【名師導(dǎo)學(xué)】高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習 7.46 類和分步計數(shù)原理與排列、組合的基本問題課件 理

第七章計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計第46講分類和分步計數(shù)原理與排列、組合的基本問題【學(xué)習目標】1．理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．2．理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；能解決簡單的實際問題．【基礎(chǔ)檢測】1．現(xiàn)有4名同學(xué)去聽同時進行的3個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同選法有()

A．81種B．64種C．48種D．24種A【解析】每個同學(xué)都有3種選擇，所以不同選法共有34＝81(種)，故選A.2．如圖所示為一電路圖，從A到B不同的線路可通電共有()A．4條B．6條C．8條D．10條C【解析】∵按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×2＝4條，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋1＋4＝8(條)．故選C.3．若從1，2，3，…，9這9個數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則不同的取法共有()A．66種B．63種C．61種D．60種D【解析】從1，2，3，…，9這9個數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的取法分為兩類：第一類取1個奇數(shù)，3個偶數(shù)，共有C51C43＝20種取法；第二類是取3個奇數(shù)，1個偶數(shù)，共有C53C41＝40種取法．故不同的取法共有60種，選D.4．有5名男生和3名女生，從中選出5人分別擔任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的課代表，若某女生必須擔任語文課代表，則不同的選法共有____種．(用數(shù)字作答)840【解析】由題意知，從剩余7人中選出4人擔任4個學(xué)科課代表，共有A74＝840種．①②③④

【知識要點】1．分類加法計數(shù)原理完成一件事件有n____不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N＝

種不同的方法．類m1＋m2＋m3＋…＋mn2．分步乘法法計數(shù)原理理完成一件事事情需要分分成n個不同的，完成第一一步有m1種不同的方方法，完成成第二步有有m2種不同的方方法，…，完成第n步有mn種不同的方方法，那么么完成這件件事情共有有N＝種不同的方方法．步驟m1·m2·…·mn3．分類加法法計數(shù)原理理與分步乘乘法計數(shù)原原理的區(qū)別別與聯(lián)系分類加法計計數(shù)原理與與分步乘法法計數(shù)原理理，都涉及及的不同方法法的種數(shù)，，它們的區(qū)區(qū)別在于：：分類加法法計數(shù)原理理與有關(guān)，各種種方法，用其中的的任一種方方法都可以以完成這件件事；分步步乘法計數(shù)數(shù)原理與有關(guān)，各個個步驟_，只有各個個步驟都完完成了，這這件事才算算完成．完成一件事事情分類相互獨立分步相互依存4．排列(1)排列的定義義：從n個不同的元元素中任取取m(m≤n)個元素，，叫做從n個不同的元元素中取出出m個元素的一一個排列．．(2)排列數(shù)的定定義：從n個不同的元元素中任取取m(m≤n)個元素的的個數(shù)，叫叫做從n個不同的元元素中取出出m個元素的排排列數(shù)，用用符號Anm表示．(3)排列數(shù)公式式：Anm＝，這里n，m∈N*，并且m≤n.按照一定的的順序排成成一列所有排列n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)一個排列n！1并成一組所有組合1Cnn－mCnmCnm－151228【點評】理解排列數(shù)數(shù)和組合數(shù)數(shù)的意義，，靈活應(yīng)用用組合數(shù)的的性質(zhì)是解解決有關(guān)排排列數(shù)和組組合數(shù)方程程或恒等式式問題的關(guān)關(guān)鍵．C【解析】可分三步：：第一步，，填A(yù)、B方格的數(shù)字字，填入A方格的數(shù)字字大于B方格中的數(shù)數(shù)字有6種方式(若方格A填入2，則方格B只能填入1；若方格A填入3，則方格B只能填入1或2；若方格A填入4，則方格B只能填入1或2或3)；第二步，，填方格C的數(shù)字，有有4種不同的填填法；第三三步，填方方格D的數(shù)字，有有4種不同的填填法．