第4節(jié) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

兩類問(wèn)題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開(kāi)本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)第四節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五部分一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)

.則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱為f(x)的n

階泰勒公式,該鄰域內(nèi)有:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為f(x)

的泰勒級(jí)數(shù).則稱當(dāng)x0=0

時(shí),泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)

.1)對(duì)此級(jí)數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問(wèn)題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1

.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是

f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域

內(nèi)具有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2.若f(x)能展成x

的冪級(jí)數(shù),則這種展開(kāi)式是唯一的,且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

1.直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟如下:展開(kāi)方法直接展開(kāi)法—利用泰勒公式間接展開(kāi)法—利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式0.的函數(shù)展開(kāi)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

將函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).解:

其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足故(

在0與x之間)故得級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

將展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).解:

得級(jí)數(shù):其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類似可推出:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.間接展開(kāi)法利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例3.

將函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).解:

因?yàn)榘褁

換成,得將所給函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

將函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).解:從0到x

積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在x

＝1

收斂,所以展開(kāi)式對(duì)x

＝1也是成立的,于是收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

將展成解:

的冪級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

將展成x－1的冪級(jí)數(shù).解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1)直接展開(kāi)法—利用泰勒公式;(2)間接展開(kāi)法—利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2.常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式式的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.函數(shù)處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒級(jí)數(shù)”有何不同?提示:

后者必需證明前者無(wú)此要求.2.如何求的冪級(jí)數(shù)?提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束補(bǔ)充題1.將下列函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù)解:x＝±1時(shí),此級(jí)數(shù)條