第八章無窮級數(shù)習(xí)題課

第八章無窮級數(shù)習(xí)題課常數(shù)項級數(shù)

一、定義及性質(zhì)

2．?dāng)可⑿远x

3．性質(zhì)

必要性:

線性運算性質(zhì):

則級數(shù)收斂，否則級數(shù)發(fā)散。

設(shè)級數(shù)為常數(shù)

則

設(shè)，如果存在，

級數(shù)收斂

1．常數(shù)項級數(shù)

4．常數(shù)項級數(shù)類型

正項級數(shù)交錯級數(shù)任意項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)

二、判別常數(shù)項級數(shù)收斂的解題方法

若成立，則需作進一步的判別。

判別常數(shù)項級數(shù)

的斂散性，應(yīng)先考察是否有

成立。若不成立，則可判定級數(shù)發(fā)散；此時可將常數(shù)項級數(shù)分為兩大類，即正項級數(shù)與任意項級數(shù)。

對于正項級數(shù)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用比值法或根值法。若此二方法失效，則可利用比較法（或定義）作進一步判別；

若不收斂，但級數(shù)是交錯級數(shù)，可考慮應(yīng)用萊布尼茲判別法，若能判別級數(shù)收斂，則原級數(shù)條件收斂；

對于一般的任意項級數(shù)，則可考慮利用利用級數(shù)收斂定義、性質(zhì)等判別。

解題方法流程圖如下圖所示。對于任意項級數(shù)，一般應(yīng)先考慮正項級數(shù)是否收斂。若收斂，則可判定原級數(shù)收斂，且為絕對收斂；

解題方法流程圖

Yes判斷的斂散性比值法根值法比較法

找正項收斂級數(shù)找正項發(fā)散級數(shù)用其它方法證明No

萊布尼茲判別法

YesNoNoNoYesNoYesNoYes為正項級數(shù)為任意項級數(shù)發(fā)散收斂收斂發(fā)散條件收斂絕對收斂為交錯級數(shù)收斂且

三、典型例題

，由定義

所以原級數(shù)收斂，且和為1?！纠?】判別級數(shù)的收斂性，并求級數(shù)的和。分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，由于因此可利用定義求。解：由于由級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散?！纠?】判別級數(shù)的收斂性。分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，因為分別求分子、分母的極限不為0，由級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散。解：因為而故由比較審斂法的極限形式，原級數(shù)收斂。

【例3】判別級數(shù)的收斂性。分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，根據(jù)的形式，可用比較審斂法，也可采用比值審斂法。解法1：此級數(shù)為正項級數(shù)，而級數(shù)為等比級數(shù)收斂，

解法2：由比值審斂法故由比值審斂法知原級數(shù)收斂。,由于

故轉(zhuǎn)到應(yīng)用比較判別法。由于

【例4】判別級數(shù)的收斂性。而不存在，所以不存在。

分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，設(shè)

而級數(shù)收斂，從而級數(shù)收斂；或?qū)⒉鸪蓛蓚€級數(shù)，分別判定級數(shù)的收斂性。同理極限也不存在，即不能應(yīng)用比值和根值判別法，,由于

解法1：設(shè)而由比值法

易知級數(shù)收斂,故由級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)收斂。解法2：因為所以，分別考慮和的斂散性。對于由比值法

知收斂，所以，絕對收斂；同理得收斂，可知原級數(shù)收斂。

收斂，故由比較審斂法，原級數(shù)收斂?！纠?】判別級數(shù)的收斂性。分析：此級數(shù)為正項級數(shù),由的形式，利用比值法和根值法均不合適，由于,可采用比較法。

解：此級數(shù)為正項級數(shù)，令注：應(yīng)用比較法判斷一個正項級數(shù)的斂散性，最關(guān)鍵問題是熟練掌握一批已知正項級數(shù)的斂散性（如幾何級數(shù)，

級數(shù)等），然后根據(jù)的特點，進行有針對性的放縮?！纠?】判別級數(shù)的收斂性。分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，，由于中含有，可用比值審斂法。

解：令

所以，原級數(shù)發(fā)散。

由比值審斂法，當(dāng)時，原級數(shù)收斂；

當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散。

當(dāng)時，比值審斂法失效，注意到注：在級數(shù)一般項中，若含有形如的因子時，

適于使用比值審斂法。

故由根值審斂法，原級數(shù)收斂?！纠?】判斷級數(shù)的斂散性.

分析：此級數(shù)為正項級數(shù)

,由于中解：此級數(shù)為正項級數(shù)，

注：在級數(shù)一般項

中,若含有次方時,適于使用根值審斂法。含有次方，可用根值審斂法?！纠?】判斷級數(shù)收斂？如果收斂，是條件收斂還是絕對收斂？

分析：本題中，為交錯級數(shù)，可采用萊布尼茲定理判別法。解：此級數(shù)為交錯級數(shù)，因為

,而發(fā)散,原級數(shù)非絕對收斂.

