函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別

河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院本科畢業(yè)論文 ——科文函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)班別：2009級(jí)1班姓名： 張慶明 指導(dǎo)教師： 左紅亮 2013年04月函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別摘要：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是函數(shù)級(jí)數(shù)概念當(dāng)中最基本最重要的問題。本文則在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上，分析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性定義及其判定，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)和函數(shù)的一致收斂有關(guān)。而因此本論文中提出了函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的定義，柯西一致收斂準(zhǔn)則，魏爾斯特拉斯判別法(M判別法)，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法，余項(xiàng)判別法，積分判別法。本文對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法進(jìn)行推廣，主要?dú)w納總結(jié)出了對(duì)數(shù)判別法，導(dǎo)數(shù)判別法，連續(xù)性判別法，逼斂性判別法以及M判別法的推論等幾種判別法，同時(shí)并應(yīng)用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致斂的定義，重要判別法及其充要條件給出了論文中一些結(jié)論的證明。關(guān)鍵詞：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；一致收斂性；判別法。DiscriminationofuniformconvergenceoffunctionseriesAbstract:Theuniformconvergenceoffunctionseriesistheconceptofseriesoffunctionsarethemostbasicandmostimportantproblem.Inthispaper,onthebasisofanumberofseries,thedefinitionsofconvergenceoffunctionseriesanditsdecision,uniformconvergenceanalysisofpropertiesandfunctionsrelatedtothefunctionofseries.Therefore,thispaperproposesadefinitionofuniformconvergenceoffunctionseries,CauchyuniformconvergencecriteriatheWeierstrassdiscriminationmethod(Midentificationmethod),Dirichletdiscriminationlaw,Abeldiscriminantlaw,theremainderdiscriminantmethod,integrationcriterionmethodandarticleonthefunctionseriesconvergencediscriminantmethodtopromotemainlysummarizedDiagnosticMethodderivativetest,continuitydiscriminationlaw,forcingseveraldiscriminantmethodofconvergencediscriminationlawandMinferenceofdiscriminationlaw,andapplyfunctionseriesconsistentdefinitionofconvergence,itisimportantdiscriminationmethodandthenecessaryandsufficientconditionsaregivensomeproofoftheconclusionofthepaper.Keywords:FunctionSeries;uniformconvergence;discriminationlaw.刖言一致收斂性是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，有效地判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂對(duì)進(jìn)一步研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)起著重要的作用。判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂時(shí)，通常用到柯西準(zhǔn)則,M-判別法，阿貝爾判別法，狄利克雷判別法，萊布尼茲判別法或者直接根據(jù)一致收斂的定義進(jìn)行判別。而本文在給出這些判別法的同時(shí)并對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義，柯西判別法，M-判別法，阿貝爾判別法，萊布尼茲判別法加以補(bǔ)充和推廣，從而給判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂提供了方便。