【創(chuàng)新設(shè)計】2011屆高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第8知識塊第4講 直線、圓的位置關(guān)系課件 文 新人教A版

【考綱下載】能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系； 能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．3．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.第4講直線、圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系(1)代數(shù)法（聯(lián)立直線與圓的方程消元后得到一元二次方程的判別式為）(2)幾何法：(圓心到直線的距離為d)【思考】

在判斷直線與圓相交時，除了上述兩種方法外，是否還有另外方法？答案：若給出的直線方程和圓的方程都帶有字母，利用上述兩種方法有時比較麻煩，這時只要說明直線過圓內(nèi)的定點即可．2．若直線(斜率為k)與圓相交，則直線被圓截得的弦長|AB|＝|x1－x2|＝

.其中x1，x2為兩交點的橫坐標．提示：在求過一定點的圓的切線方程時，應(yīng)首先判斷這點與圓的位置關(guān)系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應(yīng)有兩條；若點在圓內(nèi)，無切線．(2009·重慶)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(

)A．相切

B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心

D．相離解析：依題意得圓心(0,0)到直線y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距離等于＜1，且0≠0＋1，因此該直線與圓相交且不經(jīng)過圓心．答案：B1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(

)A．相離

B．相交

C．外切

D．內(nèi)切解析：圓O1的圓心為(1,0)，半徑r1＝1，圓O2的圓心為(0,2)，半徑r2＝2，故兩圓的圓心距|O1O2|＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故兩圓相交．答案：B2．(2009·陜西)過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為(

)A. B．2C.D．2解析：解法一：幾何方法，確定圓心坐標(0,2)和直線方程y＝x，作出草圖，數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，圓心在y軸，直徑為4，所求弦長過原點且與x軸所成的角為60°?弦長＝4cos30°＝2.3．解法二：代數(shù)方法，借助弦長公式，由題意得：得x1＝0，x2＝.所求弦長為：答案：D答案：A解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時，要注意運用數(shù)形結(jié)合思想，既要充分運用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運用直線方程中的基本數(shù)量關(guān)系．已知圓O：x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當b為何值時，圓與直線：(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)無公共點．思維點撥：采用幾何法與代數(shù)法均可．【例1】解：解法一：圓心O(0,0)到直線y＝x＋b的距離為d＝，圓的半徑r＝.(1)當d＜r，即－2＜b＜2時，直線與圓相交，有兩個公共點；(2)當d＝r，即b＝±2時，直線與圓相切，有一個公共點；(3)當d＞r，即b＞2或b＜－2時，直線與圓相離，無公共點．解法二：聯(lián)立兩個方程得方程組消去y得，2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.(1)當Δ＞0，即－2＜b＜2時，有兩個公共點；(2)當Δ＝0，即b＝±2時，有一個公共點；(3)當Δ＜0，即b＞2或b＜－2時，無公共點.判斷圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是用好圓心距與半徑的關(guān)系，并注意數(shù)形結(jié)合及圓的幾何性質(zhì)的靈活運用．求圓心在直線x＋y＝0上，且過兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交點的圓的方程．思維點撥：求出兩圓的交點坐標，利用圓心到兩交點的距離都等于半徑，求出圓心和半徑或設(shè)出過兩圓交點的圓系方程，再求系數(shù)．【例2】解：解法一：解方程組得交點坐標分別為(0,2)，(－4,0)，設(shè)圓心為(a，－a)，則解得a＝－3，r＝，因此所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝10.解法二：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y＝8λ＋24.因為這個圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴(2λ－2)＋(2λ＋10)＝0，∴λ＝－2，∴圓的方程為x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.求圓的切線方程一般有兩種方法：(1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.(2)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.以上兩種方法，一般來說幾何法較為簡潔，可作為首選．2．若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則過M點的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.1.已知點M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過M點的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值．思維點撥：利用幾何法求解，但注意直線斜率不存在時的情況．【例3】解：(1)圓心C(1,2)，半徑為r＝2，當直線的斜率不存在時，方程為x＝3.由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時，直線與圓相切．當直線的斜率存在時，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由題意知

，解得k＝.∴方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故過M點的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由題意有

＝2，解得a＝0或a＝.已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．解：(1)將圓C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，當直線在兩坐標軸上的截距為零時，設(shè)直線方程為y＝kx，由直線與圓相切得：y＝(2±)x；當直線在兩坐標軸上的截距不為零時，設(shè)直線方程為x＋y－a＝0，由直線與圓相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.變式3：(2)由|PM|＝|PO|得：

即2x1－4y1＋3＝0.即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上，當|PM|取最小值時，|OP|取得最小值，直線OP⊥l.∴直線OP的方程為：2x＋y＝0.解方程組

得點P的坐標為.圓的弦長的求法1．幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為L，則2＝r2－d2.2．代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而求得x1＋x2，x1x2，則弦長為|AB|＝

(k為直線斜率)．(2009·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．【例4】解：(1)由于直線x=4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為,圓C1的圓心到直線l的距離為d，因為直線l被圓C1截得的弦長為,由點到直線的距離公式得所以直線l的方程為y=0或7x+24y-28=0.已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直線l過P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；(2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程．變式4：解：如右圖所示，AB=4，D是AB的中點，CD⊥AB，AD=2，AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.設(shè)所求直線的斜率為

，則直線的方程為

，即kx－y＋5＝0.由點C到直線AB的距離公式k＝時，直線l的方程為3x－4y＋20＝0.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0.∴所求直線的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0.(2)設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)，(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化簡得所求軌跡方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.【方法規(guī)律】1．求切線時，若知道切點，則可直接利用公式；若過圓外一點求切線， 一般運用圓心到直線的距離等于半徑來求，但注意應(yīng)有兩條切線．2．求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦 垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運算．3．求圓外一點P到圓O上任意一點距離的最小值為|PO|－r， 最大值為|PO|＋r(其中r為圓O的半徑)．4．若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共 弦所在的直線方程．5．在解題過程中能適當利用圓系方程，有時可達到理想效果．圓系 是具有某些共同性質(zhì)的圓的集合.【高考真題】(2009·天津)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長為2，則a＝________.【規(guī)范解答】解析：兩個圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為y＝，則圓心(0,0)到直線的距離d＝，根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長之間的關(guān)系，可得

，又a＞0，解得a＝1.故填1.答案：1【探究與研究】本題給出兩個圓的公共弦長，說明第二個圓也是定圓，通過這樣的設(shè)計考查圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系的基本知識，考查考生分析問題、解決問題的能力，是一道知識考查與能力考查并重的試題．這類題目也是對教材題目的適當改造，如人教A版必修2習(xí)題4.2A組第9題“求圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的長”，本題設(shè)置了參數(shù)，問題實質(zhì)沒有變化．解決這類問題的一個基本方法就是求出兩個圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式解決．容易忽視限