高考二輪小專題-圓錐曲線題型歸納

...wd......wd......wd...高考二輪小專題：圓錐曲線題型歸納根基知識：1．直線與圓的方程；2．橢圓、雙曲線、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程公式；3．橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)等相關(guān)知識：、、、、、漸近線?；痉椒ǎ捍ㄏ禂?shù)法：求所設(shè)直線方程中的系數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)方程中的待定系數(shù)、、、、等等；齊次方程法：解決求離心率、漸近線、夾角等與比值有關(guān)的問題；韋達定理法：直線與曲線方程聯(lián)立，交點坐標(biāo)設(shè)而不求，用韋達定理寫出轉(zhuǎn)化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韋達定理，而直接計算出兩個根；點差法：弦中點問題，端點坐標(biāo)設(shè)而不求。也叫五條等式法：點滿足方程兩個、中點坐標(biāo)公式兩個、斜率公式一個共五個等式；距離轉(zhuǎn)化法：將斜線上的長度問題、比例問題、向量問題轉(zhuǎn)化水平或豎直方向上的距離問題、比例問題、坐標(biāo)問題；基本思想：1．“常規(guī)求值〞問題需要找等式，“求范圍〞問題需要找不等式；2．“是否存在〞問題當(dāng)作存在去求，假設(shè)不存在那么計算時自然會無解；3．證明“過定點〞或“定值〞，總要設(shè)一個或幾個參變量，將對象表示出來，再說明與此變量無關(guān)；4．證明不等式，或者求最值時，假設(shè)不能用幾何觀察法，那么必須用函數(shù)思想將對象表示為變量的函數(shù)，再解決；5．有些題思路易成，但難以實施。這就要優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化〞的經(jīng)歷；6．大多數(shù)問題只要忠實、準(zhǔn)確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。一、求直線、圓錐曲線方程、離心率、弦長、漸近線等常規(guī)問題7.【2015高考重慶，理10】設(shè)雙曲線〔a>0,b>0〕的右焦點為1，過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D.假設(shè)D到直線BC的距離小于，那么該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是〔〕A、B、C、D、【答案】A【考點定位】雙曲線的性質(zhì).【名師點晴】求雙曲線的漸近線的斜率取舍范圍的基本思想是建設(shè)關(guān)于的不等式，根據(jù)條件和雙曲線中的關(guān)系，要據(jù)題中提供的條件列出所求雙曲線中關(guān)于的不等關(guān)系，解不等式可得所求范圍．解題中要注意橢圓與雙曲線中關(guān)系的不同．10.【2015高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，，，其中點，在拋物線上，點在軸上，那么與的面積之比是〔〕A.B.C.D.【答案】A.【考點定位】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【名師點睛】此題主要考察了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于中檔題，解題時，需結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這一性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點的距離求解，在平面幾何背景下考察圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點，在復(fù)習(xí)時不能遺漏相應(yīng)平面幾何知識的復(fù)習(xí).12.【2015高考北京，理10】雙曲線的一條漸近線為，那么．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，，,那么【考點定位】此題考點為雙曲線的幾何性質(zhì)，正確利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，利用已給漸近線方程求參數(shù).【名師點睛】此題考察雙曲線的幾何性質(zhì)，重點考察雙曲線的漸近線方程，此題屬于根基題，正確利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，求漸近線方程的簡單方法就是把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1〞改“0〞，利用漸近線方程，求出參數(shù)的值.11.【2015高考新課標(biāo)2，理11】A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，那么E的離心率為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為，如以下列圖，，，過點作軸，垂足為，在中，，，故點的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得，即，所以，應(yīng)選D．【考點定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)．【名師點睛】此題考察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)、解直角三角形知識，正確表示點的坐標(biāo)，利用“點在雙曲線上〞列方程是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．18.【2015高考新課標(biāo)2，理20】〔此題總分值12分〕橢圓,直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，，線段的中點為．(Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；〔Ⅱ〕假設(shè)過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形假設(shè)能，求此時的斜率，假設(shè)不能，說明理由．