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)既可以被看作是對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣，同時(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也可以看作是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)特例，它們?cè)谘芯績(jī)?nèi)容上有許多相似之處。對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們不僅要討論它在哪些點(diǎn)上收斂，而且更重要的是要研究和函數(shù)所具有的解析性質(zhì).比如能否由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每項(xiàng)連續(xù)、可積、可微，判斷出和函數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性。這些都要對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性提出更高的要求。即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。文獻(xiàn)［1］討論了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本判別法，給出了一致收斂的定義和萊布尼茨判別法；文獻(xiàn)［6］［7］［8］給出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的重要判別法，如阿貝爾、狄利克雷以及積分判別法；文獻(xiàn)［5］［3］給出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的兩個(gè)充要條件：柯西準(zhǔn)則，余項(xiàng)定理，并用上述方法判別一致收斂以及證明其它的一些定理；文獻(xiàn)［10］對(duì)該問題進(jìn)行了推廣,得到了比試和根式判別法，同時(shí)也有其它一些文獻(xiàn)，得到了一些其它的結(jié)論。本文結(jié)合上述文獻(xiàn)，總結(jié)出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的其它判別法，如對(duì)數(shù)判別法，導(dǎo)數(shù)判別法，M判別法的推論等，并給出了一些判別法的證明，此外也用一些例題驗(yàn)證它的可行性。1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義定義1［1］設(shè)［un(X)｝是定義在數(shù)集E上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式TOC\o"1-5"\h\zu(x)+u(x)+u(x)++u(x)+xeE, (1)1 2 3 n稱為定義在定義域E上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為￡ujx)或￡un(X)。稱??? ???n=1S(x)=￡nu(x),xeEn=1,2,3, , (2)k=1為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的部分和函數(shù)列。若X0eE,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u(x)+u(x)+u(x)++u(x)+ xeE, (3)123 n收斂，即部分和S^(x)=￡ujx°)當(dāng)n-8時(shí)極限存在，則稱級(jí)數(shù)(1)在點(diǎn)%收斂,??? ???k=1X0稱為(1)的收斂點(diǎn)。若級(jí)數(shù)⑶發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)(1)在點(diǎn)X0發(fā)散。若級(jí)數(shù)⑴在E上的某個(gè)子集D上的每個(gè)點(diǎn)都收斂，則稱級(jí)數(shù)(1)在D上收斂，并且稱(1)的收斂域?yàn)镈,級(jí)數(shù)(1)在D上的每一點(diǎn)x與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑶的和S(x)構(gòu)成一個(gè)定義在D上的函數(shù)，稱為(1)的和函數(shù)，并寫作u(x)+u(x)++u(x)+=S(x),xGD,1 2 n即limS,(x)=S(x),xgD,nT9n也就是說，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列⑵的收斂性。定義2[1]設(shè)｛sn(x)｝是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun(x)的部分和數(shù)列。若｛sn(x)｝在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù)S(x),則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eu,x)在D上一致收斂于S(x),或稱Eu(x)在D上一致收斂。n由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由它的部分和數(shù)列來確定，所以可以根據(jù)函數(shù)列一致收斂性定義得到等價(jià)定義。