創(chuàng)意平板折疊桌的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模B題92620850

創(chuàng)意平板折疊桌的數(shù)學(xué)模型摘要本文主要研究的是創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)加工問題，對(duì)設(shè)計(jì)加工參數(shù)進(jìn)行分析和優(yōu)化并為公司開發(fā)設(shè)計(jì)折疊桌軟件提供數(shù)學(xué)模型，為解決這些問題建立不同的數(shù)學(xué)模型并用MATLAB進(jìn)行模型求解。針對(duì)問題一，本文建立了模型工一一動(dòng)態(tài)變化及數(shù)學(xué)描述模型。利用解析幾何求出每根桌腿由平鋪狀態(tài)到完全展開過程中轉(zhuǎn)過的角度來描述折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程，并在此基礎(chǔ)上用MATLAB解出設(shè)計(jì)加工參數(shù):桌腿木條開槽長(zhǎng)度3，三維空間桌腳邊緣線。針對(duì)問題二，本文建立模型口一一設(shè)計(jì)加工參數(shù)模型。采用多目標(biāo)決策分析方法使產(chǎn)品達(dá)到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以開槽長(zhǎng)度K和長(zhǎng)方形平板面積S必須達(dá)到最小，對(duì)于任意給定的高度H和圓形桌面直徑R確定：①?zèng)Q策變量：a1（桌面最外側(cè)木條的半長(zhǎng)），1（最外側(cè)桌腿的豎直偏角），p（最外側(cè)折疊處到鋼筋位置距離與最外側(cè)桌腿的比值）②目標(biāo)函數(shù)：K（開槽總長(zhǎng)度），S長(zhǎng)方形木板面積用MATLAB求解出多組方案并確定目標(biāo)函數(shù)最小的最優(yōu)方案，列出設(shè)計(jì)加工參數(shù)。針對(duì)問題三，本文建立了模型田一一軟件設(shè)計(jì)模型。根據(jù)客戶設(shè)定的高度、桌面邊緣線形狀大小為客戶提供三種桌面形狀：①圓形桌面，②圓弧和矩形組合桌面，③“8”字形桌面。對(duì)于圓形桌面可參照模型H；對(duì)于組合桌面，可在模型H的基礎(chǔ)上通過增大最外側(cè)桌面木條的長(zhǎng)度、來實(shí)現(xiàn)；對(duì)于“8”字形桌面則可將兩個(gè)組合桌面的直線邊進(jìn)行對(duì)接，所以模型三的建立和求解便可在模型口的基礎(chǔ)上改動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：解析幾何MATLAB多目標(biāo)決策分析EXLINK.問題重述某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：.給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120cmX50cmX3cm,每根木條寬2.5cm,連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。.折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70cm,桌面直徑80cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。.公司計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個(gè)自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出至少8張動(dòng)態(tài)變化過程的示意圖。.問題分析問題一的分析問題一要求我們建立模型描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程并給出設(shè)計(jì)加工參數(shù)，由于長(zhǎng)方形平板尺寸和每根木條的寬度及鋼筋的位置都為已知，所以只需假設(shè)最外側(cè)桌面木條的半長(zhǎng)，根據(jù)桌子的對(duì)稱性研究桌子左邊最外側(cè)到中間的桌腿，利用空間幾何建立數(shù)學(xué)模型，再用MATLAB對(duì)模型求解得出設(shè)計(jì)加工參數(shù)，用EXLINK導(dǎo)出每根桌腿轉(zhuǎn)過的角度。問題二的分析問題二要求我們做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，對(duì)于已定的桌高和桌面直徑確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。由問題一中折疊桌桌腿的幾何關(guān)系建立多目標(biāo)決策分析模型確定決策變量和目標(biāo)函數(shù)，用MATLAB確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。問題三的分析問題三要求我們?yōu)檎郫B桌的設(shè)計(jì)軟件提供數(shù)學(xué)模型，可根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀來給出所需平板的尺寸及加工參數(shù)，對(duì)此我們充分的利用問題二的模型來設(shè)計(jì)桌面邊緣線的形狀，使所建立的軟件設(shè)計(jì)模型易于求解。.模型的假設(shè)假設(shè)一：不考慮加工對(duì)長(zhǎng)方形平板寬度帶來的影響假設(shè)二：桌腿鋼筋不會(huì)發(fā)生形變假設(shè)三：描述桌腳邊緣線時(shí)桌腳為質(zhì)點(diǎn)假設(shè)四：外側(cè)桌腿和鋼筋固定良好假設(shè)五：鉸鏈不會(huì)發(fā)生形變且對(duì)設(shè)計(jì)加工參數(shù)無影響.問題一模型的建立與求解4.1符號(hào)說明:符號(hào)符號(hào)說明L i 第i根桌腿腿長(zhǎng)a i 第i根桌面木條的半長(zhǎng)a i 第i根桌腿與豎直方向的夾角0 i 第i根桌腿動(dòng)態(tài)變化轉(zhuǎn)過的角度Hi第i根桌腿底部距地面的高度R桌面外接圓半徑h鋼筋位置距桌面高度mi第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離b第一根桌腿底部距桌子豎直對(duì)稱面的距離Ki 第i根木條開槽長(zhǎng)度模型I的建立（數(shù)據(jù)單位均為cm）根據(jù)桌子的對(duì)稱性只需研究桌子左邊最外側(cè)到中間的10根桌腿，設(shè)最外側(cè)桌腿為第一根桌腿1b其桌面木條的半長(zhǎng)為4，以第一根桌腳為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（見圖1）

