第15章結(jié)構(gòu)的動力計算

結(jié)構(gòu)力學(xué)

第15章結(jié)構(gòu)的動力計算主要內(nèi)容1基本概念2無阻尼單自由度體系的自由振動3無阻尼單自由度體系的受迫振動4阻尼對振動的影響5兩自由度體系的自由振動6多自由度體系的自由振動7多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動8振型分解法§15.1引言1.1動力計算的特點和內(nèi)容

在以前各章中，討論了結(jié)構(gòu)在靜力荷載作用下的計算，它只研究結(jié)構(gòu)處于靜力平衡位置時，外荷載對結(jié)構(gòu)的影響。此時荷載的大小、方向和作用點以及所產(chǎn)生的內(nèi)力、位移等均認(rèn)為是不隨時間t變化。但在實際工程中，絕大多數(shù)荷載都是隨時間而變化的。如：具有偏心質(zhì)量的回旋機(jī)器它所傳遞給結(jié)構(gòu)上的橫向力就是時間t的函數(shù)。Fpt圖(a)圖(b)Fpsint這類荷載稱為動力荷載

顯然，結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的計算與靜力荷載作用下的計算將有很大的的區(qū)別，而且要復(fù)雜的多。這是因為，在進(jìn)行動力計算時，除了需要考慮慣性力外，還需取時間作為自變量。在動力問題中，內(nèi)力與荷載不能構(gòu)成靜力平衡，但根據(jù)達(dá)朗伯爾原理，可以將動力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題，方法是任一時刻在結(jié)構(gòu)上加入假想的慣性力作為外力。即結(jié)構(gòu)在形式上處于“平衡狀態(tài)”，這樣，就可以應(yīng)用靜力學(xué)的有關(guān)原理和方法計算在給定時刻的內(nèi)力和位移等。在實際工程中，大多數(shù)荷載都是隨時間的改變而變化的，但有一些荷載使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很小的震動，以至于其上的慣性力可以忽略不計，此時為了簡化計算，將其視為靜力荷載。僅將那些隨時間變化，且使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大正的振動影響的荷載作為動力荷載來考慮。結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究的內(nèi)容：結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究的內(nèi)容是研究結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)的計算原理和方法。而“動力反應(yīng)”是指在動力荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力、動位移、速度、加速度等。動力反應(yīng)的大小主要取決于自振頻率（結(jié)構(gòu)自由振動時的頻率）和阻尼（結(jié)構(gòu)振動時引起的能量耗損）。一般而言，結(jié)構(gòu)的自振頻率往往有很多個甚至無窮多個，對于每一個自振頻率，結(jié)構(gòu)均有一種相應(yīng)的振動形式與之對應(yīng)，這種與自振頻率相對應(yīng)的振動形式，簡稱振型。結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的動力反應(yīng)與結(jié)構(gòu)的動力特征有密切的關(guān)系。因此，研究結(jié)構(gòu)的自由振動就成為動力計算中重要的組成部分。結(jié)構(gòu)的動力計算可分為自由振動和受迫振動兩類。前者研究結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，后者研究在動力荷載的作用下的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)。1.2動力荷載的分類

根據(jù)動力荷載的變化規(guī)律及對結(jié)構(gòu)的作用特點，可將動力荷載分為如下幾類：簡諧荷載：按正弦或余弦函數(shù)變化的周期荷載，如圖(a)中的勻速回轉(zhuǎn)機(jī)械。一般周期荷載：它是指除了簡諧荷載以外的其他形式的周期荷載，如各種機(jī)械中的曲柄連桿滑塊機(jī)構(gòu)中的連桿受力。沖擊荷載：這類荷載的特點為在很短的時間內(nèi)荷載值急劇增大或減小。如鍛壓機(jī)械中的鍛錘對基礎(chǔ)的沖擊、炸藥爆炸等。隨機(jī)荷載：這類荷載特點是它們不僅隨時間作復(fù)雜的變化，而且荷載在基本條件不變的情況下，由于偶然因素的影響，兩次荷載不會重復(fù)同一波形。如風(fēng)荷載、海洋中的波浪荷載、地震荷載等1.3體系振動的自由度

象靜力計算一樣，在動力計算時，首先需要選取一個合理的計算簡圖。但由于需要考慮慣性力，因此在動力計算的簡圖中，多了一項關(guān)于質(zhì)量分布的處理問題。當(dāng)體系振動時，它的慣性力與質(zhì)量的運(yùn)動情況有關(guān)，所以確定質(zhì)量在運(yùn)動中的位置具有重要的意義，質(zhì)量的位置可以用某些獨立的參變數(shù)表示。

振動的自由度：我們把確定體系上全部質(zhì)量位置所需的獨立參變數(shù)的數(shù)目，稱為該體系的振動自由度。例1如圖(a)所示跨中置一質(zhì)量為m電動機(jī)的簡支梁，當(dāng)梁自身的質(zhì)量遠(yuǎn)小于電動機(jī)的質(zhì)量時，梁的質(zhì)量可忽略不計。其計算簡圖如圖(b)所示。

圖(a)圖(b)y(t)m故該體系的振動自由度為1。例2如圖所示三層平面剛架(b)例2圖

當(dāng)僅考慮在水平動力荷載作用下剛架的橫向振動時，其各層面的豎向振動較小，可略去不計，再假定將各立柱的質(zhì)量分別集中于柱的兩端，并不考慮各桿的軸向變形，其計算簡圖如圖(b)所示。其振動自由度為3

象這樣，具有兩個或兩個以上，且為有限數(shù)目自由度的體系稱為多自由度體系。例3如圖所示具有連續(xù)分布質(zhì)量的體系，設(shè)單位長度上的質(zhì)量集度為m，可將其視為無窮多質(zhì)點的情況，故其自由度是無窮多個，這種體系稱為無限自由度體系。

