自動(dòng)控制原理(第2章)

1自動(dòng)控制原理C

2023年2月1日2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式3.傳遞函數(shù)5.控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)4.控制系統(tǒng)的的結(jié)構(gòu)圖及其化簡(jiǎn)6.信號(hào)流圖7.脈沖響應(yīng)1.拉普拉斯變換32.1拉普拉斯變換經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)分析方法：時(shí)域法、頻域法。時(shí)域分析法求解數(shù)學(xué)模型微分方程，獲得系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的規(guī)律。

借助于系統(tǒng)頻率特性分析系統(tǒng)的性能，拉普拉斯變換是其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。頻域分析法42.1拉普拉斯變換一.拉普拉斯變換定義

設(shè)有時(shí)間函數(shù)f(t)，當(dāng)t<0

時(shí)，f(t)＝0；在t≥0時(shí)定義函數(shù)f(t)

的拉普拉斯變換為：復(fù)變量原函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號(hào)拉普拉斯變換：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)f(t)變換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)F(s)。52.1拉普拉斯變換二.典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]11(單位階躍函數(shù))1s2

(t)(單位脈沖函數(shù))13K(常數(shù))Ks4t

(單位斜坡函數(shù))1s22.1拉普拉斯變換二.典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e

-at1s+a7sints2+28costss2+22.1拉普拉斯變換三.拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

(1)線性定理若、是任意兩個(gè)復(fù)常數(shù)，且：則：(2)位移定理若：則：2.1拉普拉斯變換三.拉普拉斯變換的基本性質(zhì)(3)微分定理若：則：f(0)是t=0時(shí)的f(t)值推廣到n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：若：函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零則：2.1拉普拉斯變換三.拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

(4)積分定理若：則：函數(shù)f(t)積分的初始值同理，對(duì)于n重積分的拉普拉斯變換：若：函數(shù)f(t)各重積分的初始值均為零，則有2.1拉普拉斯變換三.拉普拉斯變換的基本性質(zhì)(5)終值定理若：則：(6)初值定理若：則：2.1拉普拉斯變換三.拉普拉斯變換的基本性質(zhì)(7)卷積定理兩個(gè)時(shí)間函數(shù)f1(t)、f2(t)卷積的拉普拉斯變換等于這兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換相乘。(8)相似定理若：

則：122.1拉普拉斯變換例題

利用拉氏變換的基本性質(zhì)求F(s)132.1拉普拉斯變換四.拉普拉斯反變換定義簡(jiǎn)單的象函數(shù)，直接查拉氏變換表；對(duì)于復(fù)雜的，利用部分分式展開(kāi)法。在系統(tǒng)分析問(wèn)題中，F(xiàn)(s)常具有如下形式：式中A(s)和B(s)是s的多項(xiàng)式142.1拉普拉斯變換

(1)分母B(s)無(wú)重根此時(shí)，F(xiàn)(s)總可以展成簡(jiǎn)單的部分分式之和。即式中，ak(k=1,2,…,n)是常數(shù)，系數(shù)ak稱為極點(diǎn)s=

-pk處的留數(shù)。原函數(shù)152.1拉普拉斯變換

(1)分母B(s)有重根設(shè)B(s)=0，有r個(gè)重根，為p1，則F(s)的一般表達(dá)式為式中系數(shù)a2,a3,…,an仍按照上述無(wú)重根的方法，而重根的系數(shù)br,br-1,…162.1拉普拉斯變換原函數(shù)172.1拉普拉斯變換例題

求F(s)的拉氏反變換L-1[F(s)]182.1拉普拉斯變換采用拉氏反變換的方法，可以求解線性定常微分方程步驟：

(1)對(duì)給定的微分方程等式兩端取拉氏變換，變微分方程為s

變量的代數(shù)方程。(2)對(duì)以s

為變換的代數(shù)方程加以整理，得到微分方程求解的變量的拉氏表達(dá)式。對(duì)這個(gè)變量求拉氏反變換，即得在時(shí)域中（以時(shí)間t為參變量）微分方程的解。192.1拉普拉斯變換例題

求解微分方程其中：202.1拉普拉斯變換練習(xí)

求解微分方程，初始狀態(tài)都為零212.2控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式的功能

控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式展示了系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各變量之間的相互關(guān)系，既定性又定量地描述了整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。列寫(xiě)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式的步驟明確輸入量與輸出量；寫(xiě)出原始方程（組）；消除中間量，僅剩輸入量、輸出量及其導(dǎo)數(shù)；將微分方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。22舉例例2-1.設(shè)有由電感L、電容C和電阻R組成的電路，示于下圖。試列寫(xiě)出以電壓U2為輸出量和以電壓U1為輸入量的運(yùn)動(dòng)方程式。23例2-2.設(shè)有兩個(gè)形式相同的RC電路串聯(lián)而成的濾波電路如

下圖所示，試列寫(xiě)出以電壓U2為輸出量和以電壓U1為

輸入量的濾波電路運(yùn)動(dòng)方程式。24舉例例2-1.設(shè)有由電感L、電容C和電阻R組成的電路，示于下圖。試列寫(xiě)出以電壓U2為輸出量和以電壓U1為輸入量的運(yùn)動(dòng)方程式。252.3傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的功能傳遞函數(shù)是基于拉氏變換、用來(lái)描述線性系統(tǒng)或線性元件的輸入-輸出關(guān)系的一種常用函數(shù)。它全面地反映線性定常系統(tǒng)或線性元件的內(nèi)在固有特性。二.傳遞函數(shù)的形式拉氏算子的有理式26三.傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號(hào)的拉氏變換式X2(S)與輸入信號(hào)的拉氏變換式X1(S)之比，稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。記為：27例2-2.設(shè)有兩個(gè)形式相同的RC電路串聯(lián)而成的濾波電路如

