第四講 符號運算

第四講符號運算4.1符號對象的創(chuàng)建和使用4.2符號對象的運算4.3符號表達式的變換4.4符號微積分、極限和級數4.5符號積分變換4.6符號方程的求解4.7符號函數的可視化符號運算的對象是非數值的符號對象，對于像公式推導和因式分解等抽象的運算都可以通過符號運算來解決。MATLAB2006b對應的是SymbolicMathToolbox3.1.5。符號工具箱能夠實現微積分運算、線性代數、表達式的化簡、求解代數方程和微分方程、不同精度轉換和積分變換，符號計算的結果可以以圖形化顯示，MATLAB的符號運算功能十分完整和方便。符號運算的特點：（1）符號運算以推理解析的方式進行，計算的結果不受計算累積誤差影響；（2）符號計算可以得出完全正確的封閉解和任意精度的數值解；（3）符號計算命令調用簡單；（4）符號計算所需要的時間較長。4.1符號對象的創(chuàng)建和使用創(chuàng)建符號對象都可以使用sym和syms函數來實現。1.sym函數S=sym(s,參數) %由數值創(chuàng)建符號對象S=sym(‘s’,參數)%由字符串創(chuàng)建符號對象當被轉換的s是數值時，參數可以是'd'、'f'、'e'或'r'四種格式，當被轉換的's'是字符串時，參數可以是'real'、'unreal'和'positive'三種格式2.syms函數syms(s1,s2,s3,…,參數) 或 symss1,s2,s3,…,參數%創(chuàng)建多個符號變量syms與sym的關系是：syms(s1,s2,s3,…,參數)等同于s1=sym('s1',參數)，s2=sym('s2',參數)……3.class函數s=class(x) %返回對象x的數據類型4.1.2符號常量和符號變量符號常量是不含變量的符號表達式，用sym函數來創(chuàng)建；符號變量使用sym和syms函數來創(chuàng)建。例如：>>a1=sym(sin(2)) %用數值創(chuàng)建符號常量>>a2=sym(sin(2),'f') %用十六進制浮點表示>>a1=sym('a','unreal')%用字符串創(chuàng)建符號變量練習4.1.3符號表達式符號表達式是由符號常量和符號變量等構成的表達式，使用sym和syms函數來創(chuàng)建。例4-3

分別使用sym和syms函數創(chuàng)建符號表達式。>>symsabcx>>f1=a*x^2+b*x+cf1=a*x^2+b*x+c>>f2=sym('y^2+y+1') %創(chuàng)建符號表達式f2=y^2+y+1>>f3=sym('sin(z)^2+cos(z)^2=1')%創(chuàng)建符號方程f3=sin(z)^2+cos(z)^2=14.1.4符號矩陣符號矩陣的元素是符號對象，符號矩陣可以用sym和syms函數來創(chuàng)建。>>A=sym('[a,b;c,d]')A=[a,b][c,d]4.2符號對象的運算

4.2.1符號對象的基本運算1.算術運算（1）“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”（2）“.*”，“./”，“.\”，“.^”（3）“′”，“.′”2.關系運算只有運算符“==”、“~=”分別對符號對象進行“相等”、“不等”的比較。3.三角函數、雙曲函數和相應的反函數三角函數包括sin、cos和tan，雙曲函數包括sinh、cosh和tanh4.指數和對數函數5.復數函數6.矩陣代數命令例：>>A=sym('[a,b;c,d]');>>B=sym('[12;34]');>>C=A+BC=[a+1,b+2][c+3,d+4]練習4.2.2任意精度的算術運算1.符號工具箱的算術運算方式（1）數值型（2）有理數型（3）VPA型2.不同類型對象的轉換（1）獲得VPA型對象digits(n) %設定n位有效位數的精度S=vpa(s,n) %將s按n位有效位數計算得出符號對象S例：>>digits %顯示默認精度Digits=32>>q=sym('sqrt(2)')q=sqrt(2)>>q=vpa(q) %按默認精度計算并顯示q=1.4142135623730950488016887242097（2）獲得數值型對象

n=double(s) %將符號對象s轉換為雙精度數值對象n（3）不同類型對象轉換關系4.3符號表達式的變換

4.3.1符號表達式中的自由符號變量1.自由符號變量的確定以下原則來選擇一個自由符號變量：符號表達式中的多個符號變量，按以下順序來選擇自由符號變量：首先選擇x，如果沒有x，則選擇在字母表順序中最接近x的字符變量，如果字母與x的距離相同，則在x后面的優(yōu)先；字母pi、i和j不能作為自由符號變量；大寫字母比所有的小寫字母都靠后。2.findsym函數findsym(S,n) %確定符號對象S中的n個自由符號變量練習4.3.2符號表達式的化簡多項式的符號表達式有多種形式，例如，f(x)=x3+6x2+11x-6可以表示為：合并同類項形式：f(x)=x3+6x2+11x-6