凡屬于需考慮桿件自身質(zhì)量的結(jié)構(gòu)都是無限自由度體系，嚴(yán)格地講，一切彈性體系都屬于無限自由度體系，只是為了便于分析有時才簡化為多自由度體系。

應(yīng)該指出，把一個無限自由度體系簡化為有限自由度體系時，除了集中質(zhì)量的方法之外，還可以通過近似地假設(shè)振動曲線來實現(xiàn)。例3圖dxmdx例4如圖示具有分布質(zhì)量的煙囪，假定它的振動曲線為上式中ai(i=1,2……n)為待定系數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)；i(x)(i=1,2……n)為形狀函數(shù)，是滿足位移邊界條件的已知函數(shù)。例4圖xy(x)1.4體系振動的衰減現(xiàn)象和阻尼力

與靜力問題相比，在分析某些動力問題時，除了必須考慮質(zhì)點的慣性力外，還需考慮體系中的另一個重要的特性力——阻尼力。如圖下圖所示為一鋼結(jié)構(gòu)模型在自由振動的實驗中，位移與時間的關(guān)系曲線的大致形狀。ty

實驗表明，自由振動時的振幅隨時間增加逐步減小，直至最后振幅衰減為零振動停止。這種現(xiàn)象稱為自由振動的衰減。

因為在振幅的位置（位移最大值的位置）結(jié)構(gòu)的變形速度為零，故此時的變形能即代表體系的全部機(jī)械能，振幅隨時間減小這一現(xiàn)象說明，在振動過程中，要產(chǎn)生能量耗損，當(dāng)初始的能量完全耗盡時，振動即停止。引起能量耗損的因素有：結(jié)構(gòu)材料的內(nèi)摩擦阻力；周圍介質(zhì)對震動的阻力；支座、結(jié)點等結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)處的摩擦力；地基的內(nèi)摩擦阻力等。這些引起能量耗散的因素稱為阻尼。阻尼是結(jié)構(gòu)的一個重要的動力特征，對于阻尼因素的本質(zhì)的認(rèn)識，到目前為止研究的還很不夠。對一個結(jié)構(gòu)來說，往往同時存在幾種不同性質(zhì)的阻尼因素，這就使得數(shù)學(xué)表達(dá)更加困難，因而不得不采用簡化的阻尼模型，以便進(jìn)行振動分析。

關(guān)于阻尼力問題，有幾種不同的阻尼理論，在這里介紹一種應(yīng)用最廣泛的所謂粘滯阻尼理論（也稱伊伏特理論），這種理論假設(shè)：

阻尼力與體系振動時的變形速度成正比，但方向與運(yùn)動方向相反。即上式中，R為阻尼力，c為阻尼系數(shù)。(15-1)§15.2無阻尼單自由度體系的自由振動

2.1運(yùn)動方程的建立如圖(a)所示無質(zhì)量懸臂梁，在自由端有一質(zhì)量為m的物體。當(dāng)未受到外界干擾時，梁將在重力的作用下處于虛線所示的靜平衡位置。質(zhì)量m處的靜力位移為ys。m

現(xiàn)假設(shè)由于外界干擾使質(zhì)量m離開靜平衡位置，當(dāng)外部干擾突然消失后，由于梁的彈性影響，質(zhì)量m將在靜平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動。這種在振動過程中，不受干擾力作用，而由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的振動，稱為自由振動或稱固有振動。

此懸臂梁振動的理想模型如圖(b)所示的彈簧質(zhì)量體系，梁對質(zhì)量m所提供的彈性恢復(fù)力改用剛度系數(shù)為k11的彈簧表示。m圖(a)k11m圖(b)靜平衡位置ysydmgS(t)I(t)圖(c)

其運(yùn)動微分方程可根據(jù)達(dá)朗伯爾原理求出。取質(zhì)量m為隔離體如圖(c)所示。設(shè)在t時刻向下運(yùn)動。則質(zhì)量m的受力有重力：mg

彈性恢復(fù)力S(t)，它的方向與位移的方向相反慣性力I(t)，它的方向與加速度的方向相反mgS(t)I(t)圖(c)其中列動平衡方程為因為，代入上式整理得

上述確定體系運(yùn)動方程的方法稱為列動力平衡方程法（也稱剛度法），也可采用列位移方程的方法（也稱柔度法）建立運(yùn)動方程。

質(zhì)點在任意時刻t的位移，為體系受到的作用力有重力mg，慣性力（彈性恢復(fù)力是內(nèi)力）引起的位移之和。即(a)上式整理即得(a)式。這種確定體系運(yùn)動方程的方法稱為列位移方程法（也稱柔度法）。

(a)上式表明，若建立體系的運(yùn)動方程時，以靜平衡位置作為位移計算起點，則所得動位移的運(yùn)動方程與重力無關(guān)。在以后的內(nèi)容學(xué)習(xí)中，將采用這種方法，且為了書寫方便，略去表示動位移的下標(biāo)d，直接用y(t)表示。這樣上式改寫為(15-2)這就是無阻尼單自由度體系自由振動的運(yùn)動方程。2.2自由振動的運(yùn)動方程的解

為了便于求解，將無阻尼單自由度體系自由振動的運(yùn)動方程（15-2）式改寫成下列標(biāo)準(zhǔn)形式（15-3）上式中（15-3）式是一個標(biāo)準(zhǔn)形式的二階線性齊次微分方程，其通解為由初始位移條件y(0)=y0得B=y0

，由初始速度條件得，則動位移為（15-4）上式也可改寫成另一種形式，令y0=Asin，則（15-5）其中（15-5）式說明，無阻尼單自由度體系自由振動是簡諧振動，其振動的幅值（質(zhì)點m的最大動位移）為A，初相角為。(1)結(jié)構(gòu)的自振周期

2.3結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率

（15-5）式右邊為一個周期函數(shù)，其周期為（15-7）（15-5）不難驗證，，。這說明，在自振過程中，每經(jīng)過一段T時間后，質(zhì)點重復(fù)原來的運(yùn)動情況，因此T被稱為自振周期，單位一般用s（秒）。(2)工程頻率

