材料力學(xué)-007第七章彎曲變形

1第七章彎曲變形材料力學(xué)第七章彎曲變形2第七章彎曲變形§7—1引言§7—2梁的撓曲線近似微分方程§7—3積分法計(jì)算梁的變形§7—4疊加法計(jì)算梁的變形§7—5梁的剛度計(jì)算§7—6簡單超靜定梁的求解彎曲變形小結(jié)第七章彎曲變形3§7—1引言第七章彎曲變形4一、撓曲線：梁變形后的軸線。

性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。

用“w”

表示。w=w（x）

……撓曲線方程。撓度向上為正；向下為負(fù)。三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“”表示。θ=θ(x)……轉(zhuǎn)角方程。由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)。四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系w=w（x）上任一點(diǎn)處——wqC1xCθwF第七章彎曲變形5§7—2梁的撓曲線近似微分方程一、曲率與彎矩的關(guān)系：EIM=r1?EIM=)()(1xxr……（1）二、曲率與撓曲線的關(guān)系：……（2）→→三、撓曲線與彎矩的關(guān)系：聯(lián)立（1）、（2）兩式得第七章彎曲變形6wxM>00)(＞￠￠xw撓曲線近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”、對變形的影響。使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長梁。M<00)(＜￠￠xw結(jié)論：撓曲線近似微分方程——wx第七章彎曲變形77-3積分法計(jì)算梁的變形步驟：（EI為常量）1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程M（x）。2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。右左CCqq=連續(xù)條件：右左CCww=邊界條件：FF第七章彎曲變形8（1）、固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2）、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。（3）、在彎矩方程分段處：

一般情況下稍左稍右的兩個截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。5、計(jì)算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。第七章彎曲變形9例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）。解一：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)FLwxx確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程自由端的撓度及轉(zhuǎn)角X=0,w=0;θ=0第七章彎曲變形10解二：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)X=0,w=0;θ=0確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程最大撓度及轉(zhuǎn)角FLwxx第七章彎曲變形11qLABxC解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程最大撓度及最大轉(zhuǎn)角ql/2ql/2X=0,w=0;x=L,w=0.

例：求圖示梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角（EI=常數(shù)）第七章彎曲變形12bABFaCL解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分Fb/LFa/L例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角（EI=常數(shù)）x1x2左側(cè)段（0≤x1≤a）：右側(cè)段（a≤x2≤L）：第七章彎曲變形13跨中撓度及轉(zhuǎn)角確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程應(yīng)用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)X=0,w=0;x=L,w=0.

X1=X2=a，w1=w2；w／1=w／2兩端支座處的轉(zhuǎn)角——第七章彎曲變形14討論：1、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。左側(cè)段：

右側(cè)段：當(dāng)a＞b時(shí)——當(dāng)a＞b時(shí)——最大撓度一定在左側(cè)段第七章彎曲變形15

2、a=b時(shí)此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。ABFCLab寫出下列各梁變形的邊界條件和連續(xù)條件1——C截面稍左2——C截面稍右ABFCL/2L/2EABC第七章彎曲變形16§7—5疊加法計(jì)算梁的變形1、載荷疊加：

2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：一、前提條件：彈性、小變形。二、疊加原理：梁上有幾個（幾種）荷載共同作用的變形等于每個荷載（每種）荷載單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。三、疊加法計(jì)算的兩種類型：第七章彎曲變形17aaF=+例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和C截面

的撓度.解、載荷分解如圖、由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。aaqFACA第七章彎曲變形18、疊加例：疊加法求C點(diǎn)撓度.解、載荷無限分解如圖、查梁的簡單載荷變形表，、疊加d

bdFb第七章彎曲變形19=+L/2qFL/2ABC例：確定圖示梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表L/2qL/2L/2FL/2第七章彎曲變形203、疊加L/2L/2qACA=+例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表3、疊加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)第七章彎曲變形21例:結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明+1w2w=FFFFFw第七章彎曲變形22例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、結(jié)構(gòu)分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/23、疊加第七章彎曲變形23=+ABLaCqqaABL

CM=qa2/2TT（b）例：求圖示梁B截面的撓度（EI已知）。解：1、結(jié)構(gòu)分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表3、疊加B

