第2章時域分析最終稿

第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1引言2.2微分方程式的建立與求解2.3起始點的跳變—從0－到0＋狀態(tài)的改變2.4零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.5沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.6卷積2.7卷積的性質(zhì)2023/2/11本章學(xué)習(xí)重點通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)達(dá)到以下要求：（1）掌握連續(xù)時間系統(tǒng)微分方程的建立與求解（2）掌握零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)、沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的求解。（3）掌握卷積及卷積的性質(zhì)2023/2/122.1引言系統(tǒng)時域分析方法的兩個方面：

1）微分方程的求解

2）已知系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，將沖激響應(yīng)與輸入激勵信號進(jìn)行卷積，求出系統(tǒng)輸出響應(yīng)。返回首頁2023/2/132.2微分方程式的建立與求解一：微分方程式的建立方法：對于給定的具體系統(tǒng)物理模型，按照元件的約束特性及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束特性來建立對應(yīng)的微分方程。例2-1按如圖所示RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓與激勵源間的關(guān)系。2023/2/14解：根據(jù)元件關(guān)系列方程：據(jù)基爾霍夫電流定律：整理后得：2023/2/15對于復(fù)雜系統(tǒng)，設(shè)激勵信號為，系統(tǒng)響應(yīng)為，則可以用一高階的微分方程表示：

由時域經(jīng)典法，上式的完全解由兩部分組成：齊次解與特解。2023/2/16其中，齊次解滿足齊次方程：而齊次解的形式是形如函數(shù)的線性組合，將帶入上式并整理得到原方程的特征方程如下：

對應(yīng)的n個稱為微分方程的特征根。齊次解2023/2/17根據(jù)特征根的不同，齊次解有如下形式：無重根時：

有重根時，則對應(yīng)k階重根部分將有k項，形如：2023/2/18例2-3求微分方程的齊次解。解：系統(tǒng)的特征方程為：

因而齊次解為：2023/2/19自由項：將激勵代入原微分方程右端，化簡后右端函數(shù)式稱為“自由項”。特解：通過觀察自由項來試選特解形式，然后代入方程后求得特解的待定系數(shù)。特解2023/2/110例2-4給定微分方程式，如果已知：（1）（2）分別求兩種情況下此方程的特解。解：（1）將代入方程右端，得到為使等式兩端平衡，試選特解函數(shù)式代入原方程得：2023/2/111等式兩端各對應(yīng)冪次系數(shù)相等，有：

聯(lián)解得到：所以，特解為：2023/2/112

以上簡單回顧了線性常系數(shù)微分方程的經(jīng)典解法。從系統(tǒng)分析的角度，稱線性常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。齊次解稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)。特解稱為系統(tǒng)的強迫響應(yīng)，強迫響應(yīng)只與系統(tǒng)的激勵的形式有關(guān)。整個系統(tǒng)的全響應(yīng)即為自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)之和。2023/2/1132.3起始點的跳變－從0－到0＋狀態(tài)的轉(zhuǎn)換在系統(tǒng)分析中，把響應(yīng)區(qū)間確定為激勵信號加入后系統(tǒng)狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵都是從t＝0時刻加入，因此系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定義為2023/2/1142.3起始點的跳變－從0－到0＋狀態(tài)的轉(zhuǎn)換

起始狀態(tài)：系統(tǒng)在激勵信號加入之前的一組狀態(tài)初始條件：t=0+時刻的一組狀態(tài)，用來確定全響應(yīng)表示式中常數(shù)Ai。2023/2/115例2-5

給定如圖所示電路，t<0開關(guān)S處于1的位置而且已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，當(dāng)t＝0時，S由1轉(zhuǎn)向2。建立電流i(t)的微分方程并求解i(t)在t>=0+時的變化。解：1）列寫微分方程：

2023/2/116整理后得：把參數(shù)代入得：2023/2/1172）求系統(tǒng)的完全響應(yīng)

齊次解：

所以齊次解為：2023/2/118

特解：由于，所以方程右端的自由項為4×4，因此另特解為：代入方程：所以系統(tǒng)的完全響應(yīng)為：2023/2/119（3）確定換路后的和

換路前：換路后：

2023/2/120（4）求在時的完全響應(yīng)由的表達(dá)式2023/2/121所以要求的完全響應(yīng)為：上面分析方法是在系統(tǒng)的電容電壓和電感電流從0－狀態(tài)到0＋狀態(tài)沒有發(fā)生跳變的情況。判斷系統(tǒng)是否發(fā)生跳變的方法是看微分方程右端的自由項是否包含及其導(dǎo)數(shù)。如果包含及其各階導(dǎo)數(shù)，說明系統(tǒng)從0－到0＋狀態(tài)發(fā)生了跳變。2023/2/122狀態(tài)有跳變時求初始條件（沖激函數(shù)匹配法）原理：根據(jù)時刻微分方程左右兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。例如：

對于給定的0－時刻的初始值，如何確定0＋時刻狀態(tài)。

分析：由于方程右端有，所以方程左端的最高次項必然含有。不妨假設(shè)，

則方程左端為：2023/2/123

上面得到的方程的左端與方程的右端并不相等，而是相差一個項。因此重新假設(shè)則原方程左端變?yōu)椋?/p>

這里，表示從0－到0＋相對單位跳變函數(shù)。即

現(xiàn)在方程的左端又多了一個項，因此還需重新假設(shè)則左端為：2023/2/124可見，當(dāng)時，能夠滿足方程左右兩端已經(jīng)平衡。因此是滿足要求的。所以：在這個式子中，有一項跳變項，它是產(chǎn)生跳變的原因。所以：即初始條件與原始狀態(tài)之間的關(guān)系只由系數(shù)決定。這個積分為02023/2/125數(shù)學(xué)方法描述沖激函數(shù)匹配法：按照上面的原理分析，我們總結(jié)沖激函數(shù)匹配法如下：