自振周期的倒數(shù)稱為工程頻率。用f表示。（15-8）工程頻率f表示單位時間(秒)內(nèi)振動次數(shù)。單位是1/s，或稱為赫茲(Hz)。由（15-8）式可得（15-8）（15-9）上式表示2秒內(nèi)振動次數(shù)，稱為園頻率，簡稱頻率，自由振動時常稱其為自振頻率。

結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率是一個重要的結(jié)構(gòu)動力特征量。其定義不難看出，它是由結(jié)構(gòu)固有屬性確定的，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)，因此常常百自振周期稱為固有周期。例1如圖示體系，求其運(yùn)動方程。ymEIl例1圖Msin

t解：取靜平衡位置為位移計算起點，采用列位移方程法建立運(yùn)動方程?！摺噙@就是所要求的運(yùn)動方程。例2

如圖示三種不同支承情況的單跨梁，不計梁的自重，EI=常數(shù)，比較三者的自振頻率。例2圖ml/2l/2(a)(b)(c)解：

∵3mgl/16mgl/8mgl/8∴振動加快！例3

如圖示剛架的自振頻率，不計立柱的質(zhì)量。EIEIEI1=∞m例3圖解：

在不考慮軸向變形的情況下，橫梁的各質(zhì)點水平位移相同。故為單自由度體系。由知，應(yīng)先求k11

1k11k1112EI/h312EI/h3使橫梁單位位移后，由平衡條件得則2.4簡諧自由振動的特性

∵∴則慣性力為上式說明，在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力都是初相角相同的正弦規(guī)律變化的同步運(yùn)動，因此，這三者將同時達(dá)到各自的最大值（幅值）。即

受迫振動是指體系在干擾力Fp(t)作用下所產(chǎn)生的振動。如圖(a)所示為單自由度體系的受迫振動模型?！?5.3無阻尼單自由度體系的受迫振動k11m圖(a)Fp(t)

取靜平衡位置作為位移計算起點，質(zhì)量m為隔離體，由動力平衡方程得Fp(t)mI(t)S(t)或（15-12）這就是無阻尼單自由度體系受迫振動運(yùn)動方程。下面討論在幾種常見動力荷載Fp(t)作用下結(jié)構(gòu)的振動情況和動力特性。設(shè)簡諧荷載的表達(dá)式為3.1簡諧荷載

（15-13）上式中為簡諧荷載的圓頻率，F(xiàn)p為干擾力的幅值。把簡諧荷載代入受迫振動運(yùn)動方程得上式的解(齊次方程的通解加特解)為積分常數(shù)由初始條件確定。設(shè)：y(0)=0，，可得代回得上式由兩部分組成：第一部分sint項按自振頻率振動，它是伴隨干擾力的作用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動。在實際的振動過程中，由于存在阻尼的作用（下一節(jié)講），將很快衰減至零；第二部分sint項是按干擾力的頻率進(jìn)行的振動。開始時，兩種振動同時存在的階段通常稱為過渡階段。將伴生自由振動衰減后只按干擾力頻率振動的階段稱為平穩(wěn)階段。此階段的振動一般稱為穩(wěn)態(tài)受迫振動，或稱受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。下面討論穩(wěn)態(tài)受迫振動。此時有∵∴（15-14）式中稱為放大系數(shù)，或稱位移動力系數(shù)

稱為頻比

討論：(1)當(dāng)<1，即<時，則>1

表明動力位移的方向與干擾力Fp(t)的方向相同，且動力位移的幅值(.ys)恒大于干擾力幅值所產(chǎn)生的靜力位移ys。當(dāng)<<時（很小，干擾力的周期將很大），.≈1。此時結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)與干擾力幅值所產(chǎn)生的靜力反應(yīng)趨于一致（不振動）。如：時(2)當(dāng)>1，即>時，則<0

此時說明，動力位移的方向與干擾力Fp(t)的方向相反。若>>(干擾力的頻率很高)，將有.→0，這說明，質(zhì)量m只在靜平衡位置附近做幅度極小的高頻振動。(3)當(dāng)≈時，則→∞這說明當(dāng)干擾力的頻率與自振頻率重合時，動力位移將無限增大，這種現(xiàn)象稱為“共振”。下一節(jié)將討論，由于阻尼的存在，不可能無限增大，但仍將很大，容易造成結(jié)構(gòu)破壞。因此，在工程設(shè)計時，應(yīng)盡量避免。一般規(guī)定與的值至少相差25%。3.2一般動力荷載