根據(jù)問題一所給尺寸計(jì)算出：第一根桌腿：腿長(zhǎng)L1=60-4第一根桌腿底部距桌子豎直對(duì)稱面的距離b=Htana1+q桌腿與豎直方向的夾角a=arccos10°1 120—a1鋼筋位置到桌子豎直對(duì)稱面距離m1=2、f(60—aj—502+a1鋼筋位置距桌面高度h=25圖3根據(jù)圖2和圖3計(jì)算可以得出：TOC\o"1-5"\h\z第，?根桌面木條的半長(zhǎng)a=、252+a2,5-2.5111i 1桌面外接圓半徑R=/52+a21第i根桌腿腿長(zhǎng)L=60-ai i第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m=m「ai第i根桌腿的豎直夾角a.二arctanmhh，、一 ，、h第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度l=icosai第i根桌腿底部距地面的高度H=H-Lcosai ii第i根桌腿底部到桌子豎直對(duì)稱面的距離Sj=a+Lsinai'X=b-Si i桌腿底部坐標(biāo)｛Y=2.5iiZ=Hii為了得出每根木條的開槽長(zhǎng)度Ki,利用第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度li減去桌子平鋪時(shí)候鋼筋位置與折疊點(diǎn)的距離即：K=l-（30-ai）模型I的求解根據(jù)題中所給的圖和木板的厚度，大致可以假設(shè)桌面最外側(cè)木條半長(zhǎng)a1為3，用5

MATLAB編程進(jìn)行求解，程序見附錄通過EXLINK導(dǎo)出桌面與豎直方向夾角a,制出表格描述折疊桌動(dòng)態(tài)變化的過程（見表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿與豎直方向夾a28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿動(dòng)態(tài)變化轉(zhuǎn)過的角度061.305677.8523689486.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.059088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18.512622198.05908868101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.5126221表1用MATLAB畫出桌腳邊緣線（見圖3），程序見附錄二桌腳邊緣線三維圖形圖4桌腳邊緣線各點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)如下表:X0.00003.78337.56039.605310.6861Y2.50005.00007.500010.000012.5000Z0.00002.39315.36578.171310.6166X11.205411.407011.444111.413511.3740Y15.000017.500020.000022.500025.0000Z12.648914.269415.497616.356116.8632

