電容公式■電容器的并聯(lián)和串聯(lián)■電容器儲能公式■電容概念的擴展電容器&電容

電容器是一種特殊的空腔導體，它由兩個導體殼組成，內(nèi)導體殼

A被外導體殼

B所包圍，其間存在一個空間

(V0)。當

A被充以電量

Q，則內(nèi)表面感應了一個電量

(-Q)，于是，在

(V0)區(qū)域中形成一個獨立的電場空間。

在

A、B形狀、大小和間隔給定的條件下，這電場

E的形態(tài)隨之被確定，而其數(shù)值正比于電量，即

E∝Q，因此，導體殼

A與

B之電勢差，或者說，電容器極板電量

Q∝UAB，實際上通常將一直流電源的正、負極分別接在這電容器的兩極板

A與

B，以提供一電勢差

UAB。在此引入一個比例常數(shù)

C

而將上述正比關(guān)系寫成一等式，即

這比例常數(shù)

C

稱為電容，電容器的電容定義為，產(chǎn)生兩極板間之單位電勢差所需的電量?？梢灶A料，各種電容器的電容公式中，必然包含極板形狀、大小和間隔等結(jié)構(gòu)參數(shù)。

關(guān)于電容的單位和符號說明如下：稱為“法拉”，記作

F

，即

電容

1F是一個很大的電容值。比如，地球作為一個導體球形電容器，其電容

C≈1.7×10-4F。常用的輔助單位有三種簡單電容器的電容公式同心球殼電容器，其電容公式為若令

R∞，便得到單一導體球殼的電容公式為

這里

d為兩個平行導體平板之間距，S為導體板的面積。此電容公式是憑借無限大均勻帶電面的場強公式而得到的，故當

得以滿足時，這實際平行板電容器的電容就接近于上式給出的結(jié)果，姑且稱上式為理想平行板電容器的電容公式。平行板電容器，其電容公式為共軸圓筒電容器，其電容公式為這里，r為內(nèi)筒的外徑，R為外筒的內(nèi)徑，兩者的軸向長度為

l。此電容公式是憑借無限長均勻帶電圓筒的場強公式而得到的，故在

l>>R條件下的實際電容值，就比較接近上式給出的結(jié)果。姑且稱上式為理想共軸圓筒電容器的電容公式。電容器的并聯(lián)和串聯(lián)

作為一種電器件，電容器的性能指標有兩個，一是其電容

C，二是其耐壓

UM。當電容器兩個極板間的電勢差即電壓過高，以致其內(nèi)部空腔的場強超過空氣或介質(zhì)的擊穿場強時，該電容器將被擊穿而造成短路，使電路無法正常工作。

在選購和使用電容器時，必須考量其所能承受的最高電壓值

UM，在電容器的商標中也必定標明其電容

C和耐壓

UM這兩個主要的性能參數(shù)。當單個電容器的電容值過小，擬可將兩個或多個電容器并聯(lián)，并聯(lián)時，多個電容器的電壓是共同的，皆為

U，它們各自所帶電量分別為故這組合電容器件所帶總電量為其相應的等效電容或總電容為

即，并聯(lián)電容器的總電容等于各分電容之和。

當單個電容器的耐壓值過小，擬可將電容器串聯(lián)，以提高總耐壓。串聯(lián)時，這多個電容器所帶的電量均為(Q,-Q)，而總電壓

Utot

等于各分電壓之和，即且

于是相應的其等效電容或總電容Ctot

滿足以下方程，即，串聯(lián)電容器的總電容之倒數(shù)等于各分電容倒數(shù)值之和，其結(jié)果是總電容值減少了，比其中最小的電容值還要小，而其耐壓值卻提高了。電容器儲能公式電容器是存儲電量的元件，也是集中電場的元件。從能量角度考量，無論積累電量

(Q,-Q)或是建立電場，均需要從外部輸入能量，這通常由外接直流電源來承擔。擬可采取搬運電荷而做功的方式，導出電容器儲能公式。試搬運電荷

dq從負極

B至正極

A，而克服電場力做功為uAB

系建立電場過程中任意中間態(tài)的電勢差，此時它對應的極板電量為

(q,-q)。

電容C是一個集中反映電容器結(jié)構(gòu)參量的特征常數(shù)，它與極板電量的多少無關(guān)，也與極板間的電壓大小無關(guān)。故于是，那元功dA改寫為在這全過程中，搬運電荷而造成終態(tài)

