《切線長定理》設(shè)計(jì)

《切線長定理》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)：1．了解切線長的定義，掌握切線長定理，并利用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；在運(yùn)用切線長定理的解題過程中，進(jìn)一步滲透方程的思想，熟悉用代數(shù)的方法解幾何題。2．經(jīng)歷畫圖、度量、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，培養(yǎng)學(xué)生有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)的能力。3．初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。在解題中形成解決問題的基本策略，體驗(yàn)問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神。4．了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。教學(xué)重點(diǎn)：理解切線長定理教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用切線長定理解決問題課時(shí)安排：1課時(shí)教學(xué)過程：教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生相互交往設(shè)計(jì)意圖一、激發(fā)情趣導(dǎo)入新課悠悠球，這是大家非常喜愛的一種玩具。（教師演示一次）可是，大家在玩悠悠球時(shí)是否想到過它的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中還包含著數(shù)學(xué)知識(shí)呢？是什么知識(shí)呢？我們來看一下它的構(gòu)造。（拆開球，出示球的剖面）這是悠悠球在轉(zhuǎn)動(dòng)的一瞬間的剖面，從中你能抽象出什么樣的數(shù)學(xué)圖形？（球的整體和中心軸可分別抽象成圓形，被拉直的線繩可抽象成線段。）這些圖形位置關(guān)系怎樣？（兩圓為同心圓，線段所在直線和小圓相切）[在這兩問中，如果學(xué)生想不到球的整體時(shí)，這個(gè)圓可以不提]線段的兩個(gè)端點(diǎn)和小圓的位置關(guān)系怎樣？（一個(gè)是切點(diǎn)在小圓上，一個(gè)在小圓外）我們可以看出，球與手的距離就決定于這條線段的長度。在幾何中，我們把滿足上述特征的線段的長叫做點(diǎn)到圓的切線長，這節(jié)課我們就來研究切線長的有關(guān)知識(shí)。教師出示同學(xué)們熟悉并且喜愛的玩具之后連續(xù)幾問轉(zhuǎn)入正題。帶著強(qiáng)烈的好奇心思考老師提出的問題。此時(shí)教師又引導(dǎo)學(xué)生說出線段的特征，不失時(shí)機(jī)地引入新課，板書課題。吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的求知欲，同時(shí)也使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛存在于日常生活之中。二、合乎情理探索發(fā)現(xiàn)（一）切線長定義（自學(xué)3分鐘，討論意義）1定義：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的切線上，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長.2、剖析定義：（1）找出中心詞，把定義進(jìn)行縮句。（線段的長叫做切線長）（2）定義中的“線段”具有什么特征？=1\*GB3①在圓的切線上；=2\*GB3②兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是切點(diǎn)，一個(gè)是圓外已知點(diǎn)。3、在圖形中辨別：（1）已知：如圖1，PC和⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P到⊙O的切線長可以用哪一條線段的長來表示？（線段PA）C圖1圖2（2）已知：如圖2，PA和PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P到⊙O的切線長可以用哪一條線段的長來表示？（線段PA或線段PB）（3）如圖2，思考：點(diǎn)P到⊙O的切線長可以用三條或三條以上不同的線段的長來表示嗎？這樣的線段最多可以有幾條？為什么？（4）既然點(diǎn)P到⊙O的切線長可以用兩條不同的線段的長來表示，那么這兩條線段之間一定存在著某種關(guān)系，是什么關(guān)系呢？我們來探索一下，出示探索問題1，從而進(jìn)入定理教學(xué)。教師在板書定義之后，通過對(duì)話交往，引導(dǎo)學(xué)生把對(duì)概念的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，然后在圖形中進(jìn)行識(shí)別，從而認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)特征，理解概念的外延。在對(duì)話中，教師以民主的精神、平等的作風(fēng)、寬容的態(tài)度、真摯的愛心和悅納的情懷對(duì)待學(xué)生，在相互傾聽、接受和共享中獲得知識(shí)，使教學(xué)相長。此處通過學(xué)生思考得出結(jié)論，再次加深學(xué)生對(duì)概念的理解，也使學(xué)生了解切線長與切線的關(guān)系，同時(shí)由這個(gè)結(jié)論教師適時(shí)引出探索問題1使學(xué)生了解切線長的定義，并能在具體的圖形中把它們識(shí)別出來。培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、語言表達(dá)能力。