類比探究性問題

中考復(fù)習(xí)專題：類比探究型問題1.（2012年河南22）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G。

若

=

3,求

的值.(1)嘗試探究在圖1中，過點(diǎn)E作EH//AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是__，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是____，

的值是

______.初步感知(2)類比延伸如圖2，在原題的條件下，若

=m(m＞0),則

的值是____（用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程.(3)拓展遷移如圖3，梯形ABCD中，DC//AB，點(diǎn)E是BC的延長線上一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F，若

=a,

=b(a＞0,b＞0),則

的值是_________________（用含a、b的代數(shù)式表示）.EDCABGFEDCABGFEDCABF數(shù)學(xué)探究題類型河南中考數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)探究題大致分為三類：一、探索條件型（第17題）二、探索結(jié)論型（第22題10分）三、探索存在型（第23題第3問）注：在近幾年的河南中考中，探索規(guī)律型題目被逐漸淡化。探索結(jié)論型題目特點(diǎn)1、結(jié)論未給定：出題人往往給定條件，但無明確的結(jié)論，要求考生通過自己的觀察、聯(lián)想、分析、比較、歸納、概括來探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論；2、綜合性較強(qiáng)：解決此類題目，通常要綜合運(yùn)用初中學(xué)過的大量幾何知識(shí)，如特殊三角形、全等（相似）三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，圓的相關(guān)性質(zhì)與定理等；3、前后關(guān)聯(lián)強(qiáng)：題目中的條件常常由特殊到一般，結(jié)論由簡單到復(fù)雜，前后結(jié)論具有明顯的關(guān)聯(lián)性，有時(shí)還運(yùn)用結(jié)論解決實(shí)際問題。題型特征類比探究題以幾何綜合題為主，題目一般有三問或更多，每小問的條件、結(jié)論和圖形相似度很高，由特殊情形到一般情形（或由簡單情形到復(fù)雜情形）逐步深入。探索結(jié)論型題目解決方法針對(duì)該題型的上述特點(diǎn)，在解決問題時(shí)，可從以下兩個(gè)方面著手：1、觀察圖形特點(diǎn)，聯(lián)想基本圖形。如：“圖中有無特殊三角形？有無全等（相似）三角形？有無A型、X型和K型相似？”等。2、注重前后聯(lián)系，進(jìn)行類比遷移。如：“第一問的全等（相似）關(guān)系是否仍然成立？上一問的輔助線是否仍然需要？前面的全等（相似）證明方法是否仍然不變？”等。22題類比探究、動(dòng)態(tài)幾何類比探究題型特征：圖形結(jié)構(gòu)類似、問法類似，常含探究、類比等關(guān)鍵詞。解題方法：1.照搬：照搬上一問的方法、思路解決問題。如照搬字母、照搬輔助線、照搬全等、照搬相似。2.找結(jié)構(gòu)：尋找不變的結(jié)構(gòu)，利用不變結(jié)構(gòu)的特征解決問題。常見不變結(jié)構(gòu)及方法：①直角，作橫平豎直的線，找全等或相似；②中點(diǎn)，作倍長，通過全等轉(zhuǎn)移邊和角；③平行，找相似，轉(zhuǎn)比例。旋轉(zhuǎn)：找等腰結(jié)構(gòu)、借助全等整合條件

[實(shí)例剖析]（2014年河南中考·第22題）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE。填空：（1）∠AEB的度數(shù)為

；（2）線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是

。

[實(shí)例剖析]（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形∠ACB=∠DCE=900,點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE。請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。[實(shí)例剖析]（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，。若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離。

[實(shí)例剖析]（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，。若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離。

[實(shí)例剖析]（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，。若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離。

[實(shí)例剖析]（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，。若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離。

2.（2013河南22）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：

①線段DE與AC的位置關(guān)系是_________；

初步感知

（2）猜想論證

當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中

與

的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和

△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC=60°，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE//AB交