(Q,-Q)所做的總功為這也正是電容器儲能的數(shù)值。即，電容器儲能公式為

一平行板電容器，其極板面積為

100cm2，兩極板間距為

0.1mm，耐壓

200V，試求出其最大儲能。首先算出其電容例題:并取其中電壓值為耐壓值

UM，得此電容器的最大儲能為

最后尚需強調(diào)指出，基于功能原理而得到的電容器儲能公式是普遍成立的，它適用于任何結(jié)構(gòu)的電容器，即適用于那三種閉合式的理想電容器，亦適用于開放式的實際電容器，這是因為在儲能公式中并未限定電容

C的具體樣式。這一點倒給予人們一種啟發(fā)，擬可以通過測量一電容器儲能的方式，而得到其電容

C值，當電壓

UAB

已知。電容器概念的擴展

電容

C概念并不局限于電容器。對于完全開放的多個導體構(gòu)成的導體系，其中任意兩個導體之間均可以引入電容一量，用以反映兩者帶電量與其電勢差彼此響應的程度。該導體系中有

A、B和

C三個導體，其帶電量

(QA,QB,QC)以形式示之，根據(jù)導體靜電平衡條件和唯一性定理，以及疊加原理，可以寫出當

(Q,0,0)，有

UAB’∝Q，寫成

UAB’=K1Q；當

(0,-Q,0)，有

UAB’’∝(-Q)，寫成

UAB’’=K2Q；當

(Q,-Q,0)，有

UAB=(UAB’+UAB’’)=K1Q+K2Q∝Q。

可見，電勢差

UAB

與電量Q

之間呈正比關(guān)系，有理由在此引入電容或稱之為電容系數(shù)CAB，它定義為即，導體系中兩個特定導體之間的電容定義為，在其它導體帶電量為零條件下，造成這兩者之單位電勢差所需的電量值?？梢灶A料，這電容值決定于導體系中各導體的形狀、大小和相對位置，并非僅僅決定于、兩者的幾何參量，第三者的存在及其身上出現(xiàn)的感應電荷必然影響著電勢差。由此可見，開放式導體系中各個電容系數(shù)的確定，遠比閉合式理想電容器電容公式的導出要困難。相對簡單的兩個典型半徑相等的兩個導體球的電容公式為當d>>R，忽略(R/d)2

項，半徑相等的雙導線之電容公式為

對于單一導體或一段導線，其表面積累的電量

Q與其電勢

U值之間顯然也是一種正比關(guān)系，即

Q∝U，據(jù)此定義其電容為綜上所述，電容概念并不受限于閉合式電容器，它廣泛地存在于任意導體系中。這種廣義電容器概念自有其認識價值，比如在電子線路的分析中時而提及的分布電容，指的就是上述的雙導線之電容或單導線之電容。2.5

電介質(zhì)的極化&極化強度矢量■

介質(zhì)極化圖像■

分子的極性■

介質(zhì)的極化機制■

極化強度矢量■

極化強度矢量與極化電荷的關(guān)系■

介質(zhì)表面極化面電荷密度公式■

極化強度矢量場的散度方程■

均勻極化的介質(zhì)球及其電場■

討論——對均勻極化介質(zhì)球電場的進一步考量介質(zhì)極化圖像這里所謂的電介質(zhì)，指稱置于電場中的絕緣物質(zhì)，諸如陶瓷、玻璃、聚乙烯、環(huán)氧樹脂、橡膠、云母、大理石，還有干木材、松香、紙、石蠟、煤油、硅和變壓器油，等等。它們的導電性能極弱，其體內(nèi)沒有足夠的自由電荷，其體內(nèi)各分子中的電子處于束縛態(tài)。然而，當這類介質(zhì)體進入電場后仍將改變空間電場分布。我們已知悉，當一導體置于外電場

E0

中，憑借其自身的自由電荷分布而產(chǎn)生一附加電場，以完全抵消體內(nèi)的外電場，致使體內(nèi)電場Ein=0。當一介質(zhì)球置于外電場中，也將產(chǎn)生一附加電場以削弱體內(nèi)的外電場，但其體內(nèi)的總電場一般不為零，Ein≠0；這附加電場是由介質(zhì)體表面的束縛電荷所產(chǎn)生的，而這表面束縛電荷源于外場作用下介質(zhì)的極化，或者說，介質(zhì)表面出現(xiàn)束縛電荷乃是介質(zhì)極化的一種宏觀后果。分子的極性介質(zhì)分子劃分為兩類，一類為無極分子，其正電中心與負電中心重合；另一類為有極分子，其正電中心與負電中心分離，形成了一個偶極矩