因式分解形式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

嵌套形式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6

1.collect函數collect函數用來將符號表達式中同類項合并：S=collect(s,符號變量) %將s中符號變量的同次冪合并2.expand函數expand函數將符號表達式中的各項進行展開，展開成多項式和的形式，多用于多項式、三角函數、指數函數和對數函數的展開。>>symsxt>>f1=(x-1)*(x-2)*(x-3);>>g1=collect(f1) %按x合并同類項g1=-6+x^3-6*x^2+11*x>>g1=expand(f1) %多項式展開g1=-6+x^3-6*x^2+11*x3.horner函數horner函數將符號表達式化簡成嵌套的形式。4.factor函數factor函數將符號多項式進行因式分解，將多項式分解成低階多項式相乘，如果不能分解則返回原來的符號多項式。>>symsxt>>f1=x^3-6*x^2+11*x-6;>>g1=horner(f1) %轉換為嵌套形式g1=-6+(11+(-6+x)*x)*x>>g12=factor(f1)g12=(x-1)*(x-2)*(x-3)5.pretty函數pretty函數將符號表達式給出排版形式的輸出結果。練習6.simplify函數simplify函數是一個功能強大的函數，利用各種形式的代數恒等式對符號表達式進行化簡，包括求和、分解、積分、冪、三角、指數、對數、Bessel以及超越函數等方法來簡化表達式。7.simple函數找出字符最少的簡化表達式，simple函數適用于三角函數化簡。例：>>symsxy>>f2=cos(x)^2+sin(x)^2;>>g2=simplify(f2)g2=1>>simple(f)4.3.4計算反函數和復合函數1.反函數函數f(x)存在一個反函數g(.)，g(f(x))=x，則g和f互為反函數g=finverse(f,v)%對f(v)按指定自變量v求反函數例：>>symsxy>>f=5*sin(x)+y;>>g1=finverse(f,'y') %對y求反函數g1=-5*sin(x)+y2.復合函數MATLAB7.3提供了compose函數可以求出f(x)和g(y)的復合函數f(g(y))。compose(f,g,x,y,z) %計算f和g的復合函數例：>>symsxytvn>>f=x+y;>>g=t*v;>>y1=compose(f,g) %以x為符號變量求復合函數y1=t*v+y>>y4=compose(f,g,y,t,'n')%以n代替t求復合函數f(g(n))y4=x+n*v4.3.5多項式符號表達式1.多項式符號表達式的通分[N,D]=numden(s)%提取多項式符號表達式s的分子和分母2.符號表達式與多項式的互換c=sym2poly(s)%將符號表達式s轉換為行向量cr=poly2sym(c,v)%將行向量c轉換為符號表達式r例：>>f1=sym('1/(x-1)+1/(x+1)+3');>>[N1,D1]=numden(f1)N1=2*x+3*x^2-34.4.1符號表達式的微積分1.微分diff(f,t,n)%計算f對符號變量t的n階微分例4-18

計算符號表達式f=sin(ax)+y2cos(x)的微分。>>symsaxy>>f=sin(a*x)+y^2*cos(x);>>dfdx=diff(f) %對默認自由變量x求一階微分dfdx=cos(a*x)*a-y^2*sin(x)>>dfdy2=diff(f,y,2) %對符號變量y求二階微分dfdy2=2*cos(x)2.積分int(f,t,a,b) %計算符號變量t的積分說明：f為符號表達式；t為積分符號變量，可以省略，當t省略時則指默認自由符號變量；a和b是為積分上下限[ab]，可以省略，省略時計算的是不定積分。例：>>symsarphi>>g=r^2*(sin(phi))^2;>>f=int(int(g,r,0,a),phi,0,2*pi)f=2*sin(a*x)*a*pi+2*y^2*cos(x)*a*pi練習4.4.2符號表達式的極限極限：limt(f,x,a)例4-22

使用limit函數計算符號表達式的極限，和>>symst>>f1=exp(-t)*sin(t);>>ess=limit(f1,t,inf) %計算趨向無窮大的極限ess=0>>limitf2_l=limit(f2,'t','0','left') %計算趨向0的左極限limitf2_l=-Inf>>limitf2_r=limit(f2,'t','0','right') %計算趨向0的右極限limitf2_r=Inf>>limitf2=limit(f2) %計算趨向0的極限limitf2=NaN左右極限不相等，極限不存在表示為NaN

4.4.3符號表達式的級數1.級數求和symsum(s,x,a,b) %計算表達式s當x從a到b的級數和2.taylor級數taylor(f,x,n,x0) %求泰勒級數以符號變量x在x0點展開n項4.5符號積分變換

4.5.1Fourier變換F＝fourier(f,t,w)%求以t為符號變量f的fourier變換Ff=ifourier(F,w,t)%求以w為符號變量的F的fourier反變換f例4-25

使用fourier和ifourier函數對符號表達式sin(x)進行積分變換。>>symsx>>f1=sin(x);>>ff1=fourier(f1) %fourier變換ff1=i*pi*(-dirac(w-1)+dirac(w+1))>>if1=ifourier(ff1) %fourier反變換if1=sin(x)4.5.2Laplace變換F=laplace(f,t,s)%求以t為變量f的Laplace變換Ff＝ilaplace(F,s,t)%求以s為變量的F的Laplace反變換f例：>>symstws>>f2=t;>>lf1=laplace(heaviside(t)) %對單位階躍函數求laplace變換lf1=1/s4.5.3Z變換F=ztrans(f,n,z) %求以n為變量的f的Z變換Ff＝iztrans(F,z,n)%求以z為變量的F的z反變換f例：>>symsknzt>>zf1=ztrans(heaviside(t),n,z)%對單位階躍函數求Z變換zf1=heaviside(t)*z/(z-1)4.6符號方程的求解

4.6.1代數方程的求解一般的代數方程包括線性方程、非線性方程和超越方程。當方程不存在解析解又無其他自由參數時，MATLAB提供了solve函數得出方程的數值解。solve('eqn','v')%求方程關于指定變量v的解solve(‘eqn1’,‘eqn2’,…‘v1’,‘v2’,…) %