第四章 軸向拉伸與壓縮2012(3系3-6班)

第四章軸向拉伸與壓縮本章重點

1、應(yīng)力與應(yīng)變的概念

2、拉壓正應(yīng)力及強度計算

3、金屬材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能

4、溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響

5、拉壓變形計算

6、拉壓超靜定問題分析§4-1應(yīng)力、應(yīng)變及其關(guān)系

為何要討論應(yīng)力？桿件的強度取決于橫截面上內(nèi)力的分布集度應(yīng)力一、應(yīng)力

是一點處內(nèi)力的集度，即單位面積上的內(nèi)力應(yīng)力的單位即帕斯卡Pa

應(yīng)力是矢量，反映內(nèi)力系在某一點的強弱程度。1GPa=103MPa=109Pa平均應(yīng)力應(yīng)力正應(yīng)力：垂直于截面的應(yīng)力分量剪應(yīng)力：平行于截面的應(yīng)力分量(切應(yīng)力)應(yīng)力具有以下三個特征：1、應(yīng)力是在受力構(gòu)件的某一截面上某一點處定義的，因此，討論應(yīng)力必須明確是在哪一個截面上的哪一點處；2、應(yīng)力是矢量,可分為正應(yīng)力和剪應(yīng)力；3、整個截面上各點處的應(yīng)力與微面積dA之乘積的合成，即為該截面上的內(nèi)力。自物體內(nèi)某一點的原位置到新位置所連線段的距離物體上的某一直線段旋轉(zhuǎn)的角度線位移：角位移：二、應(yīng)變線應(yīng)變:平均線應(yīng)變：剪應(yīng)變大小剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：正交線段夾角的變化在后面課程的學(xué)習(xí)中可知：線應(yīng)變由正應(yīng)力產(chǎn)生剪應(yīng)變由剪應(yīng)力產(chǎn)生線應(yīng)變和剪應(yīng)變是描述一點處變形程度的兩個基本量，它們的量綱均為一。線應(yīng)變沒有單位，剪應(yīng)變單位為rad三、剪應(yīng)力互等定理

在相互垂直的兩個平面上,剪應(yīng)力一定成對出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時指向或背離兩平面的交線。證明：微元體單元體四、胡克定理線彈性：應(yīng)力小于某一極限值時，材料的變形是彈性的，且應(yīng)力與應(yīng)變之間常呈線性關(guān)系。胡克定理：

=E

·

E:彈性模量剪切胡克定理:=G

·

G:剪切彈性模量軸力主線：強度、剛度、穩(wěn)定性

分析方法：幾何、物理、靜力學(xué)正應(yīng)力彎矩正應(yīng)力扭矩剪應(yīng)力剪力剪應(yīng)力§4-2軸向拉伸與壓縮正應(yīng)力及其強度條件一、軸向拉伸與壓縮正應(yīng)力平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面。PPP圣維南(SaintVenant)原理：

作用于物體某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可以用一個與之靜力等效的力系來代替。而兩力系所產(chǎn)生的應(yīng)力分布只在力系作用區(qū)域附近有顯著的影響，在離開力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布幾乎相同。FFFFFF注意1、細(xì)長壓桿易被壓彎，屬于穩(wěn)定性問題；2、上述公式是由等截面直桿推得，對變截面直桿而言，若截面變化緩慢，可用上式計算，誤差不大，為工程中所允許；3、由于截面尺寸突變而引起局部應(yīng)力驟増的現(xiàn)象，稱作應(yīng)力集中。例1

懸臂吊車，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，起吊重物W=15kN，求AB的最大工作應(yīng)力。AWBC0.8m1.9m解：1、分析AB受力、并求其內(nèi)力:當(dāng)W移到A點時AB桿受力最大，取結(jié)點A研究B0.8mACW1.9mAFNFNFNQFNABFNAC2、求AB桿的最大工作應(yīng)力：

其最大工作應(yīng)力為橫截面上的應(yīng)力

請思考：B0.8mACW1.9m1、W位于A點時，AB、AC為何種變形？2、W移至AC中任一位置時，有何變化？例2長為b，內(nèi)徑d=200mm，壁厚t=5mm的薄壁圓環(huán)，承受p=2MPa的內(nèi)壓力作用，試求圓環(huán)徑向截面上的拉應(yīng)力。2005p解：圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下要均勻漲大，故在包括圓環(huán)軸線的任何徑向截面上，作用有相同的法向拉力FNmmnnFNFN此半環(huán)上的內(nèi)壓力沿y方向的合力R為：RydR=∫л