【答案】(Ⅰ)詳見解析；〔Ⅱ〕能，或．【解析】(Ⅰ)設(shè)直線，，，．將代入得，故，．解得，．因為，，，所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形．【考點定位】1、弦的中點問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系．【名師點睛】(Ⅰ)題中涉及弦的中點坐標(biāo)問題，故可以采取“點差法〞或“韋達定理〞兩種方法求解：設(shè)端點的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦的中點和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求弦的中點，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；〔Ⅱ〕根據(jù)(Ⅰ)中結(jié)論，設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得坐標(biāo)，利用以及直線過點列方程求的值．23,【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.〔I〕求E的離心率e；〔=2\*ROMANII〕設(shè)點C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標(biāo)為，求E的方程.【答案】〔I〕；〔=2\*ROMANII〕.【考點定位】1.橢圓的離心率；2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.點點關(guān)于直線對稱的應(yīng)用.【名師點睛】橢圓一直是解答題中考察解析幾何知識的重要載體，不管對其如何進展改編與設(shè)計，抓住根基知識、考基本技能是不變的話題.解析幾何主要研究兩類問題：一是根據(jù)條件確定曲線方程，二是利用曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì).曲線方程確實定可分為兩類：假設(shè)曲線類型，那么采用待定系數(shù)法；假設(shè)曲線類型未知時，那么可利用直接法、定義法、相關(guān)點法等求解.此題是第一種類型，要利用給定28.【2015高考陜西，理20】〔本小題總分值12分〕橢圓〔〕的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為．〔I〕求橢圓的離心率；〔II〕如圖，是圓的一條直徑，假設(shè)橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程．【答案】〔I〕；〔II〕．【解析】試題分析：〔I〕先寫過點，的直線方程，再計算原點到該直線的距離，進而可得橢圓的離心率；〔II〕先由〔I〕知橢圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進而可得，再利用可得的值，進而可得橢圓的方程．試題解析：〔I〕過點，的直線方程為，學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)那么原點到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由〔I〕知，橢圓的方程為.(1)依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)那么由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.解法二：由〔I〕知，橢圓的方程為.(2)考點：1、直線方程；2、點到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.【名師點晴】此題主要考察的是直線方程、點到直線的距離公式、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、橢圓的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系和直線與圓錐曲線的位置，屬于難題．解題時一定要注意考慮直線的斜率是否存在，否那么很容易失分．解此題需要掌握的知識點是截距式方程，點到直線的距離公式和橢圓的離心率，即截距式方程〔在軸上的截距，在軸上的截距〕，點到直線的距離，橢圓〔〕的離心率．25.【2015高考重慶，理21】如題〔21〕圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且〔1〕假設(shè)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程〔2〕假設(shè)求橢圓的離心率【答案】〔1〕；〔2〕【解析】試題解析：〔1〕此題中橢圓上的一點到兩焦點的距離，因此由橢圓定義可得長軸長，即參數(shù)的值，而由，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；〔2〕要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于的一個等式，題中涉及到焦點距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)，那么，，于是有，這樣在中求得，在中可建設(shè)關(guān)于的等式，從而求得離心率.(1)由橢圓的定義，學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)設(shè)橢圓的半焦距為c，由，因此即從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解法一：如圖(21)圖，設(shè)點P在橢圓上，且，那么求得由,得,從而由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此于是解得.【考點定位】考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì).，直線和橢圓相交問題，考察運算求解能力．【名師點晴】確定圓錐曲線方程的最基本方法就是根據(jù)條件得到圓錐曲線系數(shù)的方程，解方程組得到系數(shù)值．注意在橢圓中c2＝a2－b2，在雙曲線中c2＝a2＋b2.