《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 雙曲線課件

第四十一講雙曲線回歸課本1.雙曲線的定義平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1?F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.即(||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|).若常數(shù)等于|F1F2|,則軌跡是分別以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線.提示:若常數(shù)大于|F1F2|,則軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)3.雙曲線中的幾何量及其他問題(1)實(shí)軸|A1A2|=2a,虛軸|B1B2|=2b,焦距|F1F2|=2c,且滿足c2=a2+b2.(2)離心率:(3)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦半徑:|PF1|=ex0+a(x0>0),|PF2|=ex0-a(x0>0);或|PF1|=-ex0-a(x0<0),|PF2|=-ex0+a(x0<0).考點(diǎn)陪練1.動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F1(1,0)的距離比到定點(diǎn)F2(3,0)的距離小2,則點(diǎn)P的軌跡是()A.雙曲線 B.雙曲線的一支C.一條射線 D.兩條射線解析:因|PF2|=|PF1|-2=|F1F2|,則點(diǎn)P的軌跡是以F1為端點(diǎn)的一條射線.故選C.答案:C評(píng)析:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值,即||PF1|-|PF2||=2a時(shí),要注意兩點(diǎn):判斷2a與|F1F2|的大小關(guān)系,其大小關(guān)系決定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線還是射線.(1)當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1?F2為起點(diǎn)的射線;(2)當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1?F2為焦點(diǎn)的雙曲線;(3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),無(wú)滿足條件的動(dòng)點(diǎn).答案:B答案:B評(píng)析:遇到焦點(diǎn)三三角形問題題,要回歸定義義建立三角角形的三邊邊關(guān)系,然后一般運(yùn)運(yùn)用正余弦弦定理和三三角形的面面積公式即即可迎刃而而解.答案:D答案:A類型一雙雙曲線的的定義解題準(zhǔn)備:在雙曲線的的定義中要要注意雙曲曲線上的點(diǎn)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何何條件,即“到兩定定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差差的絕對(duì)值值為一常數(shù)數(shù),且該常數(shù)必必須小于兩兩定點(diǎn)的距距離”.若定義中的的“絕對(duì)值值”去掉,點(diǎn)的軌跡是是雙曲線的的一支.【典例1】已知?jiǎng)訄AM與圓C1:(x+4)2+y2=2外切,與圓C2:(x-4)2+y2=2內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心心M的軌跡方程程.[分析]利用兩圓內(nèi)內(nèi)?外切的充要要條件找出出M點(diǎn)滿足的幾幾何條件,結(jié)合雙曲線線定義求解解.[反思感悟]容易用錯(cuò)雙雙曲線的定定義將點(diǎn)M的軌跡誤以以為是整條條雙曲線從從而得出方方程后沒有有限制求曲線的的軌跡方方程時(shí),應(yīng)盡量地地利用幾幾何條件件探求軌軌跡的曲曲線類型型,從而再用用待定系系數(shù)法求求出軌跡跡的方程程,這樣可以以減少運(yùn)運(yùn)算量,提高解題題速度與與質(zhì)量.在運(yùn)用雙雙曲線定定義時(shí),應(yīng)特別注注意定義義中的條條件“差差的絕對(duì)對(duì)值”,弄清所求求軌跡是是整條雙雙曲線,還是雙曲曲線的一一支,若是一支支,是哪一支支,以確保軌軌跡的純純粹性和和完備性性.類型二求求雙曲曲線的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程程注意:在雙曲線線的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程中中,若x2的系數(shù)是是正的,那么焦點(diǎn)點(diǎn)在x軸上;如果y2的系數(shù)是是正的,那么焦點(diǎn)點(diǎn)在y軸上,且對(duì)于雙雙曲線,a不一定大大于b.[分析]利用待定定系數(shù)法法?雙曲線定定義或雙雙曲線系系等知識(shí)識(shí)求雙曲曲線標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程.[反思感悟悟]對(duì)焦點(diǎn)位位置判斷斷不準(zhǔn)或或忽略對(duì)對(duì)雙曲線線焦點(diǎn)所所在坐標(biāo)標(biāo)軸的討討論,是導(dǎo)致方方程出錯(cuò)錯(cuò)的主要要原因.利用待定定系數(shù)法法求雙曲曲線的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程程,是最重要要的方法法之一,但要注意意對(duì)焦點(diǎn)點(diǎn)所在坐坐標(biāo)軸的的判斷或或討論;利用共漸漸近線的的雙曲線線方程求求其標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程,往往可以以簡(jiǎn)化運(yùn)運(yùn)算,但也應(yīng)注注意對(duì)焦焦點(diǎn)所在在坐標(biāo)軸軸的討論論.