p子，稱其為分子固有偶極矩。分子固有偶極矩

p子=0的分子為無極分子，p子≠0的分子為有極分子。比如，四氯化碳為無極分子，而水分子為有極分子。有極分子固有偶極矩

p子數(shù)量級，按

p子=ql，選取

q≈10e，l

=1nm（分子尺度），估算為

p子=10-27C·m。介質(zhì)的極化機制無外場時的情形

在介質(zhì)體內(nèi)任一體積元

ΔV中，含有大量分子。對于有極分子組成的介質(zhì)，雖然其中每個分子具有偶極矩

p子

，由于這大量分子熱運動的無規(guī)性，在此體現(xiàn)為這大量p子的取向是雜亂無序，且各向同性，以致其矢量和為零，即(ΔV):Σp子

=0此式也適用于無極分子組成的介質(zhì)，其每個分子原本無固有偶極矩。有外場時的情形

無極分子中的正電極與負電極將沿相反方向而位移，從而形成一偶極子，體積元ΔV中這大量分子偶極矩p子

的方向是一致的，故Σp子

≠0，這一極化機制稱為位移極化。對于有極分子，在外電場力矩作用下p子將會轉(zhuǎn)動，且其轉(zhuǎn)動趨勢均為順向外場，即p子

//E，不論p子

的最初取向如何，順向外場的狀態(tài)是電偶極子的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，以致其宏觀效果也是Σp子

≠0。這一極化機制稱為取向極化?？傊瑹o極分子的位移極化與有極分子的取向極化，兩者的宏觀效果是一樣的，即(ΔV):Σp子

≠0相應地，在局域

ΔV中出現(xiàn)了分子偶極矩的有序取向。同時，在一宏觀介質(zhì)體中，那大量的一定取向的分子偶極矩矢量，首尾相接，一正電極與另一負電極相重，以致電量抵消，唯有臨近表面的那些

p子，貢獻出來未被抵消的凈電荷，出現(xiàn)于介質(zhì)體的表面層。這種場合出現(xiàn)的電荷稱為極化電荷或束縛電荷，以區(qū)別于導體內(nèi)的自由電荷。介質(zhì)體內(nèi)

Σ

p子

≠0，與介質(zhì)表面出現(xiàn)極化電荷，兩者互為表里極化強度矢量

P

為了定量地反映介質(zhì)體內(nèi)的極化狀態(tài)，引入一物理量——極化強度矢量

P，它定義為即，介質(zhì)體內(nèi)任意處的極化強度矢量，定義為該處單位體積中分子偶極矩的矢量和。顯然，真空中處處

P=0.

極化強度

P不僅是一個矢量，而且也是場點位置的函數(shù)，即

P(r)或P(x,y,z)。換言之，在介質(zhì)區(qū)域內(nèi)P(r)也是一個矢量場。若

P(r)與位置

r無關(guān)而保持為一常矢量，則稱其為均勻極化；若P

的方向或數(shù)值隨r而變化，則稱其為非均勻極化。實際上，即使在均勻外電場中，那樣一個形狀的介質(zhì)體，其最終達到平衡的極化狀態(tài)系非均勻極化。極化強度矢量的單位為

[P]=C·m/m3=C/m2=[σ].

即，其單位為庫侖/米2，相同于面電荷密度σ

的單位。之所以沒有采取這一純數(shù)學上的極限符號

limΔV0，是基于以下的考量。如果讓其分母

ΔV0，同時要求其分子

Σp子中含有大數(shù)目的

p子，這在邏輯上是不自洽的；

(ΔV)應是物理上的體積元，它固然很小，但宏觀小而微觀大，其中含有大數(shù)目的分子，而物質(zhì)分子是有線度的，而不是無窮小，其線度約為

d≈0.1nm–1nm，若取體積元

ΔV=1μm3，則含有約

109

個分子；從宏觀電磁學的尺度看，1μm3的體積元可以被看作一個“點”，雖然它不滿足

limΔV0這一純極限意義上的要求。鑒于此，在定義式后綴一個括號

(ΔV0)，以示它是物理上的體積元，其實基于以上考量，將這括號內(nèi)容寫成

(d3<<

ΔV0)更為恰當。最后，對極化強度矢量定義式中的符號選擇作個說明，極化強度矢量與極化電荷的關(guān)系兩者之定量關(guān)系推導，引入一個分子的有效偶極矩