定義3[1]設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun(x)在D上和函數(shù)為S(x),稱Rn(x)=S(x)-Sn(x),為函數(shù)項(xiàng)Eun(x)的余項(xiàng)。2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的基本判別法M判別法定理1[2](M判別法)設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun(x)定義在數(shù)集D上，EMn為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切xgD,有1un(x)l<M」n=1,2,,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eu(x)在D上一致收斂。n證明：由假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)EMn收斂，根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西準(zhǔn)則，任給正數(shù)e,存在某正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N及任何正整數(shù)p,有M1+...+M|=M1++M<e,所以對(duì)一切xgD有根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)Eu,x)在D上一致收斂。例1證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)E ,xG(-8,8)一致收斂。1+n5x2n=1證明:由不等式1+n5x2>2n2閔可知對(duì)任意x,有-x^-<1-。因干,證明:1+n5X2 3 32n2 n=12n2收斂，由M-判別法知于在(-*+8)上一致收斂。1+n5x2n=12.2萊布尼茨判別法定理2［1］若交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1-u+u—uH—(—1>+1uH—(u>0,n=1,2,)7兩足下述兩個(gè)條件：(1)數(shù)列｛uj單調(diào)遞減；(2)limu=0,則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。nf8???例2試證不土匕在區(qū)間L,b］上一致收斂。,n+x3n=1證明：｛｝是任意閉區(qū)間［a,b］的連續(xù)函數(shù)列，且VXe［a,b］有n+x30<u(x)<u(x),limu(x)=0,n+1 n nf8n由上述定理知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)宜上上在區(qū)間［a,b］上一致收斂。,n+x3n=1定義判別法例3討論S(x)=-^―在(—8,+8)上一致收斂性。n 1+n2x2解：顯然S(x)=0,xe(—8,+8),因?yàn)镾(x)-S(x)|=—忖一=—?2n〔x|<J_n 1+n2x22n1+n2x22n所以，對(duì)任給的￡>0,只要取N』—］,當(dāng)n>N時(shí)，S(x)-S(x)<—<8L28」 n 12n對(duì)一切xe(—8,+8)成立，因此｛S(x)｝在(—8,+8)上一致收斂于S(x)=0。n余項(xiàng)判別法定理3[3]函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2un(x)在數(shù)集D上一致收斂于S(x)的充要條件是limsupIR(x)1=limsupIS(x)—S(x)1=0。nf8xeDn nf8xeD n證明(n)已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之u(x)在區(qū)間D一致收斂于S(x),nn=1V8>0月NeN,Vn>N,VxeD有IS(x)—S(x)I<8,從而supIS(x)-S(x)l<s,xeD即TOC\o"1-5"\h\zlimsupIS(x)-S(x)l=0,nTsxeD n(u)已知limsupIS(x)-S(x)l=0,nTsxeD n即Vs>0月NeN+，Vn>N,VxeD有supIS(x)-S(x)l<s,xeD所以VxeD有IS(x)-S(x)l<s.即級(jí)數(shù)守u(x)在區(qū)間d上一致收斂于S(x)。n nn=1例4討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)于xn(1-x)2,xe(0,1］的一致收斂性。n=1\o"CurrentDocument"解：設(shè)S(x)=￡xM1-x)2=x(1-x)2￡xi=x(1-xM1-xn)n 1-xk=1 k=1=x(1-x)G—xn G—xn)neN+。因而，S(x)=limS(x)=xe[0,1]，nTsn=xn[(n+1)-(n+2)x]S(x)-S(x)=(1=xn[(n+1)-(n+2)x]易知，該點(diǎn)為函數(shù)xn+1(1-x)在［0,1］上的最大值點(diǎn)。于是:故原級(jí)數(shù)在［0,1］上一致收斂。推論1［4］{Sn(x)}是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Zun(x)的部分和函數(shù)列，和函數(shù)S(x),都是定義在同一數(shù)集D上，對(duì)于任意的n,存在數(shù)列{%}(%>0)，使得對(duì)VxeD,有IR(x)l=lS(x)-S(x)l<a,且lima=0,則稱函數(shù)列{S(x)}一致收斂于S(x),n n n nTsn n即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Zu(x)在D上一致收斂于函數(shù)S(x)。