表2用EXLINK導(dǎo)出設(shè)計(jì)加工參數(shù)：桌面外接圓半徑R=；252+a2=25.17941桌腿開槽長(zhǎng)度見下表：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根開槽長(zhǎng)度K06.8810.3413.1415.4717.3918.92第8根第9根第10根20.1020.9221.42開槽位置見下表:桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根li25.5725.0425.0425.2525.5325.8126.0626.2526.36表44.問題二模型的建立與求解5.1符號(hào)說明:符號(hào)符號(hào)說明S長(zhǎng)方形平板面積K i 第i根桌腿的槽長(zhǎng)L長(zhǎng)方形木板長(zhǎng)度d長(zhǎng)方木形板寬度H桌子高度P最外側(cè)桌腿鋼筋的位置到折疊處的長(zhǎng)度與桌腿的長(zhǎng)度比值h第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離m i 第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離a i 第i根桌面木條的半長(zhǎng)li第i根桌腿長(zhǎng)度d桌子寬度f./ 第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度a 1 最外側(cè)桌腿的豎直偏角R桌面直徑5.2模型n的建立（數(shù)據(jù)單位均為cm）

采用多目標(biāo)決策分析方法使產(chǎn)品達(dá)到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以開槽長(zhǎng)度K和長(zhǎng)方形平板面積S必須達(dá)到最小，對(duì)于任意給定的高度H和圓形桌面直徑R確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，即輸入桌高H及桌面直徑R得出最優(yōu)加工參數(shù)開槽長(zhǎng)度K以及所需長(zhǎng)方木板長(zhǎng)L和寬d由問題一中圖1解得第一根桌腿長(zhǎng)度l=上二，設(shè)最外側(cè)桌腿鋼筋的位置到折疊1 2處的長(zhǎng)度與桌腿的長(zhǎng)度比值為p根據(jù)圖1和圖2得出第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離h=pH，桌寬dfR-a2，4i1第，根桌面木條的半長(zhǎng)為a=、R-Id-2.5G-1）1i44第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m=J（plb-h2-ai 1 i第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度f=.、;h2+m；所以可求出第i根桌腿的槽長(zhǎng)K=f-（L-a］，即得出桌腿的總槽長(zhǎng)K=4嚴(yán)K，從iil2iJ ii=1而有：①?zèng)Q策變量：a1（桌面最外側(cè)木條的半長(zhǎng)），a1（最外側(cè)桌腿的豎直偏角），p（最外側(cè)折疊處到鋼筋位置距離與最外側(cè)桌腿的比值）開槽長(zhǎng)度K=/K②目標(biāo)函數(shù)4②目標(biāo)函數(shù)4iT …、一，一一 'R2長(zhǎng)方形平板的面積S=2L二-a24 15.3模型n的求解根據(jù)題中所給的圖和問題一中木板的厚度，大致可以假設(shè)桌面最外側(cè)木條半長(zhǎng)a1等于3，用MATLAB求解出多組方案。對(duì)折疊桌進(jìn)行力學(xué)分析可得，當(dāng)折疊桌的外側(cè)桌腿垂直于地面時(shí)，折疊桌能承受的正壓力是最大的，此時(shí)能承受的側(cè)向壓力是最小的。當(dāng)桌腿未完全展開時(shí)，其抗側(cè)壓力性能強(qiáng)于抗正壓力，若使折疊桌既能有較好的抗正壓力和抗側(cè)壓力，則桌腿要與地面保8

