第五章相似性原理和因次分析

第五章相似性原理和因次分析§5.1量綱分析的意義和量綱和諧性原理§5.2量綱分析法§5.3相似理論基礎(chǔ)§5.4模型實(shí)驗(yàn)量綱分析的意義和量綱和諧原理量綱分析法相似理論基礎(chǔ)模型實(shí)驗(yàn)第五章量綱分析和相似原理

從哲學(xué)的角度上講，人類生命的意義是認(rèn)識(shí)自然規(guī)律、尊重自然規(guī)律、利用自然規(guī)律為人類服務(wù)。而事實(shí)上，在這個(gè)包容萬(wàn)象的大千世界中，只有少數(shù)的自然現(xiàn)象可以通過純理論研究而得到結(jié)果。

在流體力學(xué)中有不少問題目前尚不能通過數(shù)學(xué)來求解，因?yàn)樵谟行┣闆r下，可能是對(duì)過程的全部現(xiàn)象了解的還不夠，難以用微分方程來描述；而另一些情況則是微分方程組的求解困難。在這種情況下，只能依靠實(shí)踐，直接通過實(shí)驗(yàn)手段來尋找這些流動(dòng)過程的規(guī)律性。

實(shí)驗(yàn)研究對(duì)流體力學(xué)的發(fā)展具有十分重大的意義。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，實(shí)驗(yàn)越來越復(fù)雜，計(jì)算量越來越大。由于經(jīng)濟(jì)上的考慮和技術(shù)上的限制，對(duì)實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)會(huì)遇到很大困難或很難實(shí)現(xiàn)。因此，有很多問題都是在實(shí)驗(yàn)室條件下進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)研究的。物理量～簡(jiǎn)稱量，是可以定性區(qū)別和定量確定的現(xiàn)象或物體的屬性?；玖亢蛯?dǎo)出量在自然界中，物理量之間存在一定的聯(lián)系。例如，在力學(xué)現(xiàn)象中，只要適當(dāng)?shù)倪x定出三個(gè)量之后，就可依據(jù)定義或物理定律將其他兩個(gè)表示出來。這種彼此相互獨(dú)立，又可將其他量表示出來的一組物理量成為基本量。而其他的物理量成為導(dǎo)出量。§5.1量綱分析的意義和量綱和諧原理基本單位和導(dǎo)出單位在一定的單位制中，對(duì)最初選定基本量規(guī)定出他們的測(cè)量單位，稱為基本單位。導(dǎo)出量的測(cè)量單位稱為導(dǎo)出單位?！?.1量綱分析的意義和量綱和諧原理量綱某一物理量的種類稱為該物理量的量綱?；玖烤V和導(dǎo)出量綱基本量綱就是基本量的量綱。同樣導(dǎo)出量的量綱就稱為導(dǎo)出量綱。§5.1量綱分析的意義和量綱和諧原理相似理論在描述物理現(xiàn)象的用方程式表達(dá)的客觀規(guī)律已知的情況下，探求兩現(xiàn)象相似的條件。因次分析法在決定某物理現(xiàn)象的諸因素已知的條件下,根據(jù)因次和諧性就能推導(dǎo)出描述該現(xiàn)象的物理方程。§5.1量綱分析的意義和量綱和諧原理兩個(gè)物理現(xiàn)象相似兩個(gè)同一類物理現(xiàn)象，如果在對(duì)應(yīng)時(shí)、空點(diǎn)上，所有表征現(xiàn)象的相應(yīng)物理量都保持各自固定的比例關(guān)系（向量方向相同）。兩個(gè)流場(chǎng)相似若兩個(gè)流場(chǎng)的對(duì)應(yīng)時(shí)、空點(diǎn)上，所有表征現(xiàn)象的相應(yīng)物理量都保持各自固定的比例關(guān)系（向量方向相同），則稱兩個(gè)流場(chǎng)相似。相應(yīng)物理量包括幾何學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)參數(shù)?！?.1量綱分析的意義和量綱和諧原理量綱和諧性原理量綱和諧性原理是量綱分析的基礎(chǔ)。量綱和諧性原理的簡(jiǎn)單表述是：凡正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱一定是一致的，這是被無數(shù)事實(shí)證實(shí)了的客觀原理。推論：（1）凡正確反映客觀規(guī)律的物理方程，一定能表示成由無量綱項(xiàng)組成的無量綱方程。（2）量綱和諧性原理規(guī)定了一個(gè)物理過程中有關(guān)物理量之間的關(guān)系。