n證明：因lima=0,故對(duì)任給的s>0,3NeN(與x無關(guān))，使得當(dāng)nTsn +n>N時(shí)，對(duì)一切xeD,都有IR(x)l=lS(x)-S(x)l<a<s。由定義2得函數(shù)列{Sn(x)}一致收斂于S(x),即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Zun(x)在D上一致收斂于S(x)。注用放大法判定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u(X)一致收斂性時(shí)，需要知道S(x)。n2.5柯西準(zhǔn)則定理4［51(一致收斂的cauchy準(zhǔn)則)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡un(x)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為：任給￡>0。存在N￡N+，當(dāng)n〉N時(shí)，對(duì)一切p￡N及一切X￡D，都有Iu(x)+u(x)++u(x)|<￡成立。證明：(必要性)設(shè)￡u,x)在D上一致收斂，于是有Sn(X)一^S(X),根據(jù)定義，對(duì)任意的￡〉0,存在正整數(shù)N1,只要n〉N1,對(duì)一切x￡D和任意正整數(shù)p有IS(x)-S(x)l<\；,

n+p 22因此只要n〉N2,對(duì)一切x￡D有IS(x)-S(x)l<%,所以，對(duì)存在正整數(shù)N二max(NN),只要n〉N,對(duì)一切x￡D和任意正整數(shù)p有IS(x)-S(x)l<lS(x)-S(x)l+IS(x)-S(x)l<e,必要性得證。(充分性)設(shè)對(duì)任意的￡〉0,存在正整數(shù)N,只要n>N,對(duì)一切x￡D和任意正整數(shù)p有l(wèi)S(x)-S(x)l<￡,所以對(duì)一切n〉N和一切任意正整數(shù)p,令pf8,可得，只要n〉N,對(duì)一切x￡D有l(wèi)S(x)-S(x)l<￡,所以函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡un(x)在數(shù)集D上一致收斂，充分性得證。TOC\o"1-5"\h\z推論2若￡u(x)在D上一致收斂，則u(x)n0(nf8；x￡D)。n n例5：設(shè)Vn￡N+,u(x)在［a,b］連續(xù)且￡u(x)在(a,b)內(nèi)一致收斂，且由n=1￡u(a)與￡u(b)均收斂，證明￡u(x)在［a,b］上一致收斂。nn nn=1 n=1 n=1

證明：由￡u(x堆(a,b)內(nèi)一致收斂及￡u(a)￡u(b)均收斂，知

n n nn=1 n=1 n=1Ve>0,3NGN+,Vn>N,VpgN+,Vxe(a,b)，同時(shí)有因而V因而Vxg[a,b],有u<x)+u(x)++u(x)故￡uG)在［^,b］一致收斂。n???3.n=13.關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的三個(gè)重要判別法阿貝爾判別法定理5［6］(Able判別法)定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u (x)v (x)=u(x)v (x)+u (x)v (x)+ +u (x)v (x)+ (4)nn 1 1 2 2 nn￡un(x)在區(qū)間I上一致收斂；⑵對(duì)于每一個(gè)xGI,{v(x)}是單調(diào)的； … …n⑶{vn(x)}在I上一致有界，即對(duì)一切xGI和正整數(shù)n,存在正數(shù)M,使得vn(x)|<M,則級(jí)數(shù)(4)在I上一致收斂。例6證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡x(x+n>在xG［0,1］上一致收斂。n2+nn=1解：設(shè)u(x)=—,v(x)=1+x,xG［0,1］,ngN+on n2nI n)根據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，易知于土在［0,1］上一致收斂。n2n=1由阿貝爾判別法，知原級(jí)數(shù)在［0,1］上一致收斂。例7設(shè)￡an收斂，則于anxn在［0,1］上一致收斂。n=1 n=1證明：￡an是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它的收斂性就意味著關(guān)于x的一致收斂性。而{m}n=1關(guān)于n單調(diào)，且|xn|<1,xg［0,1］,對(duì)一切n成立。由阿貝爾判別法可知級(jí)數(shù)￡anxnn=1在［0,1］上一致收斂。特別地，比如￡U>xn在［0,1］上是一致收斂的。n=13.2狄利克雷判別法定理6［7］(Dirchlet判別法)設(shè)⑴Zun(x)的部分和函數(shù)列U'x)工'")(n=1,2,)在I上一致有界;k=1(2)對(duì)于每一個(gè)xeI,{v(x)}是單調(diào)的；n???⑶在I上v(x)n0(n.8);則級(jí)數(shù)(4)在I上一致收斂。證明：由(1)3正數(shù)M,對(duì)一切xeI,有IUn(x)\＜M,因此當(dāng)有任何正整數(shù)n,p時(shí)Iu(x)+u(x)++u(x)I=IU (x)-U(x)I<2M,對(duì)任何一個(gè)xeI,再由(2)及Abel引理，得到Iv<x)+v(x)+?