持合適的夾角。通過對(duì)問題一中折疊桌支撐腿與豎直方向的夾角a1約等于28°,并結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際情況為使折疊桌的穩(wěn)定性好，。1不能過小或過大，假設(shè)\=30由已知桌高H=70,桌面直徑R=80，輸入p,\的值，輸出L,d,S,K,方案如下表：方案paLdSK10.411163.6679.9713088.55847.7520.42165.6679.9013236.07865.3230.43167.6579.7713374.87882.1740.44169.6679.6013504.61898.1650.51163.6679.9713088.55979.5460.52165.6679.9013236.07999.2870.53167.6679.7713374.871018.1980.54169.6679.6013504.611036.1490.61163.6679.9713088.551078.37100.62165.6679.9013236.071099.64110.63167.6679.7713374.871120.12120.64169.6679.6013504.611139.65130.71163.6679.9713088.551149.04140.72165.6679.9013236.071171.46150.73167.6679.7713374.871193.22160.74169.6679.6013504.611214.15170.81163.6679.9713088.551197.77180.82165.6679.9013236.071221.13190.83167.6679.7713374.871244.09200.84169.6679.6013504.611266.45表49圖5實(shí)際情況中，桌面直徑和每根木條的寬度是定量，所以 a1不可能很小，滿足a2；上-d2，由上表數(shù)據(jù)計(jì)算得當(dāng)a=1或2時(shí)，方案無效。4 4 1當(dāng)桌面平鋪時(shí)，鋼筋必須在圓形桌面以外，即p-L>R，可以得出p>R，根據(jù)上表2 L數(shù)據(jù)計(jì)算，當(dāng)p<0.5時(shí)，方案無效。綜上所述，上表中灰色部分全為無效方案，剩余全為有效方案，即方案7、8、11、12、15、16、19、20,經(jīng)比較得出，方案7為最優(yōu)方案。用EXLINK導(dǎo)出設(shè)計(jì)加工參數(shù)：桌腿第一根第二根第三根第四根第五根第六根第七根第八根開槽長(zhǎng)度0.007.2910.4212.7314.5515.9817.1017.96第九根第十根第十一根第十二根第十三根第十四根第十五根第十六根18.6219.1319.5319.8420.0920.2820.4520.58表55.問題三模型的建立與求解6.1符號(hào)說明:符號(hào)符號(hào)說明S長(zhǎng)方形平板面積K i 第i根桌腿的槽長(zhǎng)L長(zhǎng)方形木板長(zhǎng)度d長(zhǎng)方木形板寬度H桌子高度p最外側(cè)桌腿鋼筋的位置到折疊處的長(zhǎng)度與桌腿的長(zhǎng)度比值h第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離mi第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離a i 第i根桌面木條的半長(zhǎng)l i 第i根桌腿長(zhǎng)度d桌子寬度f i 第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度a1最外側(cè)桌腿的豎直偏角R桌面直徑10

6.2模型田的建立(數(shù)據(jù)單位均為cm)根據(jù)客戶設(shè)定的高度、桌面邊緣線形狀大小為折疊桌設(shè)計(jì)軟件提供數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)為客戶提供三種桌面形狀：①圓形桌面②圓弧和矩形組合桌面③“8”字形桌面.圓形桌面直接參照模型口中最優(yōu)方案的p=0.5為最優(yōu)鋼筋位置，a1=30。第一根桌腿長(zhǎng)度L—2al=i，i2桌面木條根數(shù)n=R2.5第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離h=pH，桌寬d=iR-a2，,4i,第，根桌面木條的半長(zhǎng)為a=:生-Id-2.5C-1Ri44第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m=%(pl}-h2-ai 1 i第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度于廠\42+m所以可求出第i根桌腿的槽長(zhǎng)K=f/Lp-a)ii12iJ.圓弧和矩形組合桌面為使桌面呈現(xiàn)圓弧和矩形的組合，最外側(cè)桌面木條的長(zhǎng)度a1要較大，現(xiàn)規(guī)定當(dāng)a1>5時(shí)為組合桌面。p=0.5，1=30。a1>5，依舊參照模型口桌面木條根數(shù)n=d一,一一-、 1-2a第一根桌腿長(zhǎng)度/=—，第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離h=pH，桌寬第i根桌面木條的半長(zhǎng)為a第i根桌面木條的半長(zhǎng)為a廣\'?-"2.5—11TOC\o"1-5"\h\z第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m=、；(pl}—h2-ai 1 i第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度f=.hh2+m2所以可求出第i根桌腿的槽長(zhǎng)K=f/L—a]ii12 iJ.“8”字形桌面p=0.5，\=30a1>5，桌面木條的根數(shù)n=2只需研究桌子一側(cè)前1的桌腿2.5 4由于“8”字形桌面的桌子是由兩個(gè)組合桌子鏈接起來的，所以設(shè)計(jì)加工研究參數(shù)即為組合桌面桌子參數(shù)。6.2模型III的求解針對(duì)圓弧和矩形組合桌面R=90，用MATLAB和EXLINK解出設(shè)計(jì)加工參數(shù)如下:現(xiàn)要加工高H=R=90，用MATLAB和EXLINK解出設(shè)計(jì)加工參數(shù)如下:L=188.56，d=74.83第i根桌腿開槽長(zhǎng)度:桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根開槽長(zhǎng)度0.001.814.0110.3916.2919.4421.88第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根23.7325.0726.0426.7427.2527.