在一般動力荷載如圖(b)所示tFp(t)t圖(b)其特解可利用瞬時沖量作用下的振動導(dǎo)出。dS=Fp()dd瞬時沖量tFp(t)t圖(b)dS=Fp()dd一個靜止的體系，在瞬時沖量作用下的振動，可視為一個由初始條件引起的自由振動。為此，先確定由瞬時沖量引起的初位移和初速度。如圖(c)所示為一瞬時沖量（一個脈沖），根據(jù)牛頓第二定律tFp(t)圖(c)dtFp(t)則上式中dv為速度增量。如果質(zhì)量在瞬時沖量dS的作用之前處于靜止，則dv即為dS作用后質(zhì)量m在t=dt時的速度。在dt時間內(nèi)的平均速度為于是質(zhì)量m在t=dt時的位移為當(dāng)t>dt時，因荷載Fp(t)已不作用于結(jié)構(gòu)上，故結(jié)構(gòu)的振動為以dy、dv為初始條件的自由振動?？紤]到dy為高階微量。則當(dāng)t>dt時的初始條件可簡化為y0=0，。代入（15-4）式自由振動響應(yīng)的表達(dá)式得瞬時沖量dS引起的動力反應(yīng)為（15-15）利用上式，即可求出任意干擾力作用下的振動方程。如圖(c)所示任意干擾力，將其時間劃分為無窮多個微段dt，則Fp(t).dt可視為瞬時沖量dS，利用（15-15）式可得任意干擾力引起的動力反應(yīng)為（15-16）上式稱為杜哈梅(Duhamel)積分。它就是在初始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意干擾力Fp(t)作用下的動力位移計算公式。如果初始條件不為零，則由疊加原理得總響應(yīng)為（15-17）將上式代入杜哈梅積分，得動力響應(yīng)為積分整理可得例4當(dāng)初始條件為零時，求干擾力為突加長期荷載時的動力反應(yīng)。解：突加長期荷載的數(shù)學(xué)表達(dá)式為tFp(t)例5當(dāng)初始條件為零時，求干擾力為短時荷載時的動力反應(yīng)。tFp(t)t0解：所謂短時荷載是指只是在很短的時間內(nèi)停留在結(jié)構(gòu)上的荷載。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為對于這種情況，可做如下處理：在t=0時突然加入荷載Fp，并一直作用于結(jié)構(gòu)上，到t=t0時，又突然加入一個大小相等，方向相反的荷載。則這兩種突加荷載引起的動力反應(yīng)疊加的結(jié)果即為短時突加荷載的動力反應(yīng)。(1)當(dāng)0<t<t0時(2)當(dāng)t>t0時利用三角函數(shù)關(guān)系：上式整理可得可以看出，短時荷載的動力反應(yīng)與短時荷載在結(jié)構(gòu)上的停留時間有關(guān)。(a)當(dāng)時t0≥T/2，最大動力位移出現(xiàn)在0<t<t0階段。此時=2

(b)當(dāng)時t0<T/2，最大動力位移出現(xiàn)在t>t0階段。此時最大位移（振幅）為動力系數(shù)為例6當(dāng)初始條件為零時，求干擾力為三角形沖擊荷載時的動力反應(yīng)。解：

三角形沖擊荷載的數(shù)學(xué)表達(dá)式為tFp(t)t0爆炸荷載有時可簡化為三角形沖擊荷載。由杜哈梅積分得(1)當(dāng)0<t≤t0時積分可得(2)當(dāng)t>t0時積分可得§15.4阻尼對振動的影響

具有阻尼的單自由度體系的振動模型如圖(a)所示。體系的阻尼特性用阻尼減振器表示。阻尼系數(shù)為c，取質(zhì)量m為隔離體，靜平衡位置為位移計算起點，任意時刻向下運(yùn)動。作用質(zhì)量m上的力有k11m圖(a)Fp(t)cI(t)Fp(t)mS(t)R(t)慣性力彈性恢復(fù)力阻尼力干擾力對隔離體列動力平衡方程得（15-18）這就是單自由度體系有阻尼運(yùn)動（微分）方程。4.1有阻尼的自由振動

在（15-18）式中令干擾力Fp(t)=0，即得考慮粘滯阻尼作用時單自由度體系的運(yùn)動方程為（15-18）（15-19）令：則上式可改寫為這是一個常系數(shù)的齊次線性微分方程，其解的形式為y=ert，代入上式得特征方程為解之得于是（15-20）式的通解為（15-20）其具體的表達(dá)形式取決于特征值的根式內(nèi)的具體結(jié)果。討論如下(a)當(dāng)<1(即弱阻尼情況)

此時r1和r2為兩個共軛的復(fù)根，令利用毆拉公式：解可以寫成設(shè)初始條件為y(0)=y0，，可得則（15-21）改寫成單項的形式為（15-22）由（15-22）式可以看出，弱阻尼的自由振動是一種衰減振動，雖然它不是嚴(yán)格意義的周期運(yùn)動，但質(zhì)點在兩次通過靜平衡位置時的時間間隔是相等的習(xí)慣上仍稱此時間間隔為周期。并把這種振動稱為衰減性周期振動，稱為衰減振動的圓頻率。稱為衰減振動振幅，有阻尼的自由振動的yt曲線如圖(b)所示。tyy0v0圖(b)若用An表示時刻tn的振幅，An+1表示經(jīng)過了一個周期T’后的振幅，則上式說明，相隔一個周期后的兩個振幅之比為常數(shù)，即振幅是按等比級數(shù)衰減的。在有阻尼的振動問題中，是一個非常重要的參數(shù)，稱為阻尼比，工程中常根據(jù)上式來確定阻尼比。對上式兩邊取對數(shù)得(b)=1則（15-23）此時r1和r2為兩個相等的實根，（15-20）式的解為（15-20）（15-24）其yt曲線如圖(c)所示。ty0v0y圖(c)（15-24）式表明，體系從初始位置出發(fā)，逐步返回到靜平衡位置無振動發(fā)生。這是因為阻尼作用較大，體系受干擾偏離平衡位置所積蓄的初始能量，在恢復(fù)到平衡位置的過程中全部消耗于克服阻尼的影響，沒有多于的能量來引起振動。這種情況稱為臨界阻尼。此時的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，用ccr表示。由得(c)﹥1此時r1和r2為兩個不等的負(fù)根，利用毆拉公式：（15-20）式的解可以寫成為（15-25）其yt曲線如圖(c)類似。它也無振動發(fā)生。這種情況稱為強(qiáng)阻尼或過度阻尼。在實際工程中很小遇到這種情況，故不再進(jìn)一步討論。例7圖示門架為一單層建筑的計算簡圖。設(shè)橫梁的EI=，EA=，房蓋系統(tǒng)和橫梁的重量及立柱部分質(zhì)量可以認(rèn)為集中于橫梁上。設(shè)總重量為W，為了確定水平振動時門架的動力特征，進(jìn)行以下振動實驗：EI=∞EA=∞m例7圖在橫梁加一水平力Fp=98kN，門架的側(cè)移y0=0.5cm，然后突然釋放，使結(jié)構(gòu)作自由振動，并測得一個周期后橫梁擺回側(cè)移為y1=0.4cm，周期為T’=1.5s。求門架水平振動的阻尼系數(shù)c及5周后的振幅。解：

