高考數(shù)學總復(fù)習：第6章《不等式、推理與證明》【2】

第二節(jié)一元二次不等式及其解法[主干知識梳理]一元二次不等式的解集二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根與一元二次不等式ax2＋bx＋c>0與ax2＋bx＋c<0的解集的關(guān)系，可歸納為：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有兩相異實根有兩相同實根無實根x＝x1或x＝x2x＝x1若a<0時，可以先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，對照上表求解．一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0)ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}??4．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝__________，n＝________． 解析因為|x＋2|<3，即－5<x<1， 所以A＝(－5，1)，又A∩B≠?，所以m<1，B＝(m，2)， 由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1.

答案－1

15．(教材習題改編)若不等式－x2＋2x－m＞0，在x∈[－1，0]上恒成立，則m的取值范圍是__________． 解析由m＜－x2＋2x知m只需小于u＝－x2＋2x，

x∈[－1，0]的最小值即m＜umin.

又u在[－1，0]上遞增， ∴umin＝－1－2＝－3. ∴m＜－3.

答案(－∞，－3)[關(guān)鍵要點點撥]解一元二次不等式應(yīng)注意的問題：(1)在解一元二次不等式時，要先把二次項系數(shù)化為正數(shù)．(2)二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號會影響不等式的解集，討論時不要忘記二次項系數(shù)為零的情況．(3)解決一元二次不等式恒成立問題要注意二次項系數(shù)的符號．(4)一元二次不等式的解集的端點與相應(yīng)的一元二次方程的根及相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標相同．

[典題導(dǎo)入]

解下列不等式：(1)0＜x2－x－2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．一元二次不等式的解法

[規(guī)律方法]1．解一元二次不等式的一般步驟：

(1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數(shù)大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

(2)計算相應(yīng)的判別式；

(3)當Δ≥0時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；

(4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集．2．解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏．

[典題導(dǎo)入]

已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．[聽課記錄]解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a.①當a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.一元二次不等式恒成立問題

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.綜上所述，a

的取值范圍為[－3，1]．

[規(guī)律方法]1．對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．2．一元二次不等式恒成立的條件：

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要條件是：

a＞0且b2－4ac＜0. (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要條件是：

a＜0且b2－4ac＜0.

[跟蹤訓(xùn)練]2．若關(guān)于x的不等式x2－ax－a>0的解集為(－∞，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________；若關(guān)于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析由Δ1<0，即a2－4(－a)<0，得－4<a<0； 由Δ2≥0，即a2－4(3－a)≥0，得a≤－6或a≥2.

答案(－4，0)

(－∞，－6]∪[2，＋∞)一元二次不等式的應(yīng)用

[規(guī)律方法]解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進行：(1)認真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準不等關(guān)系；(2)引進數(shù)學符號，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式；(4)回答實際問題．

[跟蹤訓(xùn)練]3．某同學要把自己的計算機接入因特網(wǎng)．現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇．公司A每小時收費1.5元；公司B在用戶每次上網(wǎng)的第1小時內(nèi)收費1.7元，第2小時內(nèi)收費1.6元，以后每小時減少0.1元(若用戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計算)．假設(shè)該同學一次上網(wǎng)時間總是小于17小時，那么該同學如何選擇ISP公司較省錢？【思路導(dǎo)析】

利用新定義化簡出f(x)，并作出圖象分析．【高手支招】

“三個二次”間關(guān)系，其實質(zhì)是抓住二次函數(shù)y＝ax2＋