第四章 軸向拉伸與壓縮2012(3系3-6班)

第四章軸向拉伸與壓縮本章重點(diǎn)

1、應(yīng)力與應(yīng)變的概念

2、拉壓正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算

3、金屬材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能

4、溫度和時(shí)間對(duì)材料力學(xué)性能的影響

5、拉壓變形計(jì)算

6、拉壓超靜定問(wèn)題分析§4-1應(yīng)力、應(yīng)變及其關(guān)系

為何要討論應(yīng)力？桿件的強(qiáng)度取決于橫截面上內(nèi)力的分布集度應(yīng)力一、應(yīng)力

是一點(diǎn)處內(nèi)力的集度，即單位面積上的內(nèi)力應(yīng)力的單位即帕斯卡Pa

應(yīng)力是矢量，反映內(nèi)力系在某一點(diǎn)的強(qiáng)弱程度。1GPa=103MPa=109Pa平均應(yīng)力應(yīng)力正應(yīng)力：垂直于截面的應(yīng)力分量剪應(yīng)力：平行于截面的應(yīng)力分量(切應(yīng)力)應(yīng)力具有以下三個(gè)特征：1、應(yīng)力是在受力構(gòu)件的某一截面上某一點(diǎn)處定義的，因此，討論應(yīng)力必須明確是在哪一個(gè)截面上的哪一點(diǎn)處；2、應(yīng)力是矢量,可分為正應(yīng)力和剪應(yīng)力；3、整個(gè)截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力與微面積dA之乘積的合成，即為該截面上的內(nèi)力。自物體內(nèi)某一點(diǎn)的原位置到新位置所連線(xiàn)段的距離物體上的某一直線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)的角度線(xiàn)位移：角位移：二、應(yīng)變線(xiàn)應(yīng)變:平均線(xiàn)應(yīng)變：剪應(yīng)變大小剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：正交線(xiàn)段夾角的變化在后面課程的學(xué)習(xí)中可知：線(xiàn)應(yīng)變由正應(yīng)力產(chǎn)生剪應(yīng)變由剪應(yīng)力產(chǎn)生線(xiàn)應(yīng)變和剪應(yīng)變是描述一點(diǎn)處變形程度的兩個(gè)基本量，它們的量綱均為一。線(xiàn)應(yīng)變沒(méi)有單位，剪應(yīng)變單位為rad三、剪應(yīng)力互等定理

在相互垂直的兩個(gè)平面上,剪應(yīng)力一定成對(duì)出現(xiàn)，其數(shù)值相等，方向同時(shí)指向或背離兩平面的交線(xiàn)。證明：微元體單元體四、胡克定理線(xiàn)彈性：應(yīng)力小于某一極限值時(shí)，材料的變形是彈性的，且應(yīng)力與應(yīng)變之間常呈線(xiàn)性關(guān)系。胡克定理：

=E

·

E:彈性模量剪切胡克定理:=G

·

G:剪切彈性模量軸力主線(xiàn)：強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性

分析方法：幾何、物理、靜力學(xué)正應(yīng)力彎矩正應(yīng)力扭矩剪應(yīng)力剪力剪應(yīng)力§4-2軸向拉伸與壓縮正應(yīng)力及其強(qiáng)度條件一、軸向拉伸與壓縮正應(yīng)力平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面。PPP圣維南(SaintVenant)原理：

作用于物體某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可以用一個(gè)與之靜力等效的力系來(lái)代替。而兩力系所產(chǎn)生的應(yīng)力分布只在力系作用區(qū)域附近有顯著的影響，在離開(kāi)力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布幾乎相同。FFFFFF注意1、細(xì)長(zhǎng)壓桿易被壓彎，屬于穩(wěn)定性問(wèn)題；2、上述公式是由等截面直桿推得，對(duì)變截面直桿而言，若截面變化緩慢，可用上式計(jì)算，誤差不大，為工程中所允許；3、由于截面尺寸突變而引起局部應(yīng)力驟増的現(xiàn)象，稱(chēng)作應(yīng)力集中。例1

