第三章統(tǒng)計(jì)案例1《回歸分析》課時(shí)2

3.1

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（第二課時(shí)）

1．通過典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用．

2．讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用，通過使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)，求相關(guān)指數(shù)，運(yùn)用相關(guān)指數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、處理的方法．

3．從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)的不足，激發(fā)好奇心，求知欲，通過尋求有效的數(shù)據(jù)處理方法，開拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和轉(zhuǎn)化能力，通過案例的分析使學(xué)生了解回歸分析在實(shí)際生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)取之生活，用于生活的意識(shí)，提高學(xué)習(xí)興趣．

本節(jié)課通過例題線性相關(guān)關(guān)系知識(shí)，通過實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)的不足，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決非線性回歸問題思想與方法，培養(yǎng)學(xué)生化歸數(shù)學(xué)思想。通過知識(shí)的整理，通過例題講解掌握解決非線性回歸問題。

本節(jié)內(nèi)容學(xué)生內(nèi)容不易掌握，通過知識(shí)整理與比較引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)分、理解。通過對(duì)典型案例的探究，練習(xí)進(jìn)行鞏固解決非線性回歸基本思想方法及初步應(yīng)用．建立回歸模型的基本步驟(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量．(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程)．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù)．(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．(6)參數(shù)R2與相關(guān)系數(shù)r提示:它們都是刻畫兩個(gè)變量之間的的相關(guān)關(guān)系的,區(qū)別是R2表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率,其表達(dá)式為R2=1-;相關(guān)系數(shù)r是檢驗(yàn)兩個(gè)變量相關(guān)性的強(qiáng)弱程度,其表達(dá)式為

（7）相關(guān)系數(shù)r與R2(1)R2是相關(guān)系數(shù)的平方,其變化范圍為[0,1],而相關(guān)系數(shù)的變化范圍為[-1,1].(2)相關(guān)系數(shù)可較好地反映變量的相關(guān)性及正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而R2反映了回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果.(3)當(dāng)|r|接近于1時(shí)說明兩變量的相關(guān)性較強(qiáng),當(dāng)|r|接近于0時(shí)說明兩變量的相關(guān)性較弱,而當(dāng)R2接近于1時(shí),說明線性回歸方程的擬合效果較好.例：一只紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集到的一組數(shù)據(jù)如下表1-3表，試建立y與x之間的回歸方程。畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系．（1）是否存在線性關(guān)系？（2）散點(diǎn)圖具有哪種函數(shù)特征？（3）以指數(shù)函數(shù)模型為例，如何設(shè)模型函數(shù)？非線性關(guān)系指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)cc21設(shè)指數(shù)函數(shù)曲線其中和是待定參數(shù)。ecyxc12=我們可以通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系()這樣就可以利用線性回歸模型來建立z與x回歸模型，進(jìn)而找到y(tǒng)與x的非線性回歸方程。*則變換后樣本點(diǎn)分布在直線的周圍。令)cb,clna(abxz21==+=ylnz=現(xiàn)在問題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定參數(shù)和？cc21非線性回歸模型(6)ey?0.272x-3.843(1)=另一方面,可以認(rèn)為圖11-4中樣本點(diǎn)集中在某二次曲線因此可以對(duì)溫度變量做變換,即令然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y(tǒng)與x之間的排線性回歸方程。,2xt=的附近,其中和為待定參數(shù).43cc423cxcy+=表1-5是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)應(yīng)的溫度的平方，圖1.1-6是相應(yīng)的散點(diǎn)圖.()()()(),b,xgy~a,xfy~21==和對(duì)于給定的樣本點(diǎn),兩個(gè)含有未知數(shù)的模型其中a和b都是未知參數(shù),可以按如下的步驟來比較它們的擬合效果.b?a?其中和分別是參數(shù)a、b的估計(jì)值（1）分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程()(),b?,xgy?2=()()a?,xfy?1=()()();y?yQ?n1i22ii2?=-=()Q?1()()y?yn1i21ii?=-=與（2）分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和()()()()()()()()()().b?,xgy?a?,xfy?,;b?,xgy?a?,xfy?,Q?Q?212121的好的效果不如反之的好的效果比則（3）若====<非線性回歸問題的處理方法(1)兩個(gè)變量不呈線性關(guān)系,不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系,可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型,如y=,我們可以通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系.令z=lny,則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周圍.(2)非線性回歸方程的求法①根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x,y)作出散點(diǎn)圖;②根據(jù)散點(diǎn)圖,選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù);③作恰當(dāng)?shù)淖儞Q,將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù),求線性回歸方程;④在③的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)的變換,即可得非線性回歸方程.(3)非線性相關(guān)問題中常見的幾種線性變換在實(shí)際問題中,常常要根據(jù)一批實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪出曲線,當(dāng)曲線類型不具備線性相關(guān)關(guān)系時(shí),可以根據(jù)散點(diǎn)分布的形狀與已知函數(shù)的圖象進(jìn)行比較,確定曲線的類型,再作變量替換,將曲線改為直線.下面是幾種容易通過變量替換轉(zhuǎn)化為直線的函數(shù)模型:①y=a+,令t=，則有y=a+bt；②y=axb，令z=lny，t=lnx，m=lna，則有z=m+bt；③y=aebx，令z=lny，m=lna,則有z=m+bt；④y=,令z=lny,t=，m=lna，則有z=m+bt；⑤y=a+blnx，令t=lnx，則有z=a+bt；⑥y=bx2+a,令t=x2，則有y=bt+a.例某種食品每公斤的生產(chǎn)成本y(元)與該食品生產(chǎn)的重量x(公斤)有關(guān)，經(jīng)生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下數(shù)據(jù)：x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15通過以上數(shù)據(jù)判斷該食品的成本y(元)與生產(chǎn)的重量x(公斤)的倒數(shù)1/x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若有，求出y關(guān)于1/x的回歸直線方程，并借此估計(jì)一下生產(chǎn)該食品500公斤時(shí)每公斤的生產(chǎn)成本是多少？(精確到0.01)

于是y與1x的回歸方程為y^＝8.973x＋1.125.

當(dāng)x＝500(公斤)時(shí)，y^＝8.973500＋1.125≈1.14.即估計(jì)生產(chǎn)該食品500公斤時(shí)每公斤的生