0

(p·b·d·d/2)·sin=p·b·dFN=R/2=p·b·d/2=FN

/A=p·b·d/(2·b·t)=p·d/(2·t)=2·106·0.2/(2·0.005)Pa=40MPa壁厚遠(yuǎn)小于內(nèi)徑，可近似認(rèn)為m-m、n-n上各點處正應(yīng)力相等。當(dāng)t

d/20時，這種近似足夠精確。二、強度條件等直軸軸向拉壓桿內(nèi)的最大正應(yīng)力:強度條件：式中： 稱為最大工作應(yīng)力 稱為材料的許用應(yīng)力

根據(jù)上述強度條件，可以進行三種類型的強度計算：一、校核桿的強度 已知FNmax、A、[σ]，驗算構(gòu)件是否滿足強度條件二、設(shè)計截面 已知FNmax、[σ],根據(jù)強度條件，求A三、確定許可載荷 已知A、[σ]，根據(jù)強度條件,求FNmax解：滿足強度條件例3：一直徑d=14mm的圓桿，許用應(yīng)力

[σ]=170MPa，受軸向拉力P=2.5kN作用，

試校核此桿是否滿足強度條件。例4：圖示三角形托架,其桿AB是由兩根

等邊角鋼組成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,

試選擇等邊角鋼的型號。BACP45°45°解：BACP45°45°FNFN例5：簡易起重設(shè)備中，AC桿由兩根80×80×7等邊角鋼組成，AB桿由兩根10號工字鋼組成，許用應(yīng)力[]=170MPa。求許可荷載[P]。解：研究節(jié)點A30。

BCAPAC受拉，AB受壓。FN1

FN2

FN1=2P，F(xiàn)N2≈1.732P分別等于AC、AB的軸力查表：AC面積為A1=2×10.86cm2

AB面積為A2=2×14.345cm2

30。

BCAPFN1

FN2

A1=2×10.86

cm2A2=2×14.345

cm2[]=170

MPa[FN1]=[]×A1=369.24kN[FN2]=[]×A2=486.2kN[P1]=[FN1]/2=184.62kN[P2]=[FN2]/1.732=280.7kN[P]=[P1]=184.62kN§4-3

材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能

材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形和破壞方面的特性，稱為材料的力學(xué)性能?！?-3-1

金屬材料在常溫靜載下的力學(xué)性能一、低碳鋼的拉伸實驗實驗條件：常溫、緩慢平穩(wěn)加載（靜載）標(biāo)準(zhǔn)試件：標(biāo)距，通常取或夾頭夾頭dl液壓式萬能試驗機底座活動測試臺活塞油管低碳鋼——含碳量在0.3%以下的碳素鋼。PA3鋼試件的拉伸圖：1、彈性階段oab

這一階段可分為：斜直線Oa和微彎曲線ab，該段范圍內(nèi)，試件變形是彈性的，卸載后變形可完全恢復(fù)。Oa段：變形是線彈性的，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。直線Oa為線彈性區(qū)，其應(yīng)力與應(yīng)變之比稱材料的彈性模量（楊氏模量）E，幾何意義為應(yīng)力--應(yīng)變曲線上直線段的斜率。比例極限彈性極限2、屈服階段bc屈服極限上屈服極限下屈服極限為下屈服極限

表面磨光的試件，屈服時可在試件表面看見與軸線大致成45°傾角的條紋。這是由于材料內(nèi)部晶格之間相對滑移而形成的，稱為滑移線。因為在45°的斜截面上剪應(yīng)力最大。

強化階段的變形絕大部分是塑性變形。強度極限3、強化階段cd4、頸縮階段de比例極限屈服極限強度極限其中和是衡量材料強度的重要指標(biāo)延伸率:ll1截面收縮率:dd1材料力學(xué)性質(zhì)的綜合評述塑性材料：延伸率＞5%脆性材料：延伸率＜5%卸載定律冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)過退火后可消除冷作硬化常溫下把材料預(yù)拉到塑性變形階段，然后卸載，再次加載時，材料的線彈性范圍將增大，使材料比例極限提高，而塑性降低。材料在卸載時應(yīng)力與應(yīng)變成直線關(guān)系冷作時效：拉伸至強化階段后卸載，過一段時間后再拉，則其線彈性范圍的比例極限還會有所提高殘余應(yīng)變（塑性應(yīng)變）二、其它材料的拉伸實驗