p0，n為介質(zhì)分子數(shù)的體密度。上式的含義是，將單位體積中的總偶極矩平均分攤給每個分子，故每個分子獲得的偶極矩為

p0=P/n，稱其為分子有效偶極矩；或者，反過來認識，單位體積中之總偶極矩

P系每個分子

p0

貢獻所致，即

P=np0。

這里沒有輕易地將分子有效偶極矩與分子偶極矩p子

等同視之，因為對于有極分子而言，其表觀p子含固有偶極矩與取向偶極矩兩部分，前者因其方向上的無序，以致其矢量和為零而對P無貢獻。

換言之，分子有效偶極矩p0

并不等同于表觀上的分子偶極矩。當然，對于無極分子而言，p0

等同于p子

是成立的。與p0

對應的分子有效偶極間距為l0，它由p0=ql0關(guān)系給出。試考察宏觀區(qū)域

(V)內(nèi)未被抵消的凈電量

q’與極化強度矢量場

P(r)之關(guān)系。

在其閉合面

(Σ)上任取一面元

ΔS，此處極化強度為

P；以

ΔS為中心截面沿l0方向作一小柱體

(ΔV)，其軸向長度為

l0

。凡是在此

(ΔV)中的分子，其有效偶極矩p0均穿越面元ΔS，而對區(qū)域(V)貢獻一電量(-q)；此外，那些遠離(Σ)面的，或在外邊或在里頭，均無貢獻凈電量于

(V)內(nèi)。據(jù)此計算：

小柱體積元

ΔV=ΔS·cosθ

·l0=

ΔS

·l0(ΔS=ΔS·n)

內(nèi)含分子數(shù)ΔN=nΔV=nΔS·l0

，(n為分子數(shù)體密度)

貢獻于

(V)內(nèi)的凈電量Δq’=(-q)ΔN=-nqΔS·l0

。注意到，其中

ql0=p0，np0=P，于是再對整個閉合面

(Σ)積分，便得區(qū)域

(V)內(nèi)可能存在的極化電荷總量的表達式若以極化電荷體密度

ρ’一量表達總電量，則這就是極化強度矢量場與極化電荷分布之關(guān)系的普遍表達式，可稱其為極化強度矢量場

P(r)的通量定理。式中的“-”號：當閉合面的

P通量為正值，則出去的p0

數(shù)多于進入的，于是留在(V)內(nèi)的電量應為負值；反之，當閉合面的P通量為負值，則進入的p0數(shù)多于出去的，顯然這時積累于(V)內(nèi)的電量應為正值。介質(zhì)表面極化面電荷密度公式應用極化強度通量定理于如圖所示薄扁盒子(Σ)，一方面是：另一方面，扁盒子

(Σ)所包含的極化電量為:Δq’=σ’ΔS,而

P

通量定理表明

最終得到介質(zhì)表面的極化面電荷密度公式為：

該式表明，當P

與n

之間呈銳角，θ

<π/2，則

σ’>0;

當P

與n

之間呈鈍角，θ

>π/2，則

σ’<0;

當P

沿表面切線方向，θ

=π/2，則

σ’=0;

σ’=

Pn，或

σ’=

Pcos

θ,

或σ’=

P·n極化強度矢量場的散度方程借助數(shù)學場論中的高斯定理，以及P(r)的通量定理，

遂得

稱為極化強度矢量的散度方程，也稱為極化體電荷密度公式。關(guān)系式均具普遍性，它們與電介質(zhì)的性能無關(guān)，亦與介質(zhì)處于怎樣的極化狀態(tài)無關(guān)。均勻極化的介質(zhì)球及其電場一介質(zhì)球被均勻極化，且當外場撤消后仍能保持那極化狀態(tài)于體內(nèi)，設其體內(nèi)極化強度P

=

P0

為一常矢量。

首先考量其電荷分布。一均勻矢量場的散度處處為零，即，得ρ’=0。惟有面電荷密度σ’

分布于介質(zhì)球上，且具軸對稱性，其對稱軸為Z

軸。如此分布的面電荷分別在內(nèi)部和外部產(chǎn)生電場

Ein’、Eos’。對內(nèi)部電場

Ein’的計算較為簡單，至少在球心處和軸上的

Ein’是這樣，可借助均勻帶電圓環(huán)軸上場強公式，再積分而求得，

進而，再根據(jù)介質(zhì)球體內(nèi)的靜電場通量定理可將軸上均勻電場延拓到軸外，即軸外電場線不可能彎曲。總之，均勻極化的介質(zhì)球伴生一均勻電場于體內(nèi)，其方向與極化強度P0相反，故也稱其為退極化場。其球外電場Eos’