由分分步計數(shù)原原理得，不不同的填法法總數(shù)為6×4×4＝96.(2)某出版社的的7名工人中，，有3人只會排版版，2人只會印刷刷，還有2人既會排版版又會印刷刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有有幾種不同同的安排方方法．【解析】第一類：既既會排版又又會印刷的的2人全不被選選出，即從從只會排版版的3人中選2人，有3種選法；只只會印刷的的2人全被選出出，有1種選法，由由分步計數(shù)數(shù)原理知共共有3×1＝3種選法．第二類：既既會排版又又會印刷的的2人中被選出出1人，有2種選法．若若此人去排排版，則再再從會排版版的3人中選1人，有3種選法，只只會印刷的的2人全被選出出，有1種選法，由由分步計數(shù)數(shù)原理知共共有2×3×1＝6種選選法法；；若若此此人人去去印印刷刷，，則則再再從從會會印印刷刷的的2人中中選選1人，，有有2種選選法法，，從從會會排排版版的的3人中中選選2人，，有有3種選選法法，，由由分分步步計計數(shù)數(shù)原原理理知知共共有有2×3×2＝12種選選法法；；再再由由分分類類計計數(shù)數(shù)原原理理知知共共有有6＋12＝18種選選法法．．第三三類類：：既既會會排排版版又又會會印印刷刷的的2人全全被被選選出出，，同同理理共共有有16種選選法法．．所以以共共有有3＋18＋16＝37種選選法法．．【點評評】應(yīng)用用分分類類加加法法原原理理的的題題時時，，分分類類標標準準要要明明確確，，分分類類時時應(yīng)應(yīng)不不重重不不漏漏，，應(yīng)應(yīng)用用分分步步計計數(shù)數(shù)原原理理解解題題時時，，要要合合理理分分步步，，各各步步互互不不干干擾擾，，難難度度較較大大．．【解析析】(1)只需需一一名名隊隊長長參參加加有有C21C84＝140(種)．(2)隊長長至至少少有有一一人人參參加加，，有有兩兩種種情情況況：：①只有有一一名名隊隊長長參參加加有有C21C84種；；②兩名名隊隊長長都都參參加加有有C22C83種，，所以以共共有有C21C84＋C22C83＝196(種)．(3)解法法一一：：可分分類類考考慮慮，，即即①1男4女；；②2男3女；；③3男2女；；④4男1女，，故故有有：：C41C64＋C42C63＋C43C62＋C44C61＝246(種)．解法法二二：：間接接法法，，10人中中取取5人的的組組合合為為C105，其其中中全全部部是是女女演演員員的的有有C65，所所以以符符合合題題意意的的有有C105－C65＝252－6＝246(種)．【點評】問題實實質(zhì)是是具備備“無序性性”的組合合問題題．此此類問問題應(yīng)應(yīng)用組組合知知識求求解．．【解析】(1)利用元元素分分析法法，甲甲為特特殊元元素，，故先先安排排甲．．左、、右、、中共共三個個位置置可供供甲選選擇，，有A31種，其其余6人全排排列，，有A66種，由由乘法法原理理得A31A66＝2160種．(2)位置分分析法法，先先排最最左邊邊，除除去甲甲外，，有A61種，余余下的的6個位置置全排排有A66種，但但應(yīng)剔剔除乙乙在最最右邊邊的排排法數(shù)數(shù)A51A55種，則則符合合條件件的排排法共共有A61A66－A51A55＝3720種．(3)捆綁法法：將將男生生看成成一個個整體體，進進行全全排列列，再再與其其他元元素進進行全全排列列．共共有A33A55＝720種．(4)插空法法：先先排好好男生生，然然后將將女生生插入入其中中的四四個空空位，，共有有A33A44＝144種．(5)插空法法：先先排女女生，，然后后在空空位中中插入入男生生，共共有A44A53＝1440種．【點評】問題實實質(zhì)是是具備備“有序性性”的排列列問題題．有有序性性的檢檢驗方方法是是：將將其中中元素素互換換而結(jié)結(jié)果變變化為為有序序問題題，此此類問問題應(yīng)應(yīng)用排排列知知識求求解．．B【解析】分0個相同同，1個相同同，2個相同同進行行討論論：若若0個相同同，共共有1個，若若1個相同同，共共有C41＝4個，若若2個相同同，共共有C42＝6個，因因此共共有1＋4＋6＝11個，故故選B.【點評】本小題題主要要考查查分類類計數(shù)數(shù)原理理及分分類討討論思思想．．1．計數(shù)數(shù)重復(fù)復(fù)或遺遺漏的的原因因在于于分類類、分分步的的標準準不清清，一一般來來說，，應(yīng)檢檢查分分類是是否是是按元元素的的性質(zhì)質(zhì)進行行，分分步是是否是是按事事件發(fā)發(fā)生的的過程程進行行．2．排列列與組組合的的定義義相近近，它它們的的區(qū)別別在于于是否否與順順序有有關(guān)．．處理理排列列組合合問題題的一一般思思想是是先選選元素素(組合)，后排排列，，按元元素的的性質(zhì)質(zhì)“分類”和按事事件發(fā)發(fā)生的的連續(xù)續(xù)過程程“分步”，始終終是處處理排排列組組合問問題的的基本本方法法和原原理，，要注注意積積累分分類與與分步步的基基本技技能．．