因次分析法就是通過對(duì)現(xiàn)象中物理量的因次以及因次之間相互聯(lián)系的分析來研究現(xiàn)象相似性的方法。它是以方程式的因次和諧性為基礎(chǔ)的。下面介紹在因次分析中十分重要的π定理。一、π定理某一物理現(xiàn)象，它涉及n個(gè)變量，其中有m個(gè)基本變量，則此n個(gè)變量間的關(guān)系?（x1，x2，…，xn）=0，可用（n-m）個(gè)無量綱的π項(xiàng)關(guān)系式來表示，即

?（π1，π2，…，πn-m）=0以上這個(gè)結(jié)論就是著名的π定理，也稱布金漢定理。§5.2

量綱分析法二、使用π定理的具體步驟（i=1,2,...,

）3）排列n-m個(gè)π項(xiàng)，如該物理現(xiàn)象中的m=3，其基本變量為x1，x2，x3，作為重復(fù)變量，則各個(gè)π項(xiàng)的組成為：1）找出影響某物理現(xiàn)象的n個(gè)獨(dú)立物理變量。2）從n個(gè)變量中選擇m個(gè)基本變量，基本變量的條件為其量綱中包括n個(gè)變量中所有的基本量綱。m一般等于這些變量所涉及的基本量綱的個(gè)數(shù)?；咀兞繎?yīng)選取最簡(jiǎn)單，最有代表性和容易測(cè)量的物理量，如物體的長(zhǎng)度，流體的密度和粘度，相對(duì)速度等。

4）根據(jù)各個(gè)π項(xiàng)必須為無量綱量的條件，決定待定指數(shù)αi、βi、γi列出具體的π項(xiàng)。5）該物理現(xiàn)象可用（n-m）)個(gè)無量綱π項(xiàng)的函數(shù)關(guān)系來表示。6）必要時(shí)，可將各π項(xiàng)相互或自相乘除，盡量使各個(gè)π項(xiàng)為一般所熟悉的純數(shù)，如雷諾數(shù)、馬赫數(shù)等。7）根據(jù)實(shí)驗(yàn)，決定具體的函數(shù)關(guān)系式?！纠}10-2】證明有壓管流中的壓強(qiáng)損失⊿p可表示為：解：根據(jù)實(shí)驗(yàn)，知道壓強(qiáng)損失⊿p與管長(zhǎng)，管徑d，管壁粗糙度K，流體運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，密度ρ和流速有關(guān)，于是有

在這7個(gè)量中，基本量綱數(shù)為3，因而可選擇三個(gè)基本變量，不妨取管徑d[d]=L平均流速[]=LT-1密度ρ[ρ]=ML-3用未知指數(shù)寫出無量綱參數(shù)πi(i=1~4）。將各量的量綱代入，寫出量綱公式對(duì)每一個(gè)寫出量綱和諧方程組分別解得：故有根據(jù)π定理，得或于是，便得式中函數(shù)的具體形式由實(shí)驗(yàn)確定。由實(shí)驗(yàn)得知，壓差與管長(zhǎng)l成正比，即有瑞利法式中某一物理量qi可表示為其他物理量的指數(shù)乘積瑞利法的基本原理是某一物理過程同幾個(gè)物理量有關(guān)寫出量綱表達(dá)式：將上述量綱表達(dá)成：按量綱和諧性原理確定指數(shù)a、b、c、……p瑞利法寫出指數(shù)乘積式例5-1求水泵輸出功率的表達(dá)式寫出量綱表達(dá)式：將上述量綱表達(dá)成：按量綱和諧性原理確定指數(shù)a、b、c瑞利法例5-1求水泵輸出功率的表達(dá)式寫出表達(dá)式：按量綱和諧性原理確定指數(shù)a、b、c解得：整理方程式：K由實(shí)驗(yàn)確定