分析：求阻尼系數(shù)c

∵∴屬于弱阻尼情況，故可取則阻尼系數(shù)為∵∴4.2有阻尼的受迫振動

有阻尼體系（設(shè)<1）在一般動力荷載Fp(t)作用下，其動力位移也可表示為杜哈梅積分。由（15-21）式知，單獨由初始速度v0(y0=0)引起的振動為利用上式，象無阻尼情況一樣，可以導(dǎo)出瞬時沖量dS=Fp(t)dt引起的動力響應(yīng)為把一般動力荷載的加載過程看成為無窮多個瞬時沖量組成的，則對于t=

到t=+d的時間上沖量dS=Fp()d來說，它所引起的動力響應(yīng)為則當(dāng)初始條件全為零時，一般動力荷載Fp(t)所引起的動力響應(yīng)為（15-26）下面討論當(dāng)初始條件全為零時，簡諧荷載Fp(t)所引起的動力響應(yīng)。設(shè)：將上式代入（15-26）式得積分可得(15-27)式中(15-27)上式說明，振動由兩部分組成，一部分振動的頻率與干擾力的頻率一致，而另一部分的頻率則與體系的衰減振動圓頻率’一致。由于阻尼的作用，頻率為’的那一部分振動（稱為伴生自由振動）因含有衰減因子e-t，將因衰減而很快消失。最后只剩下頻率為的那一部分振動（稱為穩(wěn)態(tài)受迫振動）。下面討論穩(wěn)態(tài)受迫振動的一些性質(zhì)。由(15-27)式知，穩(wěn)態(tài)受迫振動的方程為將其表示為單項的形式為(15-28)式中(15-29)因為則振幅A又可改寫為(15-30)(15-30)由上式可知，動力系數(shù)不僅與頻比有關(guān)，而且與阻尼比有關(guān)。下圖給出了不同的值時曲線。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0由圖可以看出(1)當(dāng)<<1(<<)時，1。這表明體系的振動的很慢，可近似地將Fpsint作為靜力荷載來計算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(2)當(dāng)>>1(>>)時，0。這表明當(dāng)體系的干擾力頻率遠(yuǎn)大于體系的自振頻率時，體系振動的很快，且質(zhì)量m接近于不動或在靜平衡位置附近做幅度微小的高頻振動。(3)當(dāng)1()時，則很大。這時阻尼比

對的影響很大。在0.75<<1.25（習(xí)慣上稱為共振區(qū)）的范圍內(nèi)，阻尼力顯著地減小了受迫振動的位移，但在此范圍以外的區(qū)域，阻尼力的影響較小，可近似地按無阻尼計算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(4)的最大值并不發(fā)生在=1處。利用求極值的方法，不難求得，當(dāng)時的取得最大值。但因阻尼比很小，在工程計算時，仍近似地將=1時的值作為最大值，并稱此時的振動為共振。此時的動力系數(shù)為(15-31)(5)

此外，由(15-28)式知，動力響應(yīng)為干擾力Fp(t)不同步。其相位差為當(dāng)<1時，0<</2

當(dāng)>1時，/2<<

當(dāng)=1時，

=/2

也就是說，只要有阻尼的存在，位移總是滯后于振動荷載。共振時，將=/2代入動力響應(yīng)方程可得相應(yīng)的慣性力為彈性恢復(fù)力為注意共振時有可知共振時慣性力與彈性恢復(fù)力相互平衡。又因為注意到共振(=1)時，。則阻尼力為這說明，共振時干擾力與阻尼力相互平衡，故運(yùn)動呈穩(wěn)態(tài)，而在無阻尼受迫振動時，因無此阻尼項與干擾力相平衡，故出現(xiàn)位移與內(nèi)力無限增大現(xiàn)象。例8如圖示結(jié)構(gòu)當(dāng)初始條件為零時，求地面水平運(yùn)動引起的動力反應(yīng)。解：

地面在水平方向若發(fā)生運(yùn)動體系將產(chǎn)生受迫振動。如地震或臨近的動力設(shè)備對結(jié)構(gòu)的影響都屬于該類問題。如題8圖所示單自由度體系，在質(zhì)量m上并沒有直接作用動力荷載。設(shè)地面的水平運(yùn)動為yg(t)，于是質(zhì)量m發(fā)生了相對地面的位移y(t)，在任一時刻t，質(zhì)量m的絕對位移為yg(t)m題8圖y(t)[yg(t)+y(t)]、絕對加速度為，則作用于質(zhì)量m上慣性力為在振動的過程中，結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力和阻尼力分別只與質(zhì)量m的相對運(yùn)動有關(guān)，即yg(t)m題8圖y(t)S(t)I(t)R(t)列動平衡方程得或其中稱為等效動力荷載。根據(jù)杜哈梅積分得動力響應(yīng)為§15.5兩自由度體系的自由振動

以上各節(jié)討論了單自由度體系的振動問題，在本節(jié)中將討論兩個自由度體系的自由振動問題。主要是確定體系的頻率和振型及振型特性。5.1運(yùn)動方程的建立

如圖(a)所示簡支梁，當(dāng)梁的質(zhì)量忽略不計時，體系為兩自由度體系。m1m2圖(a)y1(t)y2(t)質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的位移分別為y1(t)和y2(t)。位移的計算起點均為靜平衡位置，并取向下為正。在建立運(yùn)動方程時，有兩種方法可供選擇。(a)列位移方程（也稱柔度法）