已知方程右端含有，因此它一定屬于因此，設(shè)：

上面兩式代入原來的微分方程：注意只定義到就夠了。2023/2/126整理并比較方程兩端系數(shù)得到：所以：所以：2023/2/127例題：2-6用沖激函數(shù)匹配法求解例2-5中的完全響應(yīng)。解（1）根據(jù)給定的，考慮到在換路過程中的變化如下圖所示：則求得時刻由2v跳變到4v，即，所以微分方程為：

（2）已知和，用沖激函數(shù)匹配法，求和。2023/2/128由于得到的微分方程的最高階次為，因而假設(shè)：代入原來的微分方程得：2023/2/129求得：其余求解步驟與例2-5相同。所以要求的0＋狀態(tài)為：因而：2023/2/1302.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)1．零輸入響應(yīng)2．零狀態(tài)響應(yīng)2023/2/131例題2-7：設(shè)有RC電路如圖，電容兩端有起始電壓，激勵源為,求時系統(tǒng)響應(yīng)－－電容兩端電壓解：由電路圖可以得到系統(tǒng)的微分方程：

解該微分方程得：2023/2/132分析上面的結(jié)果可以看到，完全響應(yīng)由兩部分組成，其中第一部分只和電容兩端的電容的起始儲能有關(guān)，與輸入的激勵無關(guān)，被稱為零輸入響應(yīng)。第二部分與起始儲能無關(guān)，只與輸入激勵有關(guān)，被稱為零狀態(tài)響應(yīng)。2023/2/1331．零輸入響應(yīng)所謂零輸入，是指系統(tǒng)無外加激勵，即激勵信號，這時僅由系統(tǒng)的初始儲能產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。并記為。它是滿足方程及起始狀態(tài)的解，可見它是齊次解中的一部分，即：特征根2023/2/1342．零狀態(tài)響應(yīng)所謂零狀態(tài)，是指系統(tǒng)沒有初始儲能，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由系統(tǒng)的外加激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)。記為。它滿足方程：及起始狀態(tài)，其形式為特解2023/2/135例題2-8對例2-5中的電路，把電路看作起始狀態(tài)，分別求時的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

解：原電路零輸入電路2023/2/136零狀態(tài)電路初始值等效電路2023/2/1371、零輸入響應(yīng)：是系統(tǒng)滿足和0＋狀態(tài)的和的解。2023/2/138由于前面已經(jīng)求過，系統(tǒng)的特征根為-2和－5，所以零輸入響應(yīng)的形式為：將和代入齊次微分方程得：所以零輸入響應(yīng)為：2023/2/1392零狀態(tài)響應(yīng)：是滿足微分方程

及起始狀態(tài)和的解。由例2-5求得：其中，和由和確定。

2023/2/140把代入方程右端的自由項得：利用沖激函數(shù)匹配法，設(shè)：代入原方程得：2023/2/141解得：所以：代入零狀態(tài)響應(yīng)形式得：2023/2/142所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：系統(tǒng)的全響應(yīng)為：零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)2023/2/1433．瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)還可以分解為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和。當(dāng)時，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量稱為瞬態(tài)響應(yīng)；時，保留下來的那部分分量稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2023/2/144

（a）

（b）

圖2-42系統(tǒng)響應(yīng)的過渡過程示意圖返回本節(jié)2023/2/1452.4沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)返回首頁2023/2/146沖激響應(yīng)以單位沖激信號作為激勵，LTI連續(xù)系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為。沖激響應(yīng)示意圖如圖2-44所示。2023/2/147圖2-44沖激響應(yīng)示意圖2023/2/1482．由階躍響應(yīng)求解沖激響應(yīng)以單位階躍信號作為激勵，LTI連續(xù)系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，記為。階躍激勵與階躍響應(yīng)的關(guān)系表示為：

或

2023/2/149沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)之間的關(guān)系：由于沖激信號與單位階躍信號存在微分與積分關(guān)系，因而，對于LTI也存在如下微分與積分關(guān)系：

2023/2/150沖激響應(yīng)滿足微分方程：及起始狀態(tài)。當(dāng)n>m時，可以表示成：

當(dāng)n<=m時，則表達(dá)式還將有及其各階導(dǎo)數(shù)項。2023/2/151例題2-9對圖所示電路，求電流對激勵的沖激響應(yīng)。解：2023/2/152系統(tǒng)沖激響應(yīng)滿足方程：它的齊次解形式：利用沖激函數(shù)匹配法求和設(shè)：2023/2/153解得：所以：代入得：2023/2/154因為m=n，所以h(t)中有一項，而又因為，所以要求的沖激響應(yīng)為：2023/2/155階躍響應(yīng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)滿足方程及起始狀態(tài)?？梢钥闯龇匠逃叶说淖杂身椇屑捌涓麟A導(dǎo)數(shù)，同時還包含階躍函數(shù)，因此階躍響應(yīng)包含齊次解和特解。2023/2/1562.6卷積卷積的原理：卷積方法的原理就是將信號分解為沖激信號之和，借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)