懸臂吊車(chē)，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，起吊重物W=15kN，求AB的最大工作應(yīng)力。AWBC0.8m1.9m解：1、分析AB受力、并求其內(nèi)力:當(dāng)W移到A點(diǎn)時(shí)AB桿受力最大，取結(jié)點(diǎn)A研究B0.8mACW1.9mAFNFNFNQFNABFNAC2、求AB桿的最大工作應(yīng)力：

其最大工作應(yīng)力為橫截面上的應(yīng)力

請(qǐng)思考：B0.8mACW1.9m1、W位于A點(diǎn)時(shí)，AB、AC為何種變形？2、W移至AC中任一位置時(shí)，有何變化？例2長(zhǎng)為b，內(nèi)徑d=200mm，壁厚t=5mm的薄壁圓環(huán)，承受p=2MPa的內(nèi)壓力作用，試求圓環(huán)徑向截面上的拉應(yīng)力。2005p解：圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下要均勻漲大，故在包括圓環(huán)軸線(xiàn)的任何徑向截面上，作用有相同的法向拉力FNmmnnFNFN此半環(huán)上的內(nèi)壓力沿y方向的合力R為：RydR=∫л

0

(p·b·d·d/2)·sin=p·b·dFN=R/2=p·b·d/2=FN

/A=p·b·d/(2·b·t)=p·d/(2·t)=2·106·0.2/(2·0.005)Pa=40MPa壁厚遠(yuǎn)小于內(nèi)徑，可近似認(rèn)為m-m、n-n上各點(diǎn)處正應(yīng)力相等。當(dāng)t

d/20時(shí)，這種近似足夠精確。二、強(qiáng)度條件等直軸軸向拉壓桿內(nèi)的最大正應(yīng)力:強(qiáng)度條件：式中： 稱(chēng)為最大工作應(yīng)力 稱(chēng)為材料的許用應(yīng)力

根據(jù)上述強(qiáng)度條件，可以進(jìn)行三種類(lèi)型的強(qiáng)度計(jì)算：一、校核桿的強(qiáng)度 已知FNmax、A、[σ]，驗(yàn)算構(gòu)件是否滿(mǎn)足強(qiáng)度條件二、設(shè)計(jì)截面 已知FNmax、[σ],根據(jù)強(qiáng)度條件，求A三、確定許可載荷 已知A、[σ]，根據(jù)強(qiáng)度條件,求FNmax解：滿(mǎn)足強(qiáng)度條件例3：一直徑d=14mm的圓桿，許用應(yīng)力

[σ]=170MPa，受軸向拉力P=2.5kN作用，

試校核此桿是否滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。例4：圖示三角形托架,其桿AB是由兩根

等邊角鋼組成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,

試選擇等邊角鋼的型號(hào)。BACP45°45°解：BACP45°45°FNFN例5：簡(jiǎn)易起重設(shè)備中，AC桿由兩根80×80×7等邊角鋼組成，AB桿由兩根10號(hào)工字鋼組成，許用應(yīng)力[]=170MPa。求許可荷載[P]。解：研究節(jié)點(diǎn)A30。

BCAPAC受拉，AB受壓。FN1

FN2

FN1=2P，F(xiàn)N2≈1.732P分別等于AC、AB的軸力查表：AC面積為A1=2×10.86cm2

AB面積為A2=2×14.345cm2

30。

BCAPFN1

FN2

A1=2×10.86

cm2A2=2×14.345

cm2[]=170

MPa[FN1]=[]×A1=369.24kN[FN2]=[]×A2=486.2kN[P1]=[FN1]/2=184.62kN[P2]=[FN2]/1.732=280.7kN[P]=[P1]=184.62kN§4-3

材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能

材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形和破壞方面的特性，稱(chēng)為材料的力學(xué)性能?！?-3-1

金屬材料在常溫靜載下的力學(xué)性能一、低碳鋼的拉伸實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)條件：常溫、緩慢平穩(wěn)加載（靜載）標(biāo)準(zhǔn)試件：標(biāo)距，通常取或夾頭夾頭dl液壓式萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)底座活動(dòng)測(cè)試臺(tái)活塞油管低碳鋼——含碳量在0.3%以下的碳素鋼。PA3鋼試件的拉伸圖：1、彈性階段oab