較為復雜，其電場線類似于一電偶極子的情形，即，其球外電場為一偶極場，這之前已予以證認：2.6

介質(zhì)的極化規(guī)律■

介質(zhì)靜電學問題全貌■

各向同性介質(zhì)的線性極化規(guī)律■

相對介電常數(shù)■

充滿介質(zhì)的平行板電容器■

導體/介質(zhì)界面的有效面電荷密度概念■

駐極體＆鐵電體■

討論—均勻線性介質(zhì)體內(nèi)無極化電荷介質(zhì)靜電學問題全貌靜電場與電介質(zhì)的相互作用，可概括敘述如下：在外場Eo

作用下介質(zhì)被極化，用極化強度矢量

P(r)描述極化狀態(tài)，極化的宏觀后果是出現(xiàn)極化電荷

(σ’,ρ’)，極化電荷同樣地按庫侖定律產(chǎn)生電場

E’(r)，總場由疊加原理給出

E=E0+E’，最終決定極化狀態(tài)的P(r)是總電場

，而不僅是外電場

E0。對于介質(zhì)體內(nèi)的分子而言，其感受到的只有一個電場力，并作出極化響應，它自然不能分辨這一電場力究竟來自外電場，或來自極化電荷的場。如圖所示的介質(zhì)靜電學問題涉及的四個環(huán)節(jié)即四個雙邊關(guān)系，其中，P

--(σ’,ρ’)關(guān)系、(σ’,ρ’)—E’關(guān)系、E—(E0,E’)關(guān)系，業(yè)已明瞭，只留下

P—E關(guān)系尚需研究，這系介質(zhì)極化的動力學問題，可以預料其結(jié)果即介質(zhì)的極化規(guī)律必定依賴于介質(zhì)的物性。各向同性介質(zhì)的線性極化規(guī)律

圖示為各向同性介質(zhì)其極化強度

P與場強E

的定量關(guān)系。在場強E

不是很大的一區(qū)域內(nèi)，兩者呈現(xiàn)線性關(guān)系，隨后呈現(xiàn)非線性關(guān)系；此后極化達到飽和狀態(tài)；若再增加場強必將擊穿介質(zhì)，因為E

已超過此介質(zhì)的擊穿場強Ed

若無特別聲明，即本課程均以各向同性介質(zhì)遵循線性極化規(guī)律為對象展開討論，即量綱為一的系數(shù)χe

稱為電極化率，因介質(zhì)而異，是反映極化能力的一個性能參數(shù)。真空的電極化率

χe

=0；空氣，χe

=0.005。相對介電常數(shù)

在隨后的介質(zhì)靜電學公式中，將不時地出現(xiàn)因子

(1+χe)，它宛如化學反應中的原子團，據(jù)此定義出介質(zhì)的相對介電常數(shù).真空的相對介電常數(shù)

εr=1；空氣

εr≈1.0；相對介電常數(shù)εr

與頻率f

有關(guān)，通常情況下εr

(r)

隨f增加而減少，在靜電條件下即f=0

時其εr值最大。

定性理解：在交變電場作用下，對于介質(zhì)的位移極化或取向極化，均出現(xiàn)一個響應或弛豫的問題，或者說，反復交變的分子有效偶極矩在介質(zhì)中受到了一個阻力或粘滯，從而減弱了宏觀上的極化強度P，以致電極化率

χe

值下降。充滿介質(zhì)的平行板電容器給定外場

E0，或自由電荷面密度

(±σ0)，以及相對介電常數(shù)。試求出：（1）總電場

E、電勢差

ΔU，（2）極化強度矢量

P、極化面電荷密度

(±σ’)，(3)此介電質(zhì)電容器的電容

C，并與其真空電容器的

C0作比較。（忽略邊緣效應）

首先，通過定性分析和對稱性分析，可以確認在緊貼(±σ0)極板的介質(zhì)表面上出現(xiàn)

(

σ’)極化面電荷，總場

E、外電場E0

和附加場E’三者方向均沿板面法線方向，且

P//E//E0//(-E’)，四者皆為均勻場。從而，可將一般情況下的聯(lián)立方程組（矢量方程組）：簡化為目前情形下的標量方程組，

這里有四個未知數(shù)(

E’,E,σ’,P)，且有四個獨立方程，故其解是存在且唯一，結(jié)果為總場強

，電勢差

；極化面電荷密度

，極化強度

；介質(zhì)電容器之電容

以上結(jié)果中某些結(jié)論，具有一定的普遍性并不受限于平行板電容器。凡是充滿一種電介質(zhì)的電容器，其電容值為真空電容器的

εr

倍，即

該式為測量相對介電常數(shù)提供了一種實驗方法，即擬可采取直流法或交流法測定電容比值

C/C0

，從而定下

εr

值。

就是說，此關(guān)系式也適用于球形電容器和柱形電容器。

比如，選擇聚乙烯材料，其

εr

為

2.3，其擊穿電場Ed為

19kV/mm，與其同樣面積和間距的空氣電容器比較，則聚乙烯電容器的電容值增加為2.3倍，尤其是耐壓提高為

6倍。若選擇二氧化鈦電容器，則其電容值增加為

80倍以上，而其耐壓也提高為

3

倍。介質(zhì)電容器的優(yōu)點有二：增加了電容量提高了耐壓。兩者均有利于提高電容器的儲能和增加自由電量，當電壓給定時?；蛘哒f，兩者均有利于電容器的小型化。又一例，如圖所示，一片介質(zhì)平板斜置于均勻外場之中。