類型三雙雙曲線線的幾何何性質(zhì)解題準(zhǔn)備備:雙曲線的的幾何性性質(zhì)的實(shí)實(shí)質(zhì)是圍圍繞雙曲曲線中的的“六點(diǎn)點(diǎn)”(兩個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)?兩個(gè)頂點(diǎn)點(diǎn)?兩個(gè)虛軸軸的端點(diǎn)點(diǎn)),“四線”(兩條對(duì)稱稱軸?兩條漸近近線),“兩形”(中心?焦點(diǎn)以及及虛軸端端點(diǎn)構(gòu)成成的三角角形,雙曲線上上一點(diǎn)和和兩焦點(diǎn)點(diǎn)構(gòu)成的的三角形形),研究它們們之間的的相互聯(lián)聯(lián)系.明確a?b??c?e的幾何意意義及它它們的相相互關(guān)系系,簡(jiǎn)化解題題過程.類型四直直線與與雙曲線線的位置置關(guān)系解題準(zhǔn)備備:與直線和和圓錐曲曲線的位位置關(guān)系系有關(guān)的的參數(shù)范范圍問題題,常采用解解方程組組的思想想方法,轉(zhuǎn)化為判判別式進(jìn)進(jìn)行;與弦長(zhǎng)有有關(guān)的問問題,常常利用用韋達(dá)定定理,以整體代代入的方方法求解解,這樣可以以避免求求交點(diǎn),使運(yùn)算過過程得到到簡(jiǎn)化.[反思感悟悟]在圓錐曲曲線中經(jīng)經(jīng)常遇到到求范圍圍問題,這類問題題在題目目中往往往沒有給給出不等等關(guān)系,需要我們們?nèi)ふ艺?對(duì)于圓錐錐曲線的的參數(shù)的的取值范范圍問題題或最值值問題,解法通常常有兩種種:當(dāng)題目的的條件和和結(jié)論能能明顯體體現(xiàn)幾何何特征及及意義時(shí)時(shí),可考慮利用數(shù)數(shù)形結(jié)合法求求解或構(gòu)造參參數(shù)滿足的不不等式(如雙曲線的范范圍,直線與圓錐曲曲線相交時(shí)Δ>0等),通過解不等式式(組)求得參數(shù)的取取值范圍;當(dāng)題目的條件件和結(jié)論能體體現(xiàn)一種明確確的函數(shù)關(guān)系系時(shí),則可先建立目目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求求解函數(shù)的值值域.錯(cuò)源一理理解性質(zhì)質(zhì)不透徹[剖析]錯(cuò)解中沒有討討論∠POQ的大小,認(rèn)為它就是兩兩條漸近線的的夾角,因而產(chǎn)生錯(cuò)誤誤.兩條相交直線線的夾角是指指兩條直線相相交時(shí)構(gòu)成的的四個(gè)角中不不大于直角的的角,因此兩條直線線的夾角不能能大于直角.錯(cuò)源二忽視視雙曲線的特特殊性,誤用一些充要要條件【典例2】已知雙曲線x2-y2=1和點(diǎn)P(2,2),設(shè)直線l過點(diǎn)P且與雙曲線只只有一個(gè)公共共點(diǎn),求直線l的方程.[錯(cuò)解]設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)+2,代入雙曲線方方程x2-y2=1,整理得:(1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*)方程(*)的判別式Δ=12k2-32k+20.[剖析]錯(cuò)解中誤以為為判別式Δ=0是直線與雙曲曲線有一個(gè)公公共點(diǎn)的充要要條件.事實(shí)上,命題成立的充充要條件是方方程(*)有且僅有一個(gè)個(gè)根.故應(yīng)分類討論論.[正解]設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)+2,代入雙曲線x2-y2=1,整理得:(1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*)當(dāng)1-k2=0時(shí),斜率k=1或k=-1.而當(dāng)k=1時(shí),方程(*)不成立;當(dāng)k=-1時(shí),直線l的方程為x+y-4=0.當(dāng)1-k2≠0時(shí),由前面錯(cuò)解得得直線l的方程為5x-3y-4=0.故所求直線l的方程為:x+y-4=0或5x-3y-4=0.錯(cuò)源三 錯(cuò)用用雙曲線的第第一定義【典例3】已知定圓F1:x2+y2+10x+24=0,F2:x2+y2-10x+9=0,動(dòng)圓M與定圓F1,F2都外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.[錯(cuò)解]圓F1:(x+5)2+y2=1,所以圓心為F1(-5,0),半徑r1=1,圓F2:(x-5)2+y2=42,所以圓心為F2(5,0),半徑r2=4.[剖析]實(shí)際上本題的的軌跡應(yīng)該是是雙曲線的一一支,而非整條雙曲曲線,上述解法忽視視了雙曲線定定義中的關(guān)鍵鍵詞“絕對(duì)值”.正確的解答如如下.[正解]由|MF2|-|MF1|=3,可得|MF2|>|MF1|,即點(diǎn)M到F2(5,0)的距離大于點(diǎn)點(diǎn)M到F1(-5,0)的距離,所以點(diǎn)M的軌跡應(yīng)該是是雙曲線的左左支,故雙曲線方程程為錯(cuò)源四 錯(cuò)用用雙曲線的第第二定義【典例4】一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)到定定直線線x=3的距離離是它它到定定點(diǎn)F(4,0)的距離離的求求這個(gè)個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的軌軌跡方方程.[錯(cuò)解]由題意意,動(dòng)點(diǎn)到到定點(diǎn)點(diǎn)的距距離與與它到到定直直線的的距離離之比比為2,所以動(dòng)動(dòng)點(diǎn)的的軌跡跡是雙雙曲線線.又F(4,0),所以c=4,又準(zhǔn)線線x=3,所以所所以a2=12,b2=4,所以雙雙曲線線方程程為技法一一雙雙曲線線中點(diǎn)點(diǎn)弦存存在性性的探探討求過定定點(diǎn)的的雙曲曲線的的中點(diǎn)點(diǎn)弦問問題,通常有有下面面兩種種方法法:(1)點(diǎn)差法法,即設(shè)出出弦的的兩端端點(diǎn)的的坐標(biāo)標(biāo)代入入雙曲曲線方方程后后相減減,得到弦弦中點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)與弦弦所在在直線線斜率率的關(guān)關(guān)系,從而求求出直直線方方程.(2)聯(lián)立法