流體力學D課件第四章

為什么要學習量綱分析與相似原理？流體力學基本方程理論方法實際問題純理論、局限性實驗方法例：實際流體伯努利方程中的水頭損失流體力學實驗設計量綱分析相似原理例：選擇合適的變量進行考察

例：水閘、水壩的模型實驗互相補充4量綱分析與相似原理(4-1)SI制中的基本量綱：4.1量綱與物理方程的量綱齊次性1.物理量的量綱（何為量綱？）導出量綱：用基本量綱的冪次表示。dim

m=

M

,

dim

l=L

,

dim

t=T物理量大小類別導出量綱工程單位制國際單位制英

制單位制量綱基本量綱量綱冪次式4量綱分析與相似原理應變率

角速度，角加速度

其他量粘度，運動粘度壓強，應力，彈性模量力，力矩密度，重度體積流量，質量流量

速度，加速度

常用量

4量綱與物理方程的量綱齊次性(4-1)常見的無量綱數(shù)：應變，相對體積變化量能量，功，熱動量，動量矩慣性矩，慣性積4量綱與物理方程的量綱齊次性(4-1)在研究一個物理過程時，通常把該問題涉及到的物理量有選擇的進行組合，有些組合量的量綱為一，也稱無量綱數(shù)。2.量綱一的量（無量綱數(shù)）無量綱數(shù)的特點：量綱冪次式中的指數(shù)為零；無單位；量值與所采用的單位制無關。

——由以上可初步看出，無量綱數(shù)是更反映物理過程內在本質的量。同一方程中各項的量綱必須相同。用基本量綱的冪次式表示時，每個基本量綱的冪次應相等，稱為量綱齊次性。3.量綱齊次性原理如：理想流體的伯努利方程4量綱與物理方程的量綱齊次性(4-1)沿流線歐拉運動微分方程管內不同截面處的速度關系可由連續(xù)性方程建立忽略重力的伯努利方程4.物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）將其進行無量綱化?

在直圓管流動中代入無量綱化的伯努利方程?

以上結果對任何來流速度，任何大小的圓管都適用。4量綱與物理方程的量綱齊次性(4-1)

——理想流體沿變直徑的圓管作恒定流動時，任一截面上的壓強系數(shù)僅由該處的無量綱管徑決定。4.2量綱分析與П定理量綱分析的要點：一個方程中各項的量綱必須齊次；

一個流動過程中各物理量在量綱上存在相互制約關系，可以按量綱齊次性原理作分析。

量綱分析法主要用于分析物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律，通過對有關的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無量綱形式的組合量，用無量綱參數(shù)之間的關系代替有量綱的物理量之間的關系，揭示物理量之間在量綱上的內在聯(lián)系，降低變量數(shù)目，用于指導理論分析和實驗研究。

4量綱分析與П定理(4-2)4.2.0瑞利法示例：課本例題4-1、4-2x1=φ(x

2，x3,……,xn)

П1=f(П2,П3,……,Пn-r

)

提議用量綱分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎的是布金漢（E.Buckingham,1914):4.2.1П定理Π定理方

法內容n個物理量r個獨立基本量n-r個導出量選r個獨立基本量組成n-r個獨立Π數(shù)量綱分析法4量綱分析與П定理(4-2)4.2.2量綱分析法一般步驟：以球體繞流為例第1步、列舉所有相關的物理量。第2步、選擇包含不同基本量綱的物理量為基本量（或稱為 重復量，取3個）。

第3步、將其余的物理量作為導出量，分別與基本量的冪次式 組成П表達式。阻力密度速度直徑粘度系數(shù)選ρ

、V

、d導出量即

、μ

4量綱分析與П定理(4-2)第4步、用量綱冪次式求解每個П表達式中的指數(shù)，組成П數(shù)。

解得

a1=-1,b1=-2,c1=-2（CD

稱為阻力系數(shù)）4量綱分析與П定理(4-2)解得:a2=-1,b2=-1,c2=-1

（Re為雷諾數(shù)）第5步、用П數(shù)組成新的方程。П1=f(П2)

4量綱分析與П定理(4-2)量綱分析優(yōu)點FDFDFDVdFD4量綱分析與П定理(4-2)

不可壓縮牛頓粘性流體在內壁光滑的直圓管中作定常流動，分析壓強降低與相關物理量的關系。

[例4.2.1]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟

解：1．列舉物理量。Δp，V，d，ρ，μ，l，共6個2．選擇基本量：ρ、V、d

3．列П表達式求解П數(shù)①П1=ρa

Vbd

cΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–2)[例4.2.1]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟解得：

a=-1,b=-2,c=0（歐拉數(shù)）②

П2

=ρabbccμ

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–1)