早v(x)I<2M(Iv<x)I+21v(x)I),再由(3)對(duì)Ve>0,3N>0,當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)一切xeI,有Iv(x)I<e,所以Iu1(x)v1(x)+?.+u (x)v(x)I<2M(e+2e)=6Me,于是由一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則知級(jí)數(shù)(4)在I上一致收斂。一(_1)n…冗冗例8試判別力?^,xe(上,-)的一致收斂性。n+cosx22n=1解:Vxe[0,2-],有：因而，級(jí)數(shù)￡sinxcoskx的部分和函數(shù)列在［0,2-］上一致有界。k=1又對(duì)Vxe［0,2-］,［-=L=I單調(diào)減少且不」＜《，lim=0，［v'n+xJ \；n+x7nn.8nn于是1-^=I在［0,2-］上一致收斂于零。［、?n+xJ根據(jù)Dirchlet判別法知，原級(jí)數(shù)在［0,2-］上一致收斂。例9在［〃/］上，級(jí)數(shù)》(—1＞上±是一致收斂的。n2n=1證明：首先，為(―1》的部分和函數(shù)列在［a,川上是一致有界的。其次，對(duì)每n=1一個(gè)xG(a,b),三個(gè)關(guān)于n是單調(diào)遞減的，且有x3<竺士f0(n.8),n2 n2 n2M=max1a|,b|｝。于是根據(jù)Dirichlet判別法，即得所證。3.3積分判別法定理7［8］設(shè)f(x,y)為區(qū)域R=｛(x,y)|xeD,1<y<+8｝上的非負(fù)函數(shù)，Zu(x)是定義在數(shù)集D上正的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，且u(x)=f(x,n)為非負(fù)函數(shù)，如果n nf(x,y)在［1,+8)上關(guān)于y為單調(diào)減函數(shù)，若含參變量反常積分58f(x,y)dy在數(shù)1集D上一致收斂，Eun(x)在數(shù)集D上一致收斂。證明：由卜8f(x,y)dy在數(shù)集D上一致收斂，對(duì)Ve>0,NeN+,當(dāng)n>N1時(shí)，對(duì)一切自然數(shù)p和一切xeD,有l(wèi)u (x)+u (x)++un+1 n+2 n+p所以Eun(x)在數(shù)集D上一致收斂。例10討論「級(jí)數(shù)E—的斂散性。npn=1解：函數(shù)f(x)=-1,當(dāng)P>0時(shí)在［1,8)上是非負(fù)減函數(shù)。由反常積分「8—在xp 1xpP>1時(shí)收斂，P<1時(shí)發(fā)散。再由積分判別法得E—當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)0<P<1時(shí)npn=1發(fā)散。至于P<0的情形，則可由級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則的推論知道它也是發(fā)散的。例11討論下級(jí)數(shù)cn(Inn)(InInn)pn=3的斂散性。

(Inx)pLduJ In2up解：研究反常積分I，由于I-Jxy-2x(Inx(Inx)pLduJ In2up當(dāng)P>1時(shí)收斂，P<1時(shí)發(fā)散。根據(jù)定理7知級(jí)數(shù)(1)在p>1時(shí)收斂，p<1時(shí)發(fā)散。對(duì)于(2),考察反常積分1一d一丁，同樣可推得級(jí)數(shù)(2)在P>1時(shí)收斂，3x(Inx)(InInx力在P<1時(shí)發(fā)散。4.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂方法的的推廣比式判別法定理8定理8[9](比式判別法)設(shè)(x)為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列，記q(x)存在正整數(shù)N及實(shí)數(shù)q、M,使得:q(x)Wq<1,u(x)WM對(duì)任意的n>N,xeD成立,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡un(x對(duì)任意的n>N,n=1證明：易見u(x)u(x)u(x)(X)——n ?-n-1-N+1?u(x)u(x)u(x)uN(x)Nn-1 n-2=q (x)?q (x) q(x)?u(x)n-1 n—2 …N N而等比級(jí)數(shù)￡qn?Mq1-N當(dāng)公比0<q<1時(shí)收斂，從而由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性

???n=N的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，￡un(x)在D上一致收斂。n=1推論3(比式判別法的極限形式)設(shè)￡un(x)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)項(xiàng)級(jí),若limsupq(x)=q<1,且u(x)在D上一致有界，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡un(x)在D上一致收斂。證明：由limsupq(x)=q<1,則存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)，有nn-xgD由un(x)在D上一致有界，則對(duì)任意的正整數(shù)n,及任意的xeD,存在正整數(shù)M,使得u'x)<M,令=q(x)?q(x)???q(x)?u(x),則有u(x)<qn一N+1M=qnMq1-n,而幾何級(jí)數(shù)于qnMq1-n當(dāng)0<q<1時(shí)收斂，由函nn=N數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的M判別法知Zun(x)在D上一致收斂，得證。例12試證函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Zr之在[1力(t>1)上一致收斂。In+37!n=1證明：因?yàn)閡 (x) xqn1 u(x)n+3limsupq(x)=lim—t—=0<1,