因為

為交錯級數(shù),由萊布尼玆定理由比較審斂法知發(fā)散所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂。所以在上單增，即單減，故當(dāng)時，單減，令即原級數(shù)非絕對收斂。

【例9】*判別級數(shù)的斂散性。分析：本題中，為交錯級數(shù)，可采用萊布尼茲定理判別法。

解：先考慮級數(shù)的斂散性。

由于當(dāng)時，

而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，

即原級數(shù)為交錯級數(shù)，故應(yīng)用萊布尼茲判別法判別。

從而原級數(shù)條件收斂。

注：在運用萊布尼玆定理判別時，可引入函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判別單調(diào)性。因為,其中所以在內(nèi)單調(diào)遞減，得于是由萊布尼茲判別法可得級數(shù)收斂，

令證明：設(shè)級數(shù)

和的部分和分別為和則【例10】若

,級數(shù)收斂,證明級數(shù)收斂.沒有具體表達式，只能將

看成任意項級數(shù),所以，考慮級數(shù)收斂定義。分析：因為題設(shè)給出了級數(shù)收斂,但即

由于級數(shù)收斂,

所以存在,所以要根據(jù)級數(shù)收斂的定義知收斂.證明存在，只需要證明

存在即可.根據(jù)題中的條件，所以，因此第八章無窮級數(shù)習(xí)題課函數(shù)項級數(shù)一、冪級數(shù)

1．冪級數(shù)的基本概念(1)

冪級數(shù)的定義：(2)收斂半徑：

(3)冪級數(shù)的和函數(shù)：

或收斂區(qū)間：

存在正數(shù)

當(dāng)冪級數(shù)收斂，當(dāng)冪級數(shù)發(fā)散，稱為冪級數(shù)的收斂半徑。

收斂域：收斂點的全體

2．冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)

（1）連續(xù)性：

（2）可導(dǎo)性：

（3）可積性：

3．冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法求冪級數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即型、

型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。

對于型，通過求，得半徑，

然后討論處的斂散性，從而得收斂域；對于缺冪型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論處的斂散性，從而得收斂域。解題方法流程圖如下。對于型，令,化為型,可得收斂域；解題方法流程圖

求冪級數(shù)收斂域

判別冪級數(shù)類型收斂域收斂域

令

討論處的斂散性，，其它討論處的斂散性

當(dāng)時收斂當(dāng)時發(fā)散

用比值法令

1234．冪級數(shù)和函數(shù)的求法求冪級數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對給定的冪級數(shù)進行恒等變形，然后采用“先求導(dǎo)后積分”或“先積分后求導(dǎo)”等技巧，并利用與形如（或等）冪級數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。

求的和函數(shù)令NoYesYesNo能直接求出和函數(shù)恒等變換直接求和逐項積分逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)逐項積分Yes能直接求出和函數(shù)NoYesNo能直接求出和函數(shù)解題方法流程圖5．典型例題【例1】求冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域。解：

當(dāng)時，級數(shù)為，該級數(shù)收斂。當(dāng)時，級數(shù)為，該級數(shù)收斂。故此冪級數(shù)的收斂域為。

【例2】求冪級數(shù)的收斂域。解：令，原級數(shù)變?yōu)?/p>

所以，即時，冪級數(shù)收斂。當(dāng)時，級數(shù)為，為交錯級數(shù)收斂，

當(dāng)時，級數(shù)為，為P-級數(shù)發(fā)散，故此冪級數(shù)的收斂域為?！纠?】求冪級數(shù)的收斂域。解：缺少偶次冪的項，由比值審斂法當(dāng)，即時，級數(shù)收斂。當(dāng)，即時，級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時，級數(shù)為，為交錯級數(shù)收斂。當(dāng)時，級數(shù)為，為交錯級數(shù)收斂。故此冪級數(shù)的收斂域為。

【例4】求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求的和。

解：記

求導(dǎo)得

積分得

令，則

【例5】*求冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。分析：由于冪級數(shù)，通過比較級數(shù)和

的一般項，不難發(fā)現(xiàn)，，而

，所以應(yīng)用給定的冪級數(shù)先積分，后求導(dǎo)，

就可以利用進行計算。

解：令

對冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)逐項積分，得：其中，。

再應(yīng)用逐項積分的方法得：對求導(dǎo)得

所以

對求導(dǎo)得

即

注：本題利用“先導(dǎo)后積”的方法求和函數(shù)，數(shù)項級數(shù)求和可通過冪級數(shù)和函數(shù)求得。二、函數(shù)的泰勒級數(shù)1．泰勒級數(shù)定義：稱為在點的泰勒級數(shù)。

2．麥克勞林級數(shù)定義：稱為的麥克勞林級數(shù)。3．將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)(冪級數(shù))直接展開法：直接展開法是通過函數(shù)求在給定點的各階導(dǎo)數(shù)，寫出泰勒展開式。

間接展開法：間接展開法通常要先對函數(shù)進行恒等變形，然后利用已知展式（如函數(shù)，的展開式等）或利用和函數(shù)的性質(zhì)（求導(dǎo)數(shù)或積分），將函數(shù)展開成冪級數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。

求的冪級數(shù)展開式關(guān)于的冪級數(shù)對求導(dǎo)對積分令將展成的冪級數(shù)求直接展開法間接展開式對進行恒等變形能利用已知展開式令令寫出的展開式Y(jié)es關(guān)于的冪級數(shù)NoNo解題方法流程圖4．典型例題【例6】將函數(shù)