CTTq（a）第七章彎曲變形24例、用疊加法求圖示等截面直梁A、D、E（BC之中點(diǎn)）點(diǎn)的撓度。

解：結(jié)構(gòu)和載荷分解如圖。

E（1）（2）Fq=F/aBP2aADC2aaqa/2F第七章彎曲變形25（4）FDCa（3）FFaFq=F/a第七章彎曲變形26例：拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。分析：B點(diǎn)的垂直位移由兩部分組成，即：BA彎曲和CA桿扭轉(zhuǎn)由A截面轉(zhuǎn)角而引起。

FBwB1FBACCMA=FLABwB2F第七章彎曲變形27第七章彎曲變形28第七章彎曲變形29

用疊加法求AB梁上E處的撓度wEwE=wE1+wE2

=wE1+wB/2E1wB=?E2+第七章彎曲變形30+wB=wB1+wB2+wB3wB=?E2第七章彎曲變形31§7—7梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[δ/L]稱為許用撓跨比。

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；（對于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）二、剛度計(jì)算、確定外載荷。第七章彎曲變形32例：下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[δ/L]=0.00001,B點(diǎn)的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度.F2ABCDF2ABCDF2B

CABL

1

CMF2ABCF1D=++=F2=2KNABL=0.4ma=0.1mCF1=1KND0.2m第七章彎曲變形33解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。疊加求復(fù)雜載荷下的變形第六章彎曲變形=++圖1圖2圖3F1F2F2F2=2KNABL=0.4ma=0.1mCF1=1KND0.2m34校核剛度第七章彎曲變形35三、提高梁的剛度的措施由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計(jì)算可看：梁的撓度和轉(zhuǎn)角除了與梁的支座和荷載有關(guān)外還取決于下面三個因素：材料——梁的位移與材料的彈性模量E成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩I成反比；跨長——梁的位移與跨長L的n次冪成正比。

（轉(zhuǎn)角為n的2次冪，撓度為n的3次冪）1、增大梁的抗彎剛度（EI）2、調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)方法——同提高梁的強(qiáng)度的措施相同第七章彎曲變形36注意：同類的材料，“E”值相差不多，“jx”相差較大，故換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度。

不同類的材料，“E”和“G”都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa），故可選用不同類的材料以達(dá)到提高剛度的目的。但是，改換材料，其原料費(fèi)用也會隨之發(fā)生很大的改變！第七章彎曲變形37§7—6簡單超靜定梁的求解1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計(jì)算）2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形的幾何方程3、把物理?xiàng)l件代入幾何方程列出力的補(bǔ)充方程求出多余反力4、計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強(qiáng)度、變形、剛度。L/2ACAqL/2B=L/2ACAqL/2BFcY分析——步驟——第七章彎曲變形38q

0LABFBY=、幾何方程解：、建立靜定基、由物理關(guān)系確定力的補(bǔ)充方程求出多余反力=FBY第七章彎曲變形39、幾何方程解：、建立靜定基例：結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBC、補(bǔ)充方程求出支反力第七章彎曲變形FBYFBY40例：結(jié)構(gòu)如上圖，E=210GPa，s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2,AB為矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20kN/m,

求結(jié)構(gòu)的安全系數(shù)。

解：由上題可知——Mx-23.72kNm1.64kNm

彎矩如圖.——

FNBC第七章彎曲變形41確定撓曲線大致形狀原則：1、由彎矩的正負(fù)判斷撓曲線彎曲的大致形狀（畫彎矩圖）；

2、由梁的支座處的邊界條件及梁變形的連續(xù)條件判斷。mm分析——1、畫M圖，2、據(jù)M圖、支座和變形的連續(xù)條件畫撓曲線的大致形狀。mxM3FFaaaMxFaFa拐點(diǎn)第七章彎曲變形42xMM/32M/3

ABMa2aM/3aM/3aaaaF2F1R2R1xMF2aR1a設(shè)：F1產(chǎn)生變形的效果大于F2。第七章彎曲變形43彎曲變形小結(jié)一、撓曲線：梁變形后的軸線。

性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。撓度向上為正；向下為負(fù)。三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“”表示。順時(shí)針為負(fù)；逆時(shí)針為正。四、撓度和角度的關(guān)系基本概念第七章彎曲變形442、曲率與撓曲線的關(guān)系：……（2）3、撓曲線與彎矩的關(guān)系：

撓曲線近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”、對變形的影響。使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長梁。結(jié)論：撓曲線近似微分方程——五、撓曲線近似微分方程的推導(dǎo)1、曲率與彎矩的關(guān)系：EIM=)()(1xxr……（1）難點(diǎn)第七章彎曲變形45步驟：（EI為常量）1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程M（x）。2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。基本計(jì)算一、積分法（1