定態(tài)微擾論與變分法

定態(tài)微擾論與變分法第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日6.1非簡并態(tài)微擾論一、基本方程

設(shè)體系的哈密頓算符不顯含時(shí)間，則其定態(tài)薛定格方程為:

(2)(1)當(dāng)比較復(fù)雜，方程(1)難求解時(shí)，將寫成：(3)其中是基本部分，與它對(duì)應(yīng)的本征值和本征函數(shù)由以下方程求出第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日

(4)(5)(6)將以上幾式代入（1）式得：而相對(duì)很小，可視為加在上的微擾。為求方程的近似解，我們引入一個(gè)很小的實(shí)數(shù)，并將表示為相應(yīng)地,將和表為實(shí)參數(shù)的級(jí)數(shù)：(7)第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日

將(7)式展開，兩邊得到一個(gè)均為的冪級(jí)數(shù)等式，此等式成立的條件是兩邊同次冪的系數(shù)應(yīng)相等，于是得到下面一系列方程：::::(12)(13)

由這組方程可以逐級(jí)求得其各級(jí)修正項(xiàng)，即求得能量和波函數(shù)的近似解為：第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日為一級(jí)修正，為二級(jí)修正為級(jí)修正(14)其中：二、零級(jí)近似的解因的本征值和本征函數(shù)可以全部求出：第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日三、一級(jí)修正由（15）式可知，當(dāng)非簡并時(shí)，的本征函數(shù)只有一個(gè)，它就是波函數(shù)的零級(jí)近似。（設(shè)是歸一化的）。以左乘（9）式兩邊，并對(duì)整個(gè)空間積分得：（16）注意到是厄米算符，是實(shí)數(shù)，則有（17）能量的一級(jí)修正值等于在態(tài)中的平均值。再注意的正交歸一性，由（16）式得第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日已知后，由（９）式可求波函數(shù)的一級(jí)修正。

將按的本征函數(shù)系展開

根據(jù)態(tài)迭加原理，展開系數(shù)可為任意常數(shù)，故可以選取，使得展開式中不含項(xiàng)，即使，則上展開式可改寫為：或?qū)懗桑?/p>

(18)第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日

代入（9）式得（19）以左乘，并積分，并注意的正交歸一性得到：（20）令微擾矩陣元

（21）

則:（22）

第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日代入（18）式，得波函數(shù)的一級(jí)修正為（23）四、高級(jí)修正（能量的二級(jí)修正）作展開：

將(24)代入（10）式，可得到第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日于是，能量的二級(jí)近似為：波函數(shù)的一級(jí)近似為：（２5）（２6）波函數(shù)的二級(jí)修正（２7）（２8）第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日將(27)、(28)代入（10）式，可得其中用乘以上式，再積分，并利用第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日

總結(jié)上述，在非簡并情況下，受擾動(dòng)體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：微擾理論適用條件欲使兩式有意義，則要求兩級(jí)數(shù)收斂。第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題許多物理問題可化為二能級(jí)系統(tǒng)a,b,A,B為實(shí)數(shù)，且a,b<<A,B(1)求能級(jí)的精確值(2)用微擾公式寫出能級(jí)（二級(jí)近似）并與(1)的結(jié)果比較第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題一維諧振子受到微擾作用試用微擾論公式計(jì)算能級(jí)變化。第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日6.2簡并態(tài)微擾論

假設(shè)是簡并的，即對(duì)于的本征值有多個(gè)本征函數(shù)如何選擇零級(jí)近似波函數(shù)呢？為了確定，依照非簡并微擾論的方法。將（2）代入第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日

以左乘上式兩邊，并對(duì)整個(gè)空間積分，由于的厄米性質(zhì)式中,是對(duì)應(yīng)于同一本征值的本征函數(shù)。是利用了即要求是正交歸一的。第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日（3）式是以系數(shù)為未知量的一次齊次方程組。有不全為零的解的條件是第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日解這個(gè)方程可以得到能量一級(jí)修正的個(gè)根(1).若的個(gè)根都不相等，則一級(jí)微擾將簡并度完全消除；如果要求二級(jí)修正，再應(yīng)用非簡并微擾方法進(jìn)行。(2).若的個(gè)根部分相等，則簡并度部分解除，這時(shí)須再次利用簡并微擾法考慮能量二級(jí)修正才有可能進(jìn)一步解除簡并，依次進(jìn)行下去，直到簡并度完全消除。

(３).若的個(gè)根完全相等，則一級(jí)微擾不能消除簡并，必須繼續(xù)利用簡并微擾法考慮高階修正。第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題一種冷原子有兩個(gè)能級(jí)簡并的態(tài)|1>和|2>。最近科學(xué)家在冷原子“暗態(tài)”實(shí)驗(yàn)中引入的激光場的效應(yīng)相當(dāng)于微擾哈密頓量求出該微擾引起的能量修正和對(duì)應(yīng)的本征態(tài)。第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題一維金屬中的電子受到一維周期勢V(x)的作用，a為晶格常數(shù)，現(xiàn)可將V(x)看作微擾。無微擾時(shí)電子是自由電子，波函數(shù)為L=Na，是N個(gè)離子的晶格長度。求能級(jí)的一級(jí)修正。第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題斯塔克效應(yīng)研究氫原子的第二個(gè)能級(jí)在外電場中引起的分裂。第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日6.3變分法一、基本思想是基態(tài)的能量和波函數(shù)在設(shè)是任意一個(gè)歸一化的波函數(shù):即：只有第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日（1）選取含有參量的嘗試波函數(shù)（2）（3）求出二、用變分法求體系基態(tài)能量的步驟是

試探波函數(shù)的好壞直接關(guān)系到計(jì)算結(jié)果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個(gè)固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的直覺去猜測。三、如何選取試探波函數(shù)第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日（1）根據(jù)體系Hamilton量的形式和對(duì)稱性推測合理的試探波函數(shù)；（2）試探波函數(shù)要滿足問題的邊界條件；（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應(yīng)包含一個(gè)或 多個(gè)待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；（4）若體系Hamilton量可以分成兩部分H=H0+H1，而H0的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解可作為體系的試探波函數(shù)。第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日例氦原子基態(tài)（變分法）

如圖所示，當(dāng)把核視為靜止時(shí)，氦原子的哈米頓算符可表示為：動(dòng)能勢能相互作用能第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日

在不考慮氦原子中兩個(gè)電子的相互作用能時(shí)，兩個(gè)電子在核電場中運(yùn)動(dòng)，其哈米頓算符為：

其基態(tài)本征函數(shù)可用分離變量法求得，是兩個(gè)類氫原子基態(tài)本征函數(shù)的乘積，即：第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日

在氦中兩個(gè)電子