BC于點(diǎn)E（如圖4）.若在射線BA上存在點(diǎn)F，使

，請(qǐng)直接

寫出相應(yīng)的BF的長.ECBAD②設(shè)△BDC的面積為

，△AEC的面積為

，

則

與

的數(shù)量關(guān)系是___.A(D)B(E)CACBDMABCDEN課堂檢測(cè)（1）問題背景

如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC的平分線交直線AC于D，

過點(diǎn)C作CE⊥BD，交直線BD于E．請(qǐng)直接寫出線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系．（事實(shí)上，我們可以延長CE與直線BA相交，通過三角形的全等等知識(shí)解決問題．）（2）類比探索在（1）中，如果把BD改為∠ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不

變（如圖2），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展延伸

在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他條件均不變（如圖3），請(qǐng)你直接寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系．結(jié)論：BD=

CE（用含n的代數(shù)式表示）．（1）問題背景

如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC的平分線交直線AC于D，過點(diǎn)C作CE⊥BD，交直線BD于E．請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD與CE的數(shù)量關(guān)系．（事實(shí)上，我們可以延長CE與直線BA相交，通過三角形的全等等知識(shí)解決問題．）M圖1

BD=2CE（2）類比探索在（1）中，如果把BD改為∠ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變（如圖2），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；M

BD=2CE（3）拓展延伸

在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他條件均不變（如圖3），請(qǐng)你直接寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系．結(jié)論：BD=

CE（用含n的代數(shù)式表示）．M2nΔBAD∽ΔCAMΔBCM是等腰三角形即BD=nCMCM=2CE∴BD=2nCE方法總結(jié)ΔBAD≌ΔCAMΔBCM是等腰三角形ΔBAD∽ΔCAMΔBCM是等腰三角形MΔBAD≌ΔCAMΔBCM是等腰三角形類比M類比MC（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF．你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．（2）類比猜想：如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長線上時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想AF與BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如圖③，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合）連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF、BF′，探究AF、BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你探究的結(jié)論．Ⅱ．如圖④，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△邊BA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結(jié)論是否成立？若不成立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論．問題探究例.(2010河南22）（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，

且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部．小明將BG延長交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說明理由；（3）類比探究

保持（1）中的條件不變，若DC=nDF，求

的值.（2）問題解決

保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求

的值；EABCDFG（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部．小明將BG延長交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說明理由；ABCDEFGABCDEFG1243（2）問題解決

保持（1）中的條件不變，

若DC=2DF，求

的值；BCADEFG（3）類比探究保持（1）中的條件不變，若DC=nDF，求

的值；ABCDEFG（2）問題解決

保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求

的值；BCADEFGABCDEFG（3）類比探究保持（1）中的條件不變，若DC=nDF，求

的值；類比過程示范：ABCDEFG解：設(shè)FD=a,∴由（1）知，GF=DF,則GF=a又∵在矩形ABCD中，∴CF=a,

AB=CD=2a由折疊可知，BG=AB=2a∴在RtΔBFC中，DC=2DFDC=nDF∴CF=(n-1)a,AB=CD=na由折疊可知，BG=AB=naBCADEFG類比解：由（1）知，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°，即∠BEF=90°又∵在RtΔABE中，∠1+∠5=90°∴∠1+∠4=90°由折疊可知，∠1=∠2∴∠4=∠5ABCDEFG12345∴RtΔABE∽R(shí)tΔDEF又∵DC=2DF∴設(shè)FD=a,則CF=a,AB=2a又∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)∴設(shè)AE=x,則ED=xABCDEFGxx又∵∠A=∠D=90°又∵DC=nDF∴設(shè)FD=a,則CF=(n-1)a,AB=na題型變式：（2014新鄉(xiāng)一模第22題）在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線段BC上（不與點(diǎn)B重合），∠BPE=∠ACB，PE交BO于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖1），求證：△BOG≌△POE；MΔBAD≌ΔCAM（2）通過觀察、測(cè)量，猜想：=，并結(jié)合圖2證