、n n+3nsxeD ns1r所以由比式判別法的極限形式知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡[』在1t](t>1)上一致收n=1斂。根式判別法定理919](根式判別法)設(shè)Zu,x)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),若limsupq(x)=q<1,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Zu(x)在D上一致收斂。nlsxeDn n證明：由limsupq(x)=q<1,則存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，有q(x)<q<1,nnisxeD則對(duì)任意的n>N,xeD,有|u(x)|<qn,而幾何級(jí)數(shù)Zqn收斂，由函數(shù)項(xiàng)級(jí)nn=1數(shù)一致收斂性的M判別法知Zun(x)在D上一致收斂，定理得證。例13試證函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)立n+2v在(小+8)上一致收斂，其中(y>1)。,(x+1)nn=1證明：設(shè)D=(Y,+s),因?yàn)閝(x)=/u(x)1=nn+2,nn Ix+11

所以由根式判別法可知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)寸盧々在(r,+9)上一致收斂。?(x+1〉n=1推論4(根式判別法的極限形式)設(shè)un(x)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)列，若%、u(x)I一致收斂于q(x),即limJIu(x)I=q(x),且(sup{q(x)})<1,q(x)<q<1,xeDxeD對(duì)VxeD成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eu(x)在D上一致收斂。n證明：由/u(x)I一致收斂于q(x)(nT9),取0<￡<1-q,3N0,當(dāng)n>N0時(shí)，對(duì)一切xeD有所以JIu(x)I<q(x)+￡<q+￡,又因?yàn)橛蒑判別法知Eu(x)在xeD上一致收斂。n推論n推論5有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun(x),若對(duì)VxeD,有l(wèi)imJu(x)I=l<1,則函nT9數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Zu(x)在D上一致收斂。n例14例14判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斗九)n=1在(-9,+9)上的一致收斂性。證明：因?yàn)? IxIlimn；I(丁)nI=lim =0<1,2n+1 2n+1在(-9,+9在(-9,+9)上一致收斂。所以由推論5知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)E1\n=112n+U對(duì)數(shù)判別法定理1019](對(duì)數(shù)判別法)設(shè)un(x)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)列，若有

立u(x)在D上n=1—當(dāng)p>1收斂,nplim1nUn(x)=p(x)存在，對(duì)立u(x)在D上n=1—當(dāng)p>1收斂,np一致收斂。證明：由定理?xiàng)l件可知：對(duì)V￡>OJN,使得對(duì)Vn>N,有P(X)-S<lnUri(x)<p(X)+8,

ln(n)np(x)-snnp(x)-s則當(dāng)p(x)>p>1時(shí)，對(duì)VxeD成立時(shí)，有u(x)<—,而p級(jí)數(shù)Ennp而優(yōu)級(jí)數(shù)判別法可知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun(x)在D上一致收斂.所以得證。n=1例15證En-(2x+1)5在(0,+8)上一致收斂。n=1證明：Vxe(0,+8),因?yàn)閘nu(x)「-ln(n-(2x+1)5) (2x+1)5Innlim n——=lim =lim =(2x+1)5>1,n—8lnn n-8 lnn n-8 1nn所以由對(duì)數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun(x)在(0,+8)上一致收斂。導(dǎo)數(shù)判別法定理11U0(導(dǎo)數(shù)判別法)設(shè)函數(shù)歹列｛un(x)｝在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，可微，且TOC\o"1-5"\h\z存在一點(diǎn)xe［a,b］使得Eu(x)在點(diǎn)x收斂；Eu(x)在［a,b］上一致收斂；則0 n 0 nn=1 n=1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eu(x)在［a,b］上一致收斂。nn=1證明：已知Eu(x)在點(diǎn)xe［a,b］收斂，Eu1(x)在［a,b］上一致收斂,n0 nn=1 n=1即V8>0月N(8),使得n>N(8)時(shí)對(duì)VpeN有k=n+1對(duì)xe[a,b]有