與單自由度體系的做法相同，應(yīng)用達(dá)朗伯爾原理，認(rèn)為自由振動過程中，質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的位移是由慣性力和共同作用所產(chǎn)生的。圖(b)由疊加原理可列運(yùn)動方程如下式中ij(i,j=1,2)為結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)。1121111222上式整理得（15-32）這就是兩自由度體系借助于柔度系數(shù)建立的自由振動運(yùn)動方程。寫成矩陣的形式為其中[]稱為柔度系數(shù)矩陣，[]對稱矩陣；[M]稱為質(zhì)量矩陣，[M]均為對角矩陣。為位移列向量為加速度列向量。(b)列動力平衡方程（也稱剛度法）

可取質(zhì)量為隔離體，列動力平衡方程求出運(yùn)動方程。也可不將質(zhì)點分離，按位移法來處理。在任意時刻t質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的位移方向上附加連桿，建立位移法基本結(jié)構(gòu)。如圖(c)所示。由位移法典型方程得y2圖(c)y1因為將其代入上式整理可得（15-33）1k11k211k12k22式中kij(i,j=1,2)為結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)。這就是兩自由度體系借助于剛度系數(shù)建立的自由振動的運(yùn)動方程。寫成矩陣的形式為

其中[k]稱為剛度系數(shù)矩陣，[k]為對稱矩陣。因為[k]-1=[]，因此（15-33）式與（15-32）式實質(zhì)是相同的。5.2頻率方程和頻率

雖然運(yùn)動方程有兩種不同的表示形式，但其求解過程是完全類似的。下面以柔度法為例，討論運(yùn)動方程的求解方法。

設(shè)：體系的運(yùn)動為簡諧振動，則質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的位移可表示為(a)上式中A1和A2分別為質(zhì)量m1和質(zhì)量m2的振幅，為體系的自振頻率，為初相角。A1、A2、和均為待定量。將(a)式代入（15-32）式可得（15-32）(b)上式中(b)式是關(guān)于A1和A2的齊次線性方程組，因為已假定A1和A2不能全為零，則要求(b)式中的系數(shù)行列式為零。即（15-34）上式可用于確定頻率，稱之為頻率方程。將其展開可得解之得于是可以求得兩個頻率值其中最小的頻率1稱為第一頻率，或稱基本頻率；而2稱為第二頻率。頻率的數(shù)目與體系振動的自由度數(shù)相同。5.3主振型(簡稱振型)

求出頻率1和2后，代回(b)式，即可確定A1和A2的比值，這是因為頻率1和2均滿足（15-34）式，說明(b)式的兩方程彼此不獨立（線性相關(guān)）。(b)(a)當(dāng)=1時

相應(yīng)的質(zhì)量m1和質(zhì)量m2振動方程為則說明在振動時，兩質(zhì)量的位移比值恒為常數(shù)1，也就是說，體系的變形形式不變。此種情況下的振動形式稱為主振型，簡稱振型。

因為并注意到：對于單跨梁有12>0，則必有1>0它表明，對于單跨梁而言，當(dāng)體系按頻率1作簡諧振動時，兩質(zhì)量總是同相位的，如圖(d)所示。它稱為第一振型，或稱基本振型。第一振型：A1(1)圖(d)1A1(1)取A1(1)=1，得規(guī)準(zhǔn)化后得第一振型的振型向量為（15-35）(b)當(dāng)=2時

(b)（常數(shù)）相應(yīng)的質(zhì)量m1和質(zhì)量m2振動方程為則,(在單跨梁的情況下，同理可得2<0)說明，當(dāng)體系按頻率2作簡諧振動時，兩質(zhì)量總是反相位的，如圖(e)所示。它稱為第二振型。A1(2)圖(e)第二振型：2A1(2)同樣取A1(2)=1，得規(guī)準(zhǔn)化后得第二振型的振型向量為（15-36）5.4運(yùn)動方程的一般解

上面討論了體系按主振型所作的簡諧振動。這種振動是在特定的初始條件下，才能實現(xiàn)的一種運(yùn)動形式。例如對于第一振型，由可知這表明，只有當(dāng)質(zhì)量m2的初位移和初速度分別為質(zhì)量m1的初位移和初速度的1倍時，上述振動才會出現(xiàn)。這種在特定的初始條件下出現(xiàn)的運(yùn)動形式，在數(shù)學(xué)上稱為微分方程的特解。由上可知，（15-32）式共有兩個特解，分別對應(yīng)1和2。它們的線性組合就是其一般解。一般解為（15-32）（15-37）上式中待定系數(shù)A1(1)

、A1(2)

、1和2由初始條件y1(0)、y2(0)、v1(0)和v2(0)確定。在一般情況下，體系的自由振動由不同頻率的簡諧振動疊加而成，其結(jié)果是振動將不在是簡諧振動?！?5.6多自由度體系的自由振動

在本節(jié)中討論多自由度體系的自由振動問題，為了書寫方便，將采用矩陣形式表示。6.1柔度法

如圖(a)所示，具有n個質(zhì)量的無質(zhì)量的簡支梁，取靜平衡位置為位移計算起點，設(shè)振動時任一質(zhì)量mi(i=1,2,……n)的位移為yi(i=1,2,……n)。m1圖(a)m2mimn由慣性力所產(chǎn)生的位移，利用疊加原理可得作用于該質(zhì)量上的慣性力為Ii(i=1,2,……n)，(a)將上式整理，并用矩陣形式表示，則有（15-38）這就是用柔度系數(shù)矩陣表示的多自由度體系的運(yùn)動方程

.上式中[]稱為柔度系數(shù)矩陣，[]為對稱矩陣；[M]稱為質(zhì)量矩陣，[M]為對角矩陣；為位移列向量；為加速度列向量。從數(shù)學(xué)的角度看，（15-38）時是一個齊次線性微分方程組，其一般解可由n個線性無關(guān)的特解，線性組合得到。令：其特解為(b)上式中{A}={A1

A2…An}T為振幅列向量。把(b)式代入（15-38）式得（15-39）其中,[E]為單位矩陣。（15-39）式是一個關(guān)于A1、A2、…An的齊次線性方程組，欲使其具有非零解，則要求起系數(shù)行列式為零。即（15-40）上式就是n個自由度體系的頻率方程。其具體形式為(c)將上式展開，得到一個關(guān)于的n階代數(shù)方程，解此方程，可得n個實根1、2、…n，利用，可進(jìn)一步求得n個頻率