幾何相似是指流動(dòng)空間幾何相似。即形成此空間任意相應(yīng)兩線段夾角相等，任意相應(yīng)線段長(zhǎng)度保持一定的比例。若以表示原型的特征長(zhǎng)度，以表示模型的特征長(zhǎng)度，以表示原型長(zhǎng)度與模型長(zhǎng)度的比值，稱為長(zhǎng)度比尺。即一、力學(xué)相似的基本概念力學(xué)相似是指兩個(gè)流動(dòng)現(xiàn)象中相應(yīng)點(diǎn)處的各物理量彼此之間互相平行（指向量物理量，如速度與力等），并且互相成一定的比例（指向量或標(biāo)量物理量的數(shù)值，標(biāo)量如長(zhǎng)度與時(shí)間等）。1、幾何相似§5.3相似性理論基礎(chǔ)

原型與模型相應(yīng)線段夾角必須相等，即

同理，相應(yīng)體積之比，則為長(zhǎng)度比尺的立方。顯然，兩相應(yīng)面積之比，為長(zhǎng)度比尺的平方

2、運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似是指兩流動(dòng)的對(duì)應(yīng)流線幾何相似，或者說，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的流速大小成同一比例，方向相同。所以，速度比尺為有了速度比尺和長(zhǎng)度比尺，可以根據(jù)簡(jiǎn)單的的關(guān)系得出時(shí)間比尺

3、動(dòng)力相似

動(dòng)力相似是指原型流動(dòng)和模型流動(dòng)中，要求同名力作用，且對(duì)應(yīng)的同名力互成同一比例。即力的比尺為式中參數(shù)的右下標(biāo)、P、G、I、E分別表示粘性力、壓力、重力、慣性力和彈性力。這里所提的同名力，指的是具有同一物理性質(zhì)的力。根據(jù)動(dòng)力相似，應(yīng)有一、相似準(zhǔn)則

動(dòng)力相似應(yīng)包括所有外力動(dòng)力相似，而實(shí)際上要做到這一點(diǎn)是不可能的。對(duì)于某個(gè)具體流動(dòng)來說，雖然同時(shí)作用著各種不同性質(zhì)的外力，但是它們對(duì)流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響并不是一樣的，總有一種或兩種外力居于支配地位，它們決定著流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此，在模型實(shí)驗(yàn)中，只要使其中起主導(dǎo)作用的外力滿足相似條件，就能夠保證兩流動(dòng)現(xiàn)象有基本相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這種只考慮某一種外力的動(dòng)力相似條件稱為相似準(zhǔn)則。相似數(shù)準(zhǔn)則一、相似準(zhǔn)則怎樣來達(dá)到流動(dòng)的動(dòng)力相似以保證運(yùn)動(dòng)相似呢？

設(shè)想在兩相似水流中，取兩個(gè)相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)n和m，研究?jī)少|(zhì)點(diǎn)所受粘性力、壓力、重力及慣性力。假設(shè)流體不可壓縮，則不需要考慮彈性力相似的問題。根據(jù)動(dòng)力相似條件，應(yīng)有相似數(shù)1、歐拉相似準(zhǔn)則