對于在拉伸過程中沒有明顯屈服階段的材料，通常規(guī)定以產(chǎn)生0.2％的塑性應(yīng)變所對應(yīng)的應(yīng)力作為屈服極限，并稱為名義屈服極限，用0.2來表示?；铱阼T鐵的拉伸實驗

沒有屈服現(xiàn)象和頸縮現(xiàn)象,只能測出其拉伸強度極限切線模量：曲線在任意應(yīng)變處的斜率，用割線模量：由原點至曲線上對應(yīng)于任意應(yīng)變點連線的斜率，用顯然切線、割線模量是變量彈性模量割線切線三、金屬材料壓縮時的力學(xué)性能一般金屬材料的壓縮試件都做成圓柱形狀。低碳鋼壓縮時的σ-ε曲線拉伸壓縮測不出鑄鐵壓縮時的σ-ε曲線拉伸壓縮宜作受壓構(gòu)件§4-3-2

非金屬材料在常溫靜載下的力學(xué)性能1、混凝土天然石料

脆性材料，一般只適用于作受壓構(gòu)件。受拉部分用鋼筋加強巖石的單向壓縮二、木材

各向異性材料，在工程中廣泛用作柱、斜撐等承壓構(gòu)件。三、復(fù)合材料1、比強度和比剛度高2、具有可設(shè)計性

纖維復(fù)合材料的力學(xué)性能與纖維的鋪設(shè)方向有很大關(guān)系，屬于各向異性材料。§4-3-3

溫度對材料力學(xué)性能的影響

一般來說，金屬材料隨著溫度的降低，強度提高而塑性降低。

固體材料在保持應(yīng)力不變的情況下，應(yīng)變隨時間緩慢增長的現(xiàn)象稱為蠕變。粘彈性材料在總應(yīng)變不變的條件下,變形恢復(fù)力（回彈應(yīng)力）隨時間逐漸降低的現(xiàn)象稱為應(yīng)力松弛。綜上所述，衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)有：

比例極限(或彈性極限)、屈服極限、強度極限、彈性模量、延伸率、斷面收縮率等。

對于塑性材料來說，抵抗拉斷的能力較好，常用的強度指標(biāo)是屈服極限。而且，一般來說，拉伸和壓縮時的屈服極限相同。

對于脆性材料來說，抗拉強度遠(yuǎn)低于抗壓強度，強度指標(biāo)是強度極限，一般用于受壓構(gòu)件。許用應(yīng)力安全系數(shù)的選擇n>1——安全系數(shù)

許用應(yīng)力就是桿件被人為規(guī)定的實際應(yīng)力允許達到的最高限度。對于塑性材料對于脆性材料例6

在低碳鋼的實驗中，測得彈性模量E=200GPa。若超過屈服極限后繼續(xù)加載，當(dāng)試樣橫截面的應(yīng)力為=310MPa時，軸向線應(yīng)變?yōu)?0.0215。試問相應(yīng)的彈性線應(yīng)變和殘余線應(yīng)變各為多少？

3100.0215解：彈性應(yīng)變塑性應(yīng)變=0.0215-0.00155=0.01995例7一根鋼筋試件，E=210GPa，比例極限=210MPa，在軸力作用下，測得軸向線應(yīng)變?yōu)?.001，試求此時的正應(yīng)力。如果繼續(xù)增加拉力，使試樣的軸向線應(yīng)變達到0.08，然后再逐漸卸除荷載，測得殘余線應(yīng)變?yōu)?.075，試問未卸載時鋼筋橫截面上的正應(yīng)力為多大？解：為線彈性區(qū)加載裝置拉伸裝置壓縮裝置示力表盤§4-4

拉（壓）變形計算一、縱向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變縱向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變PP二、胡克定理當(dāng)構(gòu)件工作應(yīng)力時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比即考慮到即其中：E為彈性模量，EA稱為抗拉（壓）剛度或橫向變形：單向應(yīng)力狀態(tài)下