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–2)[例4.2.1]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟

解得：a=b=c=-1

(雷諾數(shù))M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–1)

④

П3=ρa

Vbd

cl

(同上)

（幾何比數(shù)）

[例4.2.1]粗糙管中粘性流動的壓降：量綱分析一般步驟

4．列П數(shù)方程即或歐拉數(shù)雷諾數(shù)幾何比數(shù)不可壓縮流體在重力作用下從三角堰中定常泄流，求泄流量的表達式。[例4.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較2．選擇基本量：ρ、g、h

3．列П表達式求解П數(shù)解：1．列舉物理量。Q,ρ，g，h

，

共5個①

M0L0T0=(ML–3)a(LT–2)bLc(L3T–1)

[例4.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較解得：a=0,b=-1/2,c=-5/24．列П數(shù)方程П1=f(П2)

②（弧度，無量綱）[例4.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較或討論：①結果表明Q與ρ無關，與h成5/2次方關系。與第三章中例12所得的解析式一致，解析式為②對一孔口角已確定的三角堰，(c)式已明確地表達了Q與h的理論關系，在這里量綱分析結果與解析解起同樣的作用。

由實驗確定(c)

4.3流動相似與相似準則幾何相似同類現(xiàn)象相似現(xiàn)象4.3.1流動相似性流動相似形狀相似尺度成比例遵循同一方程物理量成比例尺度成比例時間成比例速度成比例力成比例幾何相似時間相似運動相似動力相似4.3流動相似與相似準則4.3.2相似準則矩形相似稱為無量綱邊長，h為特征長度。的數(shù)值代表所有相似矩形的特征（長寬比），稱為相似準則數(shù)。數(shù)相等的矩形相似。4.3流動相似與相似準則流動相似（以機翼繞流為例）當F為粘性力，

為粘性流動動力相似準則數(shù)以慣性力為特征力1)幾何相似準則數(shù)：2)

運動相似準則數(shù)：以

為特征速度3)

動力相似準則數(shù)：當F為重力，

為重力流動動力相似準則數(shù)4.3流動相似與相似準則以b

為特征長度4.3.3相似準則數(shù)的確定1.量綱分析法對不可壓縮粘性流體的流動：ρ，V，l，μ，g，Δp

雷諾數(shù)

優(yōu)點：適用未知物理方程的流動。缺點：選準物理量較難，物理意義不明確。4.3流動相似與相似準則歐拉數(shù)

幾何比數(shù)

2.物理法則分析法

根據(jù)物理法則或物理定律用特征物理量表示各種力的量級，用這些力的量級比值構成相似準則數(shù)。與流體元尺度相應的特征物理量

l與流體元速度相應的特征速度

V與流體元質量相應的特征質量

與流體元粘性相應的粘度

與流體元壓強相應的壓強差

4.3流動相似與相似準則遷移慣性力粘性力重力4.3流動相似與相似準則遷移慣性力壓差力優(yōu)點：導出的相似準則數(shù)物理意義明確；缺點：當無法判定控制流動的物理定律時不能運用。適用于未知物理方程的流動。4.3流動相似與相似準則氣體高速運動時的壓縮性可用體積彈性模量K表示；在毛細管液面上的表面張力用表面張力σ表示。[例4.3.1]用物理法則確定Ma數(shù)和We數(shù)(2-1)馬赫數(shù)Ma定義為試用物理法則法確定（1）馬赫數(shù)Ma（慣性力與壓縮力的量級比值）（2）韋伯數(shù)We（慣性力與表面張力的量級比值）壓縮力＝解：因

按物理法則法

[例4.3.1]用物理法則確定Ma數(shù)和We數(shù)(2-2)表面張力=。韋伯數(shù)定義為4.3.4常用的相似準則數(shù)1.Re

數(shù)(雷諾數(shù))

低雷諾數(shù)粘性流動平板邊界層外流速度距前緣距離鈍體繞流

來流速度截面寬度圓管流動

平均流速管直徑

V

l區(qū)分管內粘性流動層流與湍流態(tài)邊界層外無粘流邊界層內以

為界區(qū)分層流與湍流態(tài)4.3流動相似與相似準則2.Fr

數(shù)(弗勞德數(shù))明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船長

V

l

Fr

數(shù)是描述具有自由液面的液體流動時最重要的無量綱參數(shù)。如水面船舶的運動和明渠流中的水流。4.3流動相似與相似準則3.