下圖所示，試列寫(xiě)出以電壓U2為輸出量和以電壓U1為

輸入量的濾波電路運(yùn)動(dòng)方程式。28四.傳遞函數(shù)的性質(zhì)線性定常系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)是在復(fù)域描述其運(yùn)動(dòng)特性的數(shù)學(xué)模型，它與作為實(shí)域數(shù)學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)方程一一對(duì)應(yīng)。2.傳遞函數(shù)是表征線性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，它與其輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)，但和輸入信號(hào)的作用位置及輸出信號(hào)的取出位置有關(guān)。3.傳遞函數(shù)是復(fù)變量S的有理分式，其分子多項(xiàng)式M(S)及分母多項(xiàng)式D(S)的各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)。294.將傳遞函數(shù)寫(xiě)成如下形式：分別定義z1,z2,…,zm及p1,p2,…,pn為傳遞函數(shù)G(S)的零點(diǎn)與極點(diǎn)。5.傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)及其元件的物理結(jié)構(gòu)，那些物理結(jié)構(gòu)截然不同的系統(tǒng)或元件只要運(yùn)動(dòng)特性相同，它們便可以有相同形式的傳遞函數(shù)。6.傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)302.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其簡(jiǎn)化一.控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的定義應(yīng)用函數(shù)方框?qū)⒖刂葡到y(tǒng)的全部變量聯(lián)系起來(lái)，以描述信號(hào)在系統(tǒng)中流通過(guò)程的圖示，稱為控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。二.函數(shù)方框31三.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成函數(shù)框圖相加點(diǎn)分支點(diǎn)相加點(diǎn)分支點(diǎn)32四.繪制控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟1.寫(xiě)出組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)方程2.基于運(yùn)動(dòng)方程求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3.根據(jù)傳遞函數(shù)畫(huà)出響應(yīng)的函數(shù)方框4.按信號(hào)流向?qū)⒑瘮?shù)方框一一聯(lián)接起來(lái)，即得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖33例2-5.繪制下圖所示RC電路結(jié)構(gòu)圖34例2-6.繪制下圖所示RC電路結(jié)構(gòu)圖351）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)同理：n個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)為：五.控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化362)同向并聯(lián)環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)同理：n個(gè)環(huán)節(jié)同向并聯(lián)等效傳遞函數(shù)為：++373)負(fù)反饋環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)38例2-6.下圖所示RC電路結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)394).分支點(diǎn)等效移動(dòng)規(guī)則405).相加點(diǎn)等效移動(dòng)規(guī)則41六.檢驗(yàn)化簡(jiǎn)的正確性1.前向通道中各串聯(lián)函數(shù)方框的傳遞函數(shù)的乘積須保持不變。2.各反饋回路所含函數(shù)方框的傳遞函數(shù)的乘積須保持不變。42例2-7.設(shè)某位置隨動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示。試應(yīng)用等效簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖方法求其閉環(huán)傳遞函數(shù)。43例2-8.設(shè)有下圖所示電路，試?yán)L制其結(jié)構(gòu)圖，并通過(guò)簡(jiǎn)化求其傳遞函數(shù)U2(S)/U1(S)44452.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖461.開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在反饋控制系統(tǒng)中，定義前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之積為開(kāi)環(huán)函數(shù)，通常記為G(S)2.閉環(huán)傳遞函數(shù)定義輸出信號(hào)的拉氏變換式與輸入信號(hào)的拉氏變換式之比為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。通常記為473.擾動(dòng)信號(hào)的閉環(huán)傳遞函數(shù)在反饋控制系統(tǒng)中，假如只有擾動(dòng)信號(hào)f(t)，而r(t)=04.

研究反饋控制系統(tǒng)的控制信號(hào)對(duì)偏差的影響48例2-6.下圖所示RC電路結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)492.6信號(hào)流圖1.信號(hào)流圖的定義

它是表示控制系統(tǒng)各變量間相互關(guān)系、以及信號(hào)流通過(guò)程的另一種圖示。2.信號(hào)流圖的結(jié)構(gòu)它具有網(wǎng)絡(luò)形式，其中的節(jié)點(diǎn)代表系統(tǒng)變量，兩節(jié)點(diǎn)用表明信號(hào)流向的定向線段聯(lián)接，其上標(biāo)出兩變量見(jiàn)的傳遞函數(shù)。50三.信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）回路輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）輸出節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）混合節(jié)點(diǎn)abcdl四.信號(hào)流圖的優(yōu)點(diǎn)：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，不必進(jìn)行預(yù)先的等效簡(jiǎn)化，而應(yīng)用計(jì)算公式即可得到傳遞函數(shù)。這對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)來(lái)說(shuō)比結(jié)構(gòu)圖更為方便。前向通道51五.控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖例2-9:設(shè)已知某控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的拉氏變換式為：其中，分別為系統(tǒng)輸入、輸出信號(hào)的拉氏變換。試畫(huà)出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖52六.信號(hào)流圖的梅森增益公式梅森增益公式53例2-10.設(shè)某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示。試?yán)L制其信號(hào)流圖，并由信號(hào)流圖應(yīng)用梅森增益公式計(jì)算系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)C(S)/R(S)。X0X1X2X3X4X5X6X7X854552.7脈沖響應(yīng)一.脈沖響應(yīng)的定義脈沖響應(yīng)是零初始條件下，線性定常系統(tǒng)對(duì)理想單位脈沖輸入的響應(yīng)過(guò)程。二.理想單位脈沖函數(shù)56三.理想單位脈沖的性質(zhì)在t=t0處的理想單位脈沖函數(shù)可用來(lái)表示57四.控制系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系設(shè)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

D(p)c(t)