如果兩個(gè)相似流動(dòng)中起主導(dǎo)作用的力是壓力，那么要在壓力作用下使原型與模型流動(dòng)動(dòng)力相似,則

由于慣性力相似與運(yùn)動(dòng)相似直接相關(guān)，我們把以上的關(guān)系式分別寫為和慣性力相聯(lián)系的下列等式；；

假定在原型水流中所取的質(zhì)點(diǎn)是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)n的立方體，模型水流中所取的相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)m的立方體，則兩水流質(zhì)點(diǎn)所受壓差作用分別為和。這里采用壓差⊿p而不用壓強(qiáng)，是因?yàn)閴毫κ潜砻媪?，作用于質(zhì)點(diǎn)的有效壓力是質(zhì)點(diǎn)兩表面的壓差而不是壓力。

作用在兩立方體上的慣性力分別為于是，可得和以符號(hào)表示比值，得

稱為流動(dòng)的歐拉數(shù)。故歐拉數(shù)表征壓力（差）和慣性力的相對(duì)比值。原型水流和模型水流壓力和慣性力的相似關(guān)系可以寫為這就是壓力相似準(zhǔn)則，或稱為歐拉相似準(zhǔn)則。以符號(hào)Fr表示比值，則有

稱為流動(dòng)的弗諾德數(shù)。弗諾德數(shù)表征慣性力與重力的相對(duì)比值。2、弗諾德相似準(zhǔn)則同理由重力相似，可以導(dǎo)出原型流動(dòng)和模型流動(dòng)的相似關(guān)系，可以寫為

3、雷諾相似準(zhǔn)則類似地，如果兩個(gè)相似流動(dòng)中起主導(dǎo)作用的是粘性力，則有以符號(hào)表示比值，即：顯然，就是前面已經(jīng)介紹的重要無量綱參數(shù)—雷諾數(shù)。雷諾數(shù)表征慣性力與黏性力之比。同樣，原型流動(dòng)與模型流動(dòng)粘性力和慣性力的相似關(guān)系可以寫為

即原型流動(dòng)和模型流動(dòng)的雷諾數(shù)相等。這就是粘性力相似準(zhǔn)則，也稱為雷諾相似準(zhǔn)則。5、馬赫相似準(zhǔn)則在高速氣流中，彈性力起主導(dǎo)作用。由彈性力相似，可導(dǎo)出式中為當(dāng)?shù)匾羲佟?/p>

這個(gè)速度的比值就是馬赫數(shù)M。它表征慣性力與彈性力之比。由此可見，彈性力相似，就是原型流動(dòng)和模型流動(dòng)的馬赫數(shù)相等，即

雷諾數(shù)和弗諾德數(shù)中都包含定性長(zhǎng)度和定性速度。因此，若使雷諾數(shù)和弗諾德數(shù)都相等，就要求原型和模型在長(zhǎng)度和速度比尺之間要保持一定關(guān)系。由雷諾數(shù)模型律，有或或?qū)懗杀瘸哧P(guān)系的形式，即§5.4

模型實(shí)驗(yàn)

在多數(shù)情況下，模型和原型采用同種類且溫度相同的流體，此時(shí)，故有

或另一方面，根據(jù)弗諾德數(shù)相等，可導(dǎo)出

顯然，對(duì)于同種、同溫的流體，若要同時(shí)滿足雷諾模型律和弗諾德模型律，則容易導(dǎo)出

這意味著模型尺寸與原型相同。因此模型實(shí)驗(yàn)就失去意義了。

即使是對(duì)于不同種的流體，若通過調(diào)整運(yùn)動(dòng)粘度比尺，使上述兩模型律同時(shí)滿足，則有

這要求在模型流動(dòng)中，采用特定粘度的流體，實(shí)際上這是很不容易實(shí)現(xiàn)的。因此，在模型律的應(yīng)用時(shí)，通常的做法是要求對(duì)流動(dòng)現(xiàn)象起決定或主導(dǎo)作用的那一個(gè)模型律相似就可以了。

【例題10-1】煤油管路上的文丘里流量計(jì)，入口直徑為300mm，喉部直徑為150mm，在1:3的模型中用水來進(jìn)行試驗(yàn)。已知煤油的比重為0.8