Eu

數(shù)(歐拉數(shù))p可以是某一點的特征壓強，也可以是兩點的壓強差；V為特征速度，ρ為流體密度。在描述壓強差時，Eu數(shù)常稱為壓強系數(shù)當在液體流動中局部壓強低于當?shù)卣羝麎簭?/p>

pv

時，Eu

數(shù)又稱為空泡數(shù)或空蝕系數(shù)

4.3流動相似與相似準則4．Ma數(shù)（馬赫數(shù)）

Ma=V/c

V

為特征速度，c為當?shù)芈曀佟?/p>

Ma

數(shù)表示了慣性力與壓縮力之量級比，主要用于高速氣流，當0.3<Ma<1時氣體的速度小于聲速（亞聲速），Ma=1時氣體速度等于聲速（跨聲速），Ma>1時氣體速度大于聲速(超聲速）。

5．We

數(shù)（韋伯數(shù)）

σ為液體的表面張力。

4.3流動相似與相似準則6．Ne

數(shù)（牛頓數(shù)）

F為外力，Ne

數(shù)表示外力與流體慣性力之量級比，用于描述運動物體在流體中產生的阻力、升力、力矩和（動力機械的）功率等等影響。當F

為阻力FD時，Ne

數(shù)稱為阻力系數(shù)

We數(shù)表示慣性力與表面張力之量級比，研究氣液，液液及液固交界面上的表面張力作用。

4.3流動相似與相似準則什么是模型實驗？

4.4模型實驗與相似原理4.4.1模型實驗

模型實驗通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實際發(fā)生的物理現(xiàn)象的實驗。實際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象。模型實驗的側重點是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質。只有保證模型實驗和原型中流動現(xiàn)象的物理本質相同，模型實驗才是有價值的。2．為什么要進行模型實驗？

直接對原型做實驗既不經濟又不方便

，在生產設計過程中也需要模型實驗

。4.4模型實驗與相似原理

并不是所有的流動現(xiàn)象都需要做模型實驗。能做理論分析或數(shù)值模擬的流動現(xiàn)象都不必做大量的模擬實驗。

并不是所有的流動現(xiàn)象都能做模型實驗。只有對其流動現(xiàn)象有充分的認識，并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，但還不能對其作理論分析或數(shù)值模擬的原型最適合做模型實驗。

4.4.2相似原理

Π定理指出，描述原型流動現(xiàn)象的方程可化為若干個獨立的Π數(shù)的方程Π1=f(Π2,Π3,……Πn

)也適用于相似的模型現(xiàn)象（下標m）

Π1m=f(Π2m,Π3m,……Πnm

)4.4模型實驗與相似原理這就是模型實驗的相似原理.(4.4.1)式稱為相似條件，(4.4.2)式稱為相似結果。

在相似條件中找出支配流動現(xiàn)象的主要條件，該條件中的Π數(shù)是由支配流動現(xiàn)象的主要物理法則導出的相似準則數(shù)，稱為主相似準則數(shù)，或簡稱為主Π數(shù)。在幾何相似的條件下，保證模型和原型現(xiàn)象中的主Π數(shù)相等，就能保證模型和原型現(xiàn)象相似，并使除主Π數(shù)外的其他相關Π數(shù)也相等。

當

Π2m=Π2，Π3m=Π3，……，Πnm=Πn

(4.4.1)

Π1=Π1m

(4.4.2)得4.4模型實驗與相似原理一塊長×寬=l×h

的光滑矩形板，迎面在粘度為μ的流體中以速度

V作勻速運動，如圖示。用按一定比例縮小的模型作模型實驗，并測量其運動阻力

FDm。[例4.4.1]矩形板繞流阻力：相似原理試討論模型與原型相似的條件和結果。解：設矩形板繞流阻力FD=f(ρ,μ,V,l,h)以ρ，V，h為基本量，Π數(shù)方程為式中

為主Π數(shù)

.(a)

式既適用于原型也適用于模型，在模型中(a)根據(jù)相似原理，為保證模型和原型的流動相似，必須滿足相似條件

[例4.4.1]矩形板繞流阻力：相似原理其中(d)式稱為幾何相似條件，當比例尺確定后，矩形的長和寬按比例縮小。(c)式稱為動力相似條件，當選擇實驗流體的密度和粘度分別為ρm

和μm

后，由(c)式確定速度條件Vm

：

(c)和(d)(e)在模型實驗中測得模型的阻力為FDm

，由(f)式計算原型的阻力為[例4.4.1]