3．分清清問題題與元元素順順序有有關(guān)還還是無無關(guān)，，是區(qū)區(qū)分排排列組組合問問題的的原則則；搞搞清解解決問問題的的方法法需分分步還還是需需分類類，是是統(tǒng)計計排列列與組組合問問題總總數(shù)的的依據(jù)據(jù)．1．(2013福建)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)關(guān)于x的方程程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)數(shù)解的的有序序數(shù)對對(a，b)的個數(shù)數(shù)為()A．14B．13C．12D．10B【命題立立意】本題考考查分分類加加法計計數(shù)原原理，，屬中中檔題題．2．(2013四川)從1，3，5，7，9這五個個數(shù)中中，每每次取取出兩兩個不不同的的數(shù)分分別為為a，b，共可可得到到lga－lgb的不同同值的的個數(shù)數(shù)是()A．9B．10C．18D．20C【解析】從1，3，5，7，9中，每每次取取出兩兩個不不同的的數(shù)作作為a，b可以得得到不不同的的差式式lga－lgb共計A52＝20個，但但其中中l(wèi)g9－lg3＝lg3－lg1，lg3－lg9＝lg1－lg3，故不不同的的值只只有18個．【命題立立意】本題考考查排排列知知識，，考查查思維維的全全面性性，屬屬中檔檔題．．1．有四四名同同學(xué)同同時參參加了了學(xué)校校的100m，800m，1500m三項跑跑步比比賽，，則獲獲得冠冠軍(無并列列名次次)的可能能性有有()A．43種B．34種C．12種D．24種A【解析】第一步步，100m冠軍有有4種可能能；第第二步步，800m冠軍也也有4種可能能；第第三步步，1500m冠軍有有4種可能能，根根據(jù)分分步計計數(shù)原原理，，共有有4×4×4＝43種可能能．故故選A.2．從6名志愿愿者中中選出出4名分別別從事事翻譯譯、導(dǎo)導(dǎo)游、、導(dǎo)購購、保保潔四四項不不同的的工作作，則則不同同的選選派方方案有有()A．180種B．360種C．15種D．30種B【解析】A64＝6×5×4×3＝360.3．某校校開設(shè)設(shè)A類選修修課3門，B類選修修課4門，一一位同同學(xué)從從中共共選3門，若若要求求兩類類課程程中各各至少少選一一門，，則不不同選選法共共有()A．30種B．35種C．42種D．48種A【解析】從7門課程程中選選3門的總總數(shù)為為C73＝35種，其其中不不滿足足條件件的選選法數(shù)數(shù)為C33＋C43＝5種，所所以滿滿足題題目條條件的的選法法數(shù)為為35－5＝30種，故故選A.4．將字字母a，a，b，b，c，c排成三三行兩兩列，，要求求每行行的字字母互互不相相同，，每列列的字字母也也互不不相同同，則則不同同的排排列方方法共共有()A．12種B．18種C．24種D．36種A【解析】利用分分步乘乘法計計數(shù)原原理求求解．．先排第第一列列，因因為每每列的的字母母互不不相同同，因因此共共有A33種不同同的排排法．．再排第第二列列，其其中第第二列列第一一行的的字母母共有有A21種不同同的排排法，，第二二列第第二、、三行行的字字母只只有1種排法法．因此共共有A33·A21·1＝12(種)不同的的排列列方法法．5．兩人人進行行乒乓乓球比比賽，，先贏贏3局者獲獲勝，，決出出勝負負為止止，則則所有有可能能出現(xiàn)現(xiàn)的情情形(各人輸贏贏局次的的不同視視為不同同情形)共有()A．10種B．15種C．20種D．30種C【解析】利用分類類討論法法求解．．由題意知知比賽場場數(shù)至少少為3場，至多多為5場．當為3場時，情情況為甲甲或乙連連贏3場，共2種．當為4場時，若若甲贏，，則前3場中甲贏贏2場，最后后一場甲甲贏，共共有C32＝3種情況；；同理，，若乙贏贏也有3種情況．．共有6種情況．．當為5場時，前前4場甲、乙乙各贏2場，最后后1場勝出的的人贏，，共有2C42＝12種情況．．由上綜合合知，共共有20種情況．．6．在某跳跳水運動動員的一一項跳水水實驗中中，先后后要完成成5個不同的的動作，，其中動動作P只能出現(xiàn)現(xiàn)在第一一步或最最后一步步，動作作Q和R必須相鄰鄰，則動動作順序序的編排排方法共共有____種．24【解析】P動作的排排法有A21種，捆綁綁動作R，Q的排法有有A22種，R，Q與余下兩兩個動作作有A33種排法，，故共有有編排方方法N＝A21A22A33＝24種．7．2名男生和和3名女生共共5名同學(xué)站站成一排排，若男男生甲不不站兩端端，3名女生中中有且只只有兩名名女生相相鄰，則則不同排排法的種種數(shù)是____．48【解析】從3名女生中中任取2人“捆”在一起記記作A(A共有C32A22＝6種不同排排法)，剩下一一名女生生記作B，兩名男男生分別別記作甲甲、乙．．為使男男生