這一階段可分為：斜直線(xiàn)Oa和微彎曲線(xiàn)ab，該段范圍內(nèi)，試件變形是彈性的，卸載后變形可完全恢復(fù)。Oa段：變形是線(xiàn)彈性的，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。直線(xiàn)Oa為線(xiàn)彈性區(qū)，其應(yīng)力與應(yīng)變之比稱(chēng)材料的彈性模量（楊氏模量）E，幾何意義為應(yīng)力--應(yīng)變曲線(xiàn)上直線(xiàn)段的斜率。比例極限彈性極限2、屈服階段bc屈服極限上屈服極限下屈服極限為下屈服極限

表面磨光的試件，屈服時(shí)可在試件表面看見(jiàn)與軸線(xiàn)大致成45°傾角的條紋。這是由于材料內(nèi)部晶格之間相對(duì)滑移而形成的，稱(chēng)為滑移線(xiàn)。因?yàn)樵?5°的斜截面上剪應(yīng)力最大。

強(qiáng)化階段的變形絕大部分是塑性變形。強(qiáng)度極限3、強(qiáng)化階段cd4、頸縮階段de比例極限屈服極限強(qiáng)度極限其中和是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)延伸率:ll1截面收縮率:dd1材料力學(xué)性質(zhì)的綜合評(píng)述塑性材料：延伸率＞5%脆性材料：延伸率＜5%卸載定律冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)過(guò)退火后可消除冷作硬化常溫下把材料預(yù)拉到塑性變形階段，然后卸載，再次加載時(shí)，材料的線(xiàn)彈性范圍將增大，使材料比例極限提高，而塑性降低。材料在卸載時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變成直線(xiàn)關(guān)系冷作時(shí)效：拉伸至強(qiáng)化階段后卸載，過(guò)一段時(shí)間后再拉，則其線(xiàn)彈性范圍的比例極限還會(huì)有所提高殘余應(yīng)變（塑性應(yīng)變）二、其它材料的拉伸實(shí)驗(yàn)

對(duì)于在拉伸過(guò)程中沒(méi)有明顯屈服階段的材料，通常規(guī)定以產(chǎn)生0.2％的塑性應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服極限，并稱(chēng)為名義屈服極限，用0.2來(lái)表示。灰口鑄鐵的拉伸實(shí)驗(yàn)

沒(méi)有屈服現(xiàn)象和頸縮現(xiàn)象,只能測(cè)出其拉伸強(qiáng)度極限切線(xiàn)模量：曲線(xiàn)在任意應(yīng)變處的斜率，用割線(xiàn)模量：由原點(diǎn)至曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)于任意應(yīng)變點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，用顯然切線(xiàn)、割線(xiàn)模量是變量彈性模量割線(xiàn)切線(xiàn)三、金屬材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能一般金屬材料的壓縮試件都做成圓柱形狀。低碳鋼壓縮時(shí)的σ-ε曲線(xiàn)拉伸壓縮測(cè)不出鑄鐵壓縮時(shí)的σ-ε曲線(xiàn)拉伸壓縮宜作受壓構(gòu)件§4-3-2

非金屬材料在常溫靜載下的力學(xué)性能1、混凝土天然石料

脆性材料，一般只適用于作受壓構(gòu)件。受拉部分用鋼筋加強(qiáng)巖石的單向壓縮二、木材

各向異性材料，在工程中廣泛用作柱、斜撐等承壓構(gòu)件。三、復(fù)合材料1、比強(qiáng)度和比剛度高2、具有可設(shè)計(jì)性

纖維復(fù)合材料的力學(xué)性能與纖維的鋪設(shè)方向有很大關(guān)系，屬于各向異性材料。§4-3-3

溫度對(duì)材料力學(xué)性能的影響

一般來(lái)說(shuō)，金屬材料隨著溫度的降低，強(qiáng)度提高而塑性降低。

固體材料在保持應(yīng)力不變的情況下，應(yīng)變隨時(shí)間緩慢增長(zhǎng)的現(xiàn)象稱(chēng)為蠕變。粘彈性材料在總應(yīng)變不變的條件下,變形恢復(fù)力（回彈應(yīng)力）隨時(shí)間逐漸降低的現(xiàn)象稱(chēng)為應(yīng)力松弛。綜上所述，衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)有：