給定

E0

和

εr

，試求出σ’、E和

P，忽略邊緣效應。先將外場

E0

作正交分解，且據(jù)此分析，列出方程組如下，求得：

這結(jié)果同時表明，P方向亦即

E方向不沿均勻外場

E0

方向，他們與法線方向

n之夾角為

θ’，滿足

可見

θ’>θ，這是因為附加場

En’//(-n)，而減弱了

E0

的法向分量，即以致合成矢量

E更偏離法線

n方向。導體

/介質(zhì)界面的有效面電荷密度概念

在介質(zhì)靜電問題中，常出現(xiàn)導體與介質(zhì)密接的界面，如圖所示電容器極板間充滿介質(zhì)導體球之外空間充滿介質(zhì)導體球被同心介質(zhì)球殼所包圍導體球殼之部分表面與介質(zhì)密接而介質(zhì)其它表面的形狀任意。推導σ0

與

σ’

之間有個確定關(guān)系：解得：考慮到

εr

>1，故上式表明

σ’

與

σ0

符號相反，且|σ’

|<|σ0

|。

從宏觀電磁學眼光看，σ’

與

σ0

兩者的所有電磁效果由其代數(shù)和予以體現(xiàn)，因為這兩者無限貼近而成為一個面元。故在此引入有效面電荷概念，其定義為它表明有效面電荷密度與自由面電荷密度之間有一個簡單的比例關(guān)系，其比例系數(shù)正是與導體密接的那個介質(zhì)相對介電常數(shù)

εr

。

值得強調(diào)的一點是，上述關(guān)系式是普遍成立的，它與界面形狀、周圍環(huán)境、帶電量及分布無關(guān)；當然它適用于各向同性的線性介質(zhì)，唯有此類介質(zhì)才存在相對介電常數(shù)

εr

。

這關(guān)系式很有用，在某些高度對稱性場合，憑借有效面電荷概念求解問題更為簡捷，而物理圖像也清晰，試看以下例題。

一導體球殼四周充滿介質(zhì)εr，這導體被充以電量Q0，試求其場強

E(r)。

體系具有球?qū)ΨQ性，故自由電荷

Q0均勻分布于球面上，從而極化電荷

Q’和有效電荷

Qe

也系均勻分布，唯此才能滿足導體球殼為等勢面的靜電平衡條件，于是，產(chǎn)生場強

E(r)的源電荷就是一個有效總電量為

Qe的均勻帶電球殼，且

Qe

=Q0/εr,

其相應的場強分布可立馬被寫出，

若此導體球殼之一半表面的外部空間充滿介質(zhì)，且這介質(zhì)與空氣的界面為一個通過球心的平面

(Σ)，這導體球依然被充以電量

Q0，試求其場強

E(r)。

本題設定有效面電荷密度

σe分布均勻，在邏輯上是自洽的，是唯一正確的解。σe均勻，則

σ0不均勻；左半球設為σ10：右半球為σ20

：且σe

=

σ10

/εr=σ20遂最終求出:駐極體&鐵電體有一種介質(zhì)，它在外電場作用下被極化，而當外場撤銷后其原先的極化狀態(tài)依然凍結(jié)于體內(nèi)，人們稱此類介質(zhì)為駐極體。對駐極體而言，退極化效應十分微弱，它從極化態(tài)回歸到無極化平衡態(tài)的弛豫時間非常長，一般以年為單位計之。這源于駐極體內(nèi)部，原本存在著大量的自發(fā)極化區(qū)，其極化強度的量級約為μC/cm2，而一般線性介質(zhì)就是在接近其擊穿場強的作用下，它的極化強度僅為10-3