教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生相互交往設(shè)計(jì)意圖二、合乎情理探索發(fā)現(xiàn)（二）切線長定理：（獨(dú)立自學(xué)5分鐘師友討論互助5分鐘提出共性問題）1、探索問題1：從⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，那么線段PA和PB之間有何關(guān)系？探索步驟：（1）根據(jù)條件畫出圖形；（2）度量線段PA和PB的長度；（3）猜想：線段PA和PB之間的關(guān)系；（4）尋找證明猜想的途徑；（5）在圖3中還能得出哪些結(jié)論？并把它們歸類。（6）上述各結(jié)論中，你想把哪個(gè)結(jié)論作為切線長的性質(zhì)？請(qǐng)說明理由。由（5）得：線段相等：PA=PB；OA=OB；角相等：∠APO=∠BPO；∠AOP=∠BOP；垂直關(guān)系：OA⊥PA；圖3OB⊥PB；三角形全等：△OAP≌△OBP.2、得出定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.3、剖析定理：（學(xué)生代表講解）（1）、指出定理的題設(shè)和結(jié)論；（2）用符號(hào)語言表示定理：∵PA、PB分別是⊙O的切線，點(diǎn)A、B分別為切點(diǎn)，（PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B）∴PA=PB，∠APO=∠BPO.定理教學(xué)的方式是學(xué)生自主探索，相互交流相結(jié)合。首先出示探索步驟的前三個(gè)，等學(xué)生猜想出結(jié)論后，再明確僅憑觀察、度量、猜想并不能說明結(jié)論的正確性，還需證明結(jié)論的正確性，同時(shí)激勵(lì)學(xué)生尋找證明猜想的途徑。之后，再讓學(xué)生探索更多的結(jié)論，并由（6）得出定理。定理的剖析以對(duì)話形式進(jìn)行。在整個(gè)過程中，教師相應(yīng)地進(jìn)行板書。隨著一環(huán)緊扣一環(huán)的探索問題的深入，學(xué)生通過自主地發(fā)現(xiàn)問題、信息搜集與處理、表達(dá)與交流等探索活動(dòng)，獲得知識(shí)、技能，并獲得積極的、深層次的體驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生探究能力的發(fā)展。三、創(chuàng)設(shè)情境鞏固應(yīng)用1、填空：如圖3，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，（1）若PB=12，PO=13，則AO=＿＿＿.（2）若PO=10，AO=6，則PB=＿＿＿；（3）若PA=4，AO=3，則PO=＿＿＿；PD=＿＿；2、已知如圖4，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，PO與⊙O相交于點(diǎn)D，且PA=4cm,PD=2cm.求半徑OA的長.小結(jié)：圖42題與1題不同，不能用算術(shù)方法直接得出答案，需要設(shè)未知數(shù)列方程來解決，這是用代數(shù)的方法來解決幾何題。（滲透方程思想）口答筆答會(huì)利用定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，在2題中，進(jìn)一步滲透方程思想，熟悉用代數(shù)的方法解決幾何題。教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生相互交往設(shè)計(jì)意圖三、創(chuàng)設(shè)情境鞏固應(yīng)用3、解決實(shí)際問題：在我們?nèi)粘Ｉ钪杏泻芏辔矬w呈圓形，例如花盆邊沿、水杯口等，有時(shí)我們需要知道圓形物體的半徑，那么利用本節(jié)所學(xué)的切線長定理，如何解決這個(gè)問題呢？小制作：名稱：圓的半徑測(cè)量儀材料：兩把刻度尺用途：測(cè)量水杯口的半徑過程：（1）出示問題，學(xué)生嘗試；（2）遇到困難，設(shè)法解決；（3）設(shè)計(jì)方案，說明道理；（4）完成制作，實(shí)物測(cè)量。教師出示問題，學(xué)生嘗試，在嘗試中遇到困難，師生共同設(shè)法解決。在設(shè)計(jì)時(shí)，尋求多種方案，并說明方案的合理性，比較方案的簡潔性，最后由學(xué)生完成制作，并進(jìn)行實(shí)物測(cè)量。運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。真正做到“以參與求體驗(yàn)，以創(chuàng)新求發(fā)展”。四、順應(yīng)情勢(shì)歸納總結(jié)1、探索問題2：連結(jié)圖3中的兩個(gè)切點(diǎn)AB交OP于點(diǎn)C，又能得出什么結(jié)論？并把它們分類。2、通過本節(jié)課的實(shí)踐、探索、交流，你有哪些收獲？這節(jié)課我們所探索的有關(guān)切線長的知識(shí)是在給出圓的兩條切線的情況下得出的，那么要是圓的三條切線兩兩相交，又會(huì)有什么樣的結(jié)論呢？如果有四條切線呢？這些問題有待于我們課后去研究，請(qǐng)看課外作業(yè)。學(xué)生探索問題2，得出結(jié)論后進(jìn)而進(jìn)行歸納總結(jié)。教師給與適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)之后，把知識(shí)進(jìn)行引申，出示探索問題3和4，留為作業(yè)。培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力，把知識(shí)納入系統(tǒng)，便于學(xué)生存儲(chǔ)、提取和應(yīng)用。使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價(jià)值。五、心甘情愿課外作業(yè)1、探索問題3：已知：如圖5，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，（1）圖中共有幾對(duì)相等線段？（2）若AD=4，BC=5，CF=6，則△ABC的周長是＿＿；（3）若AB=4，BC=5，AC=