比例極限(或彈性極限)、屈服極限、強(qiáng)度極限、彈性模量、延伸率、斷面收縮率等。

對(duì)于塑性材料來(lái)說(shuō)，抵抗拉斷的能力較好，常用的強(qiáng)度指標(biāo)是屈服極限。而且，一般來(lái)說(shuō)，拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限相同。

對(duì)于脆性材料來(lái)說(shuō)，抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)低于抗壓強(qiáng)度，強(qiáng)度指標(biāo)是強(qiáng)度極限，一般用于受壓構(gòu)件。許用應(yīng)力安全系數(shù)的選擇n>1——安全系數(shù)

許用應(yīng)力就是桿件被人為規(guī)定的實(shí)際應(yīng)力允許達(dá)到的最高限度。對(duì)于塑性材料對(duì)于脆性材料例6

在低碳鋼的實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得彈性模量E=200GPa。若超過(guò)屈服極限后繼續(xù)加載，當(dāng)試樣橫截面的應(yīng)力為=310MPa時(shí)，軸向線(xiàn)應(yīng)變?yōu)?0.0215。試問(wèn)相應(yīng)的彈性線(xiàn)應(yīng)變和殘余線(xiàn)應(yīng)變各為多少？

3100.0215解：彈性應(yīng)變塑性應(yīng)變=0.0215-0.00155=0.01995例7一根鋼筋試件，E=210GPa，比例極限=210MPa，在軸力作用下，測(cè)得軸向線(xiàn)應(yīng)變?yōu)?.001，試求此時(shí)的正應(yīng)力。如果繼續(xù)增加拉力，使試樣的軸向線(xiàn)應(yīng)變達(dá)到0.08，然后再逐漸卸除荷載，測(cè)得殘余線(xiàn)應(yīng)變?yōu)?.075，試問(wèn)未卸載時(shí)鋼筋橫截面上的正應(yīng)力為多大？解：為線(xiàn)彈性區(qū)加載裝置拉伸裝置壓縮裝置示力表盤(pán)§4-4

拉（壓）變形計(jì)算一、縱向線(xiàn)應(yīng)變與橫向線(xiàn)應(yīng)變縱向線(xiàn)應(yīng)變橫向線(xiàn)應(yīng)變PP二、胡克定理當(dāng)構(gòu)件工作應(yīng)力時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比即考慮到即其中：E為彈性模量，EA稱(chēng)為抗拉（壓）剛度或橫向變形：?jiǎn)蜗驊?yīng)力狀態(tài)下

時(shí)

稱(chēng)為橫向變形系數(shù)或泊松(Poisson)比公式的應(yīng)用范圍與注意事項(xiàng)：2、構(gòu)件的工作應(yīng)力（線(xiàn)彈性范圍內(nèi)）；3、軸力、橫截面面積A為常量——等直桿兩端受軸向力。討論：1、軸力變化時(shí)：1、l為“+”時(shí)伸長(zhǎng)，為“-”時(shí)縮短。符號(hào)規(guī)定與軸力一致；拉為“+”，壓為“-”；2、橫截面變化時(shí)：CAB階梯狀桿BCA3、變截面桿：錐角較小，如≤10度PP例8：圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長(zhǎng)a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力

2=-30MPa，E=210GPa，求整個(gè)桿的伸長(zhǎng)△l。（不考慮應(yīng)力集中）PP1230.2m0.4m0.2m解:（縮短）PP1230.2m0.4m0.2m例9：求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)A的垂直位移。