k=n+1根據(jù)拉格朗日中值定理VneN,VpeN,xe［a,b］有￡u(x)-￡k=n+￡u(x)-￡k=n+1于是k=n+1kk=n+1u'(x)(x一x <8(b一a)(8介于x與x0之間0)￡u(x)kk=n+1￡u(x)-kk=n+1￡u(x)+￡u(x),k0 k0k=n+1k=n+1<8(b—a)+8=8(b—a+1),故￡u(x)在［a,b］上一致收斂。nn=1例16設(shè)u(x)=—ln(9+n2x2),n=1,2,,證￡u(x)在［0,1］上一致收斂。nn=1解：對(duì)于每一個(gè)n,易見u(x)為［0,1解：對(duì)于每一個(gè)n,易見u(x)為［0,1］上的增函數(shù)，故n2nxu,x)連續(xù)且可微，對(duì) = < n(9+n2x2)n2(9+n2x2) 3n2,n=1,2,故收斂級(jí)數(shù)分.n=1為￡u-(x)的優(yōu)級(jí)數(shù)，所以由M判別法知￡u-(x)在［0,1］上一致收斂。故原級(jí)數(shù)nn=1￡u(x)在［a,b］上一致收斂。nn=1nn=14.5連續(xù)性判別法定理12［10設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡un(x)在區(qū)域口上點(diǎn)態(tài)收斂于S(x),如果n=1u(x)(n=1,2,)在口上連續(xù)，S(x)在D上連續(xù)，對(duì)D上每個(gè)固定的x,{un(x)}不變號(hào)，則￡u(x)在D上一致收斂于S(x)。n=1例17證明中2(xeR)的一致收斂性。3nn=1證明：由于n=1在R上點(diǎn)態(tài)斂于S(x),竺在R上連續(xù)，而S(x)在R上連續(xù)，對(duì)R上每個(gè)固定的x,3n{un(x)}不變號(hào)。則由定理12知原級(jí)數(shù)一致收斂于S(x)。推論6設(shè)u(x)>0,(u(x)<0)(n=1,2,)在D=\a,b］上連續(xù)，又Zu(x)在a,b］上收斂于連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)zu(x)在a,b］一致收斂。n例18試證Z二在(xG［0,+8))內(nèi)一致收斂。2nn=1解：對(duì)VxG［0,+8),都有u(x)>0，又當(dāng)n充分大時(shí)|土|單調(diào)遞減，故n I2nITOC\o"1-5"\h\zu(x)連續(xù)，和函數(shù)S(x)=Zx=x在［0,+8)上連續(xù)，故由推論知Z-在n 2n 2nn=1 n=1x￡(-8,+8)上一致收斂。4.6迫斂性判別法定理13\10(迫斂性定理)設(shè)VngN+,都有un(x)<vn(x)<^n(x)成立，且Zu(x)和Zw(x)在I上都一致收斂于S(x),則Zv(x)在I也一致收斂于S(x)。n=1 n=1 n=1證明：設(shè)U(x)=Zu(x),V(x)=Zv(x),W(x)=Zw(x),k=1 k=1 k=1因?yàn)閂n>N,VxgI都有u(x)<v(x)<w(x),所以VngN,3NgN都有U(x)<V(x)<W(x),又級(jí)數(shù)￡u(x),Zw(x)在I一致收斂于S(x),即Vs>0,3NgN,n n +n=1 n=1Vn>N,VxgI有S(x)-s<U(x)<V(x)<W(x)<S(x)+s,及S(x)-s<U(x)<S(x)+s,

所以即Vs>0,3NgN,Vn>N,VxeI有S(x)-e<U(x)<V(x)<W(x)<S(x)+8,由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂定義知，￡［(x)在I上也一致收斂于S(x)。n=1推論7已知數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡an,￡bn都收斂，若存在neN,當(dāng)n>N時(shí)有n=1 n=1a<攻(x)<b,xeD,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡攻(x)于D一致收斂。=1(x)為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可判斷￡匕收斂)。n=1(顯然，當(dāng)攻(x)=攻，則￡攻=1推論8設(shè)函數(shù)列{un(x)},￡u(a)及￡u(b)(顯然，當(dāng)攻(x)=攻，則￡攻=1推論8設(shè)函數(shù)列{un(x)},￡u(a)及￡u(b)都絕對(duì)收斂,n nn=1 n=14.7M判別法的推論則級(jí)數(shù)￡un(x)在［a,b］上一致收斂。n=1TOC\o"1-5"\h\z推論9設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡un(x),存在一收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡an使得對(duì)n=1 n=1VxeI,有l(wèi)im"n(x)1=k(0<k<+8),則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u(x)在區(qū)間I一致收、a nn-8n n=1斂。證明：已知lim”n(x)?=k(0<k<+8),即3e>0,NeN+