1、2、…n。其中最小的一個稱為第一頻率，其后，按數(shù)值由小到大排列，并依次順次稱為第二頻率、…第n頻率等。對于每一個頻率k都有一組特解上式中，{Y(k)}為與頻率k相對應(yīng)的位移列向量，{A(k)}為與頻率k相對應(yīng)的振幅列向量。根據(jù)線性微分方程組的理論知，微分方程組（15-38）的通解為（15-41）為了考察特解的性質(zhì)，對于任一特解{Y(k)}展開有(d)由上式可知(a)

各質(zhì)量均按同一頻率k作同步簡諧振動；(b)

振動時各質(zhì)量的位移比值為y1(k)：y2(k)：…：yn(k)=A1(k)：A2(k)：…：An(k)與時間無關(guān)。它表明，在振動過程中，各質(zhì)量位移的比值保持不變，且有一種固定的形式，此種振動形式即為振型。為了確定振型，令代入（15-39）式得(e)由于上式的系數(shù)行列式為零，因此上式只有n-1個獨立方程，從而只能求出{A(k)}中各分量的相對值。以第一個質(zhì)量的振幅為基準(zhǔn)，則振幅向量為上式中稱為規(guī)準(zhǔn)化振型向量。將代入(e)式得（15-42）即：(f)記：(g)其中由(g)式可得（15-43）于是對于與第k個頻率k相對應(yīng)的規(guī)準(zhǔn)化振型向量為（15-44）與n個頻率相對應(yīng)共有n個規(guī)準(zhǔn)化振型向量，這n個規(guī)準(zhǔn)化振型向量組成一個方陣這個方陣稱為振型矩陣。6.2剛度法

除了柔度法外，還可以采用剛度系數(shù)矩陣建立運(yùn)動方程求解。對于具有n個自由度體系，參照二自由度體系的作法，取靜平衡位置為位移計算起點，按位移法來處理，可得動力平衡方程為(h)寫成矩陣的形式為（15-45）這就是用剛度系數(shù)矩陣表示的多自由度體系的運(yùn)動方程。(15-45)式中，[k]稱為剛度系數(shù)矩陣，[k]為對稱矩陣。因為[k]-1=[]，因此(15-45)式與(15-38)式實質(zhì)是相同的.下面討論方程的解。象柔度法一樣，設(shè)其特解為，將其代入（15-45）式得（15-46）欲使振幅向量有非零解，則要求其系數(shù)行列式為零，即（15-47）這就是由剛度系數(shù)矩陣表示的頻率方程。解此方程可得n個頻率k(k=1,2…n)。將k代回（15-46）式，即可確定體系的振型。令：，得(i)象柔度法一樣，振型規(guī)準(zhǔn)化后，把代入(i)式得（15-48）即：(j)記：(k)其中由(k)式可得（15-49）于是對于與第k個頻率k相對應(yīng)的規(guī)準(zhǔn)化振型向量為例9某等截面懸臂梁，設(shè)單位長度上質(zhì)量為。簡化為兩自由度體系模型如圖所示。求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型(EI=常數(shù))。2l/52l/5l/5m1m2題9圖其中解：

取靜平衡位置為位移計算起點，體系振動自由度如圖所示。本題采用柔度法較方便，因為柔度系數(shù)相對易求出。y1y22l/51圖4l/51圖2l/51圖4l/51圖則柔度系數(shù)矩陣為質(zhì)量矩陣為(1)先求頻率

由頻率方程得上式中解之得即(2)再求振型

因為第一振型：∵∴第二振型：∵∴第一振型：13.121第二振型：10.3205例10如圖示剛架，求其自振頻率和振型。EI=∞EI=∞m1m2m3EI=∞圖中m1=180×103kg，m2=270×103kg，m2=270×103kg，各立柱的質(zhì)量忽略不計，各層的抗剪剛度(即各層發(fā)生相對單位水平位移時，各層立柱的剪力之和)分別為k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。解：

取靜平衡位置為位移計算起點，體系振動自由度如示。y1y2y3本題采用剛度法較方便，因為剛度系數(shù)相對易求出。質(zhì)量矩陣為111k11=98k21=-98k31=0k12=-98k22=98+196k32=-196k13=0k23=-196k33=196+245剛度系數(shù)矩陣為代入頻率方程整理得式中展開頻率方程得解之得相應(yīng)的頻率分別為再求振型

因為則第一振型

則第二振型

則第三振型則第一振型:12/31/3第一振型第二振型:2/32/31第二振型第三振型:

134第三振型6.3振型的正交性

所謂振型正交性是指多自由度體系中任意兩個不同的振型之間都存在下述條件正交的性質(zhì)。設(shè)第i個頻率i的相應(yīng)振型向量為{Φ(i)}，第j（j≠i）個頻率j(j≠i)的相應(yīng)振型向量為{Φ(j)}。由（15-48）式知(a)則(b)將(b)中第一式兩邊轉(zhuǎn)置，其值不變，并注意，得由上式可得(15-50)上式說明，振型向量對質(zhì)量矩陣帶權(quán)正交，對剛度系數(shù)矩陣帶權(quán)正交。分別稱為第一正交條件（關(guān)于質(zhì)量矩陣正交條件）和第二正交條件（關(guān)于剛度系數(shù)矩陣正交條件）。

上述的振型的正交性是結(jié)構(gòu)動力學(xué)中一個重要概念，在按振型分解法分析受迫振動時，將用到該性質(zhì)。§15.7多自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動

為了便于討論問題，先不考慮阻尼的影響，如圖(a)所示具有n個自由度體系，其上作用有k個簡諧荷載Fpisint(i=1,2…k)。m1mimnmkFpksintFpisint圖(a)