②①PABCEAlEAl②①P解:小變形條件下切線(xiàn)替代圓弧FFPN1N22==cosaDDllFlEAPlEA12N12===cosaN2FN1FBDC4m3m一、分析構(gòu)件受力：取B點(diǎn)研究PPB例10：簡(jiǎn)單托架，BC桿為圓鋼，直徑d=20mm，BD桿為8號(hào)槽鋼。[]=160MPa，E=200GPa，P=60kN。試求B點(diǎn)的位移。解:N1FN2FkNPFkNPF75454543N2N1-=-===（“-”表示與圖示方向相反，為壓力）N2F二、分析計(jì)算B點(diǎn)的位移假想把B節(jié)點(diǎn)松開(kāi)受力后B點(diǎn)移到其位移BDC3mP4mFNFNBPN1FN2FBDC3mP4m水平位移（）鉛垂位移=3.9mm（）FNFN例11：求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)A的位移。AEAEA21PlAEAEA21Pl解:取A點(diǎn)研究PA鉛垂位移水平位移（）（）FPFN1N20==,N1FN2F例12：圖示變截面桿左右兩端直徑分別為D、d,作用有軸向壓力P，不計(jì)桿件自重，材料彈性模量為E，桿長(zhǎng)l。試求桿件的變形。DdPP解:取微段dx研究xdx設(shè)距左端為x處橫截面的直徑為對(duì)微段來(lái)說(shuō)（縮短）三、拉（壓）桿超靜定問(wèn)題的解法引例:

在日常生活中乃至在工程中我們常常遇到僅靠靜力平衡方程無(wú)法求得約束反力的例子?！皟蓚€(gè)和尚抬水吃，三個(gè)和尚沒(méi)水吃”，恐怕是最早說(shuō)到超靜定問(wèn)題的例子了。靜定問(wèn)題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜定問(wèn)題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱(chēng)靜定結(jié)構(gòu)。超靜定問(wèn)題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)，僅用靜力平衡方程便無(wú)法確定全部未知力，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為超靜定問(wèn)題或靜不定問(wèn)題.相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱(chēng)超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)多余約束：在靜定結(jié)構(gòu)上加上的一個(gè)或幾個(gè)約束，對(duì)于維持平衡來(lái)說(shuō)是不必要的約束（對(duì)于特定地工程要求是必要的）稱(chēng)多余約束。對(duì)應(yīng)的約束力稱(chēng)多余約束反力（B—固定端約束）

由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形，在工程上（如橋梁等）應(yīng)用非常廣泛。超靜定次數(shù)：未知力個(gè)數(shù)與平衡方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù)PACRABRB

把超靜定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜定問(wèn)題解，但必須滿(mǎn)足原結(jié)構(gòu)的變形約束條件。1、選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），B端解除多余約束，代之以約束反力解：FCBA例13

桿上段為銅，下段為鋼桿，桿的兩端為固支,求兩段的軸力。3、比較兩次計(jì)算的變形量，其值應(yīng)該滿(mǎn)足變形相容條件，建立方程求解。2、求靜定基僅在原有外力作用下和僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移FCBA

拉（壓）桿超靜定問(wèn)題的解法

——幾何變形法

解超靜定問(wèn)題必須找出求解所有未知約束反力所缺少的補(bǔ)充方程。結(jié)構(gòu)變形后各部分間必須象原來(lái)一樣完整、連續(xù)、滿(mǎn)足約束條件----即滿(mǎn)足變形相容條件（變形協(xié)調(diào)條件）。關(guān)鍵：變形協(xié)調(diào)條件注意：力與變形一致例14：圖示結(jié)構(gòu)1、2桿抗拉剛度為解:

1、畫(huà)A結(jié)點(diǎn)受力圖，建立平衡方程F未知力個(gè)數(shù)3個(gè)，平衡方程數(shù)2個(gè)，故為一次超靜定。①A123Axy在F力作用下，求各桿內(nèi)力。FFN1FN2FN3FA2133、代入物理關(guān)系，建立補(bǔ)充方程②③2、如圖三桿鉸結(jié)，畫(huà)A結(jié)點(diǎn)位移圖,列出變形相容條件。要注意所設(shè)的變形性質(zhì)必須和受力分析中設(shè)定的力的性質(zhì)一致。由對(duì)稱(chēng)性知4、聯(lián)立