μC/cm2

，即前者是后者的103

倍。

對于駐極體或駐極態(tài)，存在一個溫度上限Tc，稱為居里溫度，當其所處溫度高于

Tc

，則駐極態(tài)不復存在。

鐵電體是一種非線性介質(zhì)，其極化規(guī)律即P-E極化曲線，表現(xiàn)為復雜的電滯性，稱該閉合曲線為電滯回線，它類似于鐵磁材料的磁滯回線。鐵電體有鈦酸鋇，鈦酸鉛，鈦酸鍶；鉭酸鋰，鉭酸鉛；鈮酸納。駐極材料也是一種非線性介質(zhì)，其電滯回線呈現(xiàn)矩形?！居懻摗烤鶆蚓€性介質(zhì)體內(nèi)無極化電荷提示：根據(jù)以下四條：

極化強度矢量的散度方程▽·P=-ρ’

，

電場強度矢量的散度方程▽·E=ρ’/ε0

，

各向同性線性介質(zhì)的極化規(guī)律P=ε0χeE，

均勻介質(zhì)指稱其電極化率

χe

為一常數(shù)，與場點位置(x,y,z)無關(guān)。

最終導出ρ’=0

【討論】一非均勻且線性介質(zhì)其極化率函數(shù)為

試分析其極化體電荷密度

ρ’(x)將是怎樣的，設

E，P方向沿x軸，且為

E(x)、P(x)函數(shù)形式。2.7電位移矢量■引入電位移矢量■電位移矢量的通量定理■各向同性線性介質(zhì)中

D與E關(guān)系■有介質(zhì)時靜電場規(guī)律的表達式■極化體電荷密度＆有效體電荷密度概念■多層介質(zhì)電容器■討論—用有效面電荷概念求解多層介質(zhì)電容器引入電位移矢量

在介質(zhì)靜電學中，關(guān)于靜電場的通量定理和環(huán)路定理無疑是成立的，即

考量到電介質(zhì)的存在及其身上出現(xiàn)的極化電荷，上式通量定理中

Σq可以被看為兩部分，

其中，Σq’是閉合面所包圍區(qū)域中電介質(zhì)的極化電荷，Σq0

是除極化電荷以外的其它電荷。

聯(lián)系到極化強度矢量場的通量定理，即

可將場強

E通量定理中的

Σq’替換為極化強度

P的通量，

乘以

ε0且移項，得

注意到其中被積函數(shù)是一個由

(E,P)組合而成的物理量，由此定義出，或者說，由此發(fā)現(xiàn)了一個新的場量，稱其為電位移矢量。其單位相同于面電荷密度的單位，即電位移矢量的通量定理

這新的場量

D的物理意義，首先體現(xiàn)在其通量定理中，電位移矢量對一閉合面的通量等于這區(qū)域中所有非極化電荷的代數(shù)和若僅有電介質(zhì)和導體，則Σq0

就是導體上自由電荷的代數(shù)和；若僅有電介質(zhì)和空間電荷，則Σq0

就該是這空間電荷的代數(shù)和。在D

的通量表達式中，不出現(xiàn)極化電荷q’，極化電荷被隱藏了。

極化電荷具有束縛性，它不可傳導，因之不可直接測量和控制，它們總是被束縛在介質(zhì)身上；一個介質(zhì)體上所有極化電荷的代數(shù)和必定為零，即極化電荷的不可分割性。極化電荷品性內(nèi)斂與其在電位移通量定理中不被顯露，兩者倒亦相稱。各向同性線性介質(zhì)中D

與E

的關(guān)系電位移矢量

D的定義式是普遍的，它不受限于電介質(zhì)的性能

在真空中，P=0，故

在各向同性介質(zhì)中，在各向同性線性介質(zhì)中，D與

E之間是一個簡單的正比關(guān)系，其比例系數(shù)中含該介質(zhì)的相對介電常數(shù)

εr

，而將全系數(shù)稱

ε

=εrε0

為該介質(zhì)的介電常數(shù)。關(guān)系式不適用于非線性介質(zhì)。對于各向異性的線性介質(zhì)而言，其體內(nèi)

D與

E之方向可以不一致，它們的線性關(guān)系由一個介電張量予以刻畫，而非目前的一個標量（介電常數(shù)）。有介質(zhì)時靜電場規(guī)律的表達式

在介質(zhì)靜電學中靜電場的基本規(guī)律常表達為:微分方程在某些高度對稱性的場合，憑借電位移通量定理式由

Σq0方便地求解得

D(r)，再立馬求得

E(r)和

U(r)；這一求解途徑避開了對極化電荷

Σq’和極化強度

P的具體分析，顯得簡捷而抽象。極化體電荷密度&有效體電荷密度概念

以均勻各向同性線性介質(zhì)為對象，討論介質(zhì)體內(nèi)極化電荷問題。采取微分方程考量：均勻介質(zhì)，εr

為一常數(shù)，與場點位置

(x,y,z)無關(guān)