采用柔度法，任一質(zhì)量mi的位移可表示為(a)上式中ij為柔度系數(shù)，yip為各動力荷載在質(zhì)量mi處引起靜力位移的代數(shù)和。即(b)其中為各動力荷載幅值在質(zhì)量mi處引起靜力位移的代數(shù)和。將(a)式整理并改寫成矩陣形式得（15-51）式中（15-51）式為非齊次的線性微分方程組，它的解由兩部分組成，一部分為與自由振動相對應(yīng)的齊次的線性微分方程組的通解，另一部分為方程的特解。

自由振動部分，在實際工程中，由于存在阻尼力，將很快衰減掉。因此，在研究多自由度體系的受迫振動時，可以重點討論（15-51）式的特解——穩(wěn)態(tài)解。設(shè)方程（15-51）式的特解為（15-52）式中為受迫振動位移幅值列向量。把(d)式代回（15-52）式即得多自由度體系受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。將（15-52）式代入（15-51）式整理可得(c)上式中[E]為單位矩陣，解之得(d)在穩(wěn)態(tài)的受迫振動中，任一質(zhì)量mi的慣性力為則質(zhì)量的慣性力列向量為(e)其中{I}*為慣性力幅值列向量

因此，在計算最大位移和最大動內(nèi)力時，可先求出慣性力幅值列向量{I}*

，然后把慣性力幅值列向量{I}*和干擾力幅值列向量（{Fp}={Fp1

Fp2…Fpk}T），同時作用于結(jié)構(gòu)上，按靜力分析方法計算最大位移和最大動內(nèi)力。由(e)式可以看出，慣性力列向量、位移列向量和干擾力列向量按統(tǒng)一頻率作同步簡諧振動。(e)Fpisint

另外，因為，所以受迫振動位移幅值列向量也可表示為將上式代入(c)式得(c)（15-53）（15-53）上式就是求解慣性力幅值列向量的線性方程組。注意到（15-53）式的系數(shù)行列式D為每一列都提出mi(i=1,2…n)得上式中，當(dāng)時=k(k=1,2…n)，則有D=0。即慣性力幅值列向量將趨于∞。

這就是說，干擾力的頻率與體系的自振頻率相重合時，將發(fā)生共振。一般而言，對于n個自由度體系有n個自振頻率，所以共有n個共振區(qū)。例11求圖示體系的最大動位移和動內(nèi)力。已知EI=常數(shù)，m1=m2=m，m1m2Fpsintl/3l/3l/3解：

取靜平衡位置為位移計算起點，方向向下為正。采用柔度法，先求柔度系數(shù)。利用圖乘法可得y1y21l/92l/91l/92l/9則代入慣性力幅值方程（15-53）式得（15-53）代入數(shù)據(jù)整理得解之得

求出慣性力幅值后，連同干擾力幅值一同作用于結(jié)構(gòu)上，如圖所示，按靜力分析，易得最大的動彎矩和最大的動剪力。FpI1*I2*FpI1*I2*M圖(×Fpl)0.31730.2034FQ圖(×Fp)0.95190.34150.6103?⊕∵∴在質(zhì)量m1處動力幅值所產(chǎn)生的靜力值為相應(yīng)的動力系數(shù)分別為位移：彎矩：剪力：可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。這與單自由度體系不同。m1m2Fpl/3l/3l/315.8振型分解法

在上節(jié)討論多自由度體系的受迫振動時，采用質(zhì)點坐標(biāo)（也稱幾何坐標(biāo)），所得到的運(yùn)動方程彼此不獨立，是一組耦聯(lián)微分方程。對于無阻尼的簡諧受迫振動，由于各質(zhì)點都作同步簡諧振動，利用這一特性，可將耦聯(lián)微分方程組轉(zhuǎn)化為聯(lián)立代數(shù)方程組，求解不會存在多大的困難。然而，當(dāng)考慮阻尼影響或一般動力荷載作用時，求解耦聯(lián)微分方程組將存在較大的困難。本節(jié)介紹的振型分解法，試圖通過坐標(biāo)變換，把原來耦聯(lián)微分方程組轉(zhuǎn)化為彼此獨立的微分方程，從而達(dá)到簡化計算的目的。8.1正則（廣義）坐標(biāo)的概念

在討論振型分解法之前，先介紹有關(guān)坐標(biāo)變換和正則坐標(biāo)的概念。為了便于敘述，以圖(a)所示的兩自由度體系為例說明。Fp1(t)Fp2(t)m1m2圖(a)

采用幾何坐標(biāo)時，質(zhì)量位移可表示為任選兩個量v1、v2作為新坐標(biāo)，并使新坐標(biāo)與舊坐標(biāo)間存在如下關(guān)系(a)式中的系數(shù)矩陣行列式不為零。即要求{y1

y2}T與{v1

v2}T之間存在單值關(guān)系由系數(shù)a、b、c、d組成的系數(shù)矩陣稱為坐標(biāo)變換矩陣。下面的工作就是尋求一組坐標(biāo)變換矩陣，使得在新坐標(biāo)系下，振動微分方程組成為非耦合的形式。

設(shè)已求得體系的兩振型，選取第一振型規(guī)準(zhǔn)化向量的兩元素1(1)、2(1)為坐標(biāo)變換矩陣中的a、c，第二振型規(guī)準(zhǔn)化向量的兩元素1(2)、2(2)為坐標(biāo)變換矩陣中的b、d，即體系的振型矩陣作為坐標(biāo)變換矩陣。則1(1)2(1)第一振型1(2)2(2)第二振型(b)由于不同的振型對應(yīng)于不同的頻率，它們是線性無關(guān)的，因此必有|[]|≠0，說明采用振型矩陣[]作為坐標(biāo)變換矩陣，滿足線性變換條件。下面討論作了這樣的變換后，在新坐標(biāo)系下原來的運(yùn)動方程有何變化。設(shè)兩