時

稱為橫向變形系數(shù)或泊松(Poisson)比公式的應(yīng)用范圍與注意事項：2、構(gòu)件的工作應(yīng)力（線彈性范圍內(nèi)）；3、軸力、橫截面面積A為常量——等直桿兩端受軸向力。討論：1、軸力變化時：1、l為“+”時伸長，為“-”時縮短。符號規(guī)定與軸力一致；拉為“+”，壓為“-”；2、橫截面變化時：CAB階梯狀桿BCA3、變截面桿：錐角較小，如≤10度PP例8：圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力

2=-30MPa，E=210GPa，求整個桿的伸長△l。（不考慮應(yīng)力集中）PP1230.2m0.4m0.2m解:（縮短）PP1230.2m0.4m0.2m例9：求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點A的垂直位移。

②①PABCEAlEAl②①P解:小變形條件下切線替代圓弧FFPN1N22==cosaDDllFlEAPlEA12N12===cosaN2FN1FBDC4m3m一、分析構(gòu)件受力：取B點研究PPB例10：簡單托架，BC桿為圓鋼，直徑d=20mm，BD桿為8號槽鋼。[]=160MPa，E=200GPa，P=60kN。試求B點的位移。解:N1FN2FkNPFkNPF75454543N2N1-=-===（“-”表示與圖示方向相反，為壓力）N2F二、分析計算B點的位移假想把B節(jié)點松開受力后B點移到其位移BDC3mP4mFNFNBPN1FN2FBDC3mP4m水平位移（）鉛垂位移=3.9mm（）FNFN例11：求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點A的位移。AEAEA21PlAEAEA21Pl解:取A點研究PA鉛垂位移水平位移（）（）FPFN1N20==,N1FN2F例12：圖示變截面桿左右兩端直徑分別為D、d,作用有軸向壓力P，不計桿件自重，材料彈性模量為E，桿長l。試求桿件的變形。DdPP解:取微段dx研究xdx設(shè)距左端為x處橫截面的直徑為對微段來說（縮短）三、拉（壓）桿超靜定問題的解法引例:

在日常生活中乃至在工程中我們常常遇到僅靠靜力平衡方程無法求得約束反力的例子?！皟蓚€和尚抬水吃，三個和尚沒水吃”，恐怕是最早說到超靜定問題的例子了。靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，這類問題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)。超靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)多于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程便無法確定全部未知力，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題.相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)多余約束：在靜定結(jié)構(gòu)上加上的一個或幾個約束，對于維持平衡來說是不必要的約束（對于特定地工程要求是必要的）稱多余約束。對應(yīng)的約束力稱多余約束反力（B—固定端約束）

由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形，在工程上（如橋梁等）應(yīng)用非常廣泛。超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù)PACRABRB

把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題解，但必須滿足原結(jié)構(gòu)的變形約束條件。1、選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），B端解除多余約束，代之以約束反力解：FCBA例13

桿上段為銅，下段為鋼桿，桿的兩端為固支,求兩段的軸力。3、比較兩次計算的變形量，其值應(yīng)該滿足變形相容條件，建立方程求解。2、求靜定基僅在原有外力作用下和僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移FCBA

拉（壓）桿超靜定問題的解法

——幾何變形法

解超靜定問題必須找出求解所有未知約束反力所缺少的補充方程。結(jié)構(gòu)變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件----即滿足變形相容條件（變形協(xié)調(diào)條件）。關(guān)鍵：變形協(xié)調(diào)條件注意：力與變形一致例14：圖示結(jié)構(gòu)1、2桿抗拉剛度為解:

1、畫A結(jié)點受力圖，建立平衡方程F未知力個數(shù)3個，平衡方程數(shù)2個，故為一次超靜定。①A123Axy在F力作用下，求各桿內(nèi)力。FFN1FN2FN3FA2133、代入物理關(guān)系，建立補充方程②③2、如圖三桿鉸結(jié)，畫A結(jié)點位移圖,列出變形相容條件。要注意所設(shè)的變形性質(zhì)必須和受力分析中設(shè)定的力的性質(zhì)一致。由對稱性知4、聯(lián)立