，有又根據(jù)場強E的散度方程，最后求出：對于一般電介質(zhì)而言，ρ0

=0，故

ρ’

=0，即，不可能出現(xiàn)極化體電荷，而極化面電荷總是要出現(xiàn)的，即使該介質(zhì)處于非均勻極化

P(x,y,z)，也是如此，ρ’

為零。對于某些摻雜的電介質(zhì)，其體內(nèi)可能存在大量且離散的摻雜離子，則ρ0

就是局域離子電荷體密度，或看作介質(zhì)中離子電荷的平均體密度，此時介質(zhì)便響應一個與符號相反的極化體電荷ρ’

，以削弱對外部空間的電效應，起了一個部分屏蔽作用，最終以有效體電荷密度ρe

給以體現(xiàn)，其數(shù)值等于

ρ0除以

εr。結(jié)果也可以推廣到點電荷模型，當一點電荷

q置于一均勻各向同性線性介質(zhì)

εr中，則其對外部的電效應由一電量為

qe=q/εr的點電荷來等效。

ρ’

為該處極化體電荷密度；

ρ0

為該處非極化電荷體密度。多層介質(zhì)電容器

先考量充滿單一介質(zhì)的球形電容器。該體系具有對稱性，即

D(r)或E(r)

方向沿矢徑

r，且數(shù)值僅與

r有關(guān)，于是，應用電位移通量定理于半徑為

r的球面，

為了進一步提高電容器的耐壓值，可填充多層介質(zhì)。其間電位移

D(r)依然為:

而對于場強

E(r)應當分區(qū)求其解：【討論】試用導體/介質(zhì)界面有效面電荷概念，求解多層介質(zhì)電容器，并給出R2

球面上的極化電量值。【提示】三個球面上的電荷分布分別為R1

球面：Q0，

，即;R2

球面：(-Q1’)，

(-Q2’)

，即

R3

球面：(-Q0)，

，即

2.8

靜電場的邊值關(guān)系■邊值關(guān)系的理論地位■界面兩側(cè)的物理圖像■靜電場邊值關(guān)系■場邊值關(guān)系包含的細致內(nèi)容■例題——駐極體薄片■例題——一個介質(zhì)球在均勻外場中■小結(jié)——介質(zhì)靜電學基本規(guī)律■討論——一駐極體球在均勻介質(zhì)中邊值關(guān)系的理論地位

在兩種介質(zhì)交界面之兩側(cè)，其場量

D或

E將有突變，這源于那界面上存在極化面電荷。物理學上總是將電磁場的積分方程轉(zhuǎn)化為微分方程來求解。然而，對于介質(zhì)分區(qū)均勻這類通常情況，場在界面處的突變，使微商運算失靈，即微分方程在邊界失去意義，而代之以邊值關(guān)系。場在界面的邊值關(guān)系與場在體內(nèi)遵循的微分方程，兩者的結(jié)合，再加上可能存在的實際邊界條件，電磁場才能最終被定解。

場邊值關(guān)系的理論地位是與體內(nèi)場之微分方程平等的，兩者均由普遍的通量定理和環(huán)路定理的積分方程導出。頗有意思的是，在某些場合單憑場邊值關(guān)系就能對問題作出有效的回答，對定解的正誤作出可靠的判斷?？傊?，理解并掌握場邊值關(guān)系，在理論上和實用上都有重要意義。界面兩側(cè)的物理圖像

以宏觀電磁學眼光看，這介質(zhì)界面是一個無厚度的幾何面，所謂界面兩側(cè)特指無限接近界面且分居兩側(cè)的兩個場點。設一外電場

E0

連續(xù)地通過界面，在其作用下，左側(cè)介質(zhì)

ε1r在界面上任一處貢獻極化面電荷

σ1’>0，而右側(cè)介質(zhì)

ε2r在界面上同一處貢獻極化面電荷

σ2’>0。因兩種介質(zhì)有不同的極化能力，以致此處有效面電荷密度

σe

=σ1’

+σ2’≠0

；比如當ε1r

>

ε2r，則

σe

<0。這極化面電荷在兩側(cè)產(chǎn)生的附加場是反向突變的，一側(cè)為

E’，另一側(cè)為

(-E’)。于是，按場強疊加原理，這兩處的總場分別為

E1=E0+(-E’)，E2

=E0+(-E’)，兩者方向顯然有異，即經(jīng)界面場強發(fā)生偏折，或者說，界面兩側(cè)場有突變。靜電場邊值關(guān)系

應用電位移通量定理，忽略其側(cè)面的電通量：

應用電場環(huán)路定理，忽略其窄邊的環(huán)量:

靜電場