圓錐曲線基本問題的考察的另一個重點是定義的應(yīng)用；求橢圓與雙曲線的離心率的基本思想是建設(shè)關(guān)于a，b，c的方程，根據(jù)條件和橢圓、雙曲線中a，b，c的關(guān)系，求出所求的橢圓、雙曲線中a，c之間的比例關(guān)系，根據(jù)離心率定義求解．如果是求解離心率的范圍，那么需要建設(shè)關(guān)于a，c的不等式．【2015高考湖南，理13】設(shè)是雙曲線：的一個焦點，假設(shè)上存在點，使線段的中點恰為其虛軸的一個端點，那么的離心率為.【答案】.【考點定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì).【名師點睛】此題主要考察了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于容易題，根據(jù)對稱性將條件中的信息進展等價的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，在求解雙曲線的方程時，主要利用，焦點坐標(biāo)，漸近線方程等性質(zhì)，也會與三角形的中位線，相似三角形，勾股定理等平面幾何知識聯(lián)系起來.【2015高考上海，理9】點和的橫坐標(biāo)一樣，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線和．假設(shè)的漸近線方程為，那么的漸近線方程為．【答案】【考點定位】雙曲線漸近線【名師點睛】(1)漸近線方程y＝mx，假設(shè)焦點位置不明確要分或討論．(2)與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；(3)假設(shè)漸近線方程為，那么可設(shè)為；(4)相關(guān)點法求動點軌跡方程．16.【2015高考山東，理15】平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點，假設(shè)的垂心為的焦點，那么的離心率為.【答案】【解析】設(shè)所在的直線方程為,那么所在的直線方程為,解方程組得：，所以點的坐標(biāo)為,拋物線的焦點的坐標(biāo)為:.因為是的垂心，所以,所以，.所以，.【考點定位】1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【名師點睛】此題考察了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考察學(xué)生對圓錐曲線基本問題的把握以及分析問題解決問題的能力以及基本的運算求解能力，三角形的垂心的概念以及兩直線垂直的條件是突破此題的關(guān)鍵.點評：常規(guī)求值問題的方法：待定系數(shù)法，先設(shè)后求，關(guān)鍵在于找等式。二、“是否存在〞問題29.【2015高考新課標(biāo)1，理20】在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線(＞0)交與M,N兩點，〔Ⅰ〕當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；〔Ⅱ〕y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN說明理由.【答案】〔Ⅰ〕或〔Ⅱ〕存在【解析】試題分析：〔Ⅰ〕先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.〔Ⅱ〕先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點坐標(biāo).試題解析：〔Ⅰ〕由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)，即.故在=-處的到數(shù)值為-，C在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.……5分〔Ⅱ〕存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P〔0，b〕為復(fù)合題意得點，，，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴.∴==.當(dāng)時，有=0，那么直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.……12分【考點定位】拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運算求解能力【名師點睛】對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，常用設(shè)而不求思想，即設(shè)出直線方程代入圓錐曲線方程化為關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出交點坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系，將交點的橫坐標(biāo)之和與積一元二次方程的系數(shù)表示出來，然后根據(jù)題中的條件和所求結(jié)論，選擇適宜的方法進展計算，注意題中條件的合理轉(zhuǎn)化，如此題中，將角∠OPM=∠OPN一樣轉(zhuǎn)化為直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，進而轉(zhuǎn)化為直線PM的斜率與直線PN的斜率之和為0，再將其坐標(biāo)化，即可列出方程，解析幾何題思路固定，字母運算復(fù)雜，需要細(xì)心和耐心.30.【2015高考北京，理19】橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點．〔Ⅰ〕求橢圓的方程，并求點的坐標(biāo)〔用，表示〕；〔Ⅱ〕設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點．問：軸上是否存在點，使得假設(shè)存在，求點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．【答案】(1),,(2)存在點考點：1.求橢圓方程；2.求直線方程及與坐標(biāo)軸的交點；3.存在性問題.【名師點睛】此題考察直線和橢圓的有關(guān)知識及解存在性命題的方法，此題屬于中偏難問題，思維量和運算量均有，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程，利用直線方程的斜截式寫出直線方程，求出點M、N的坐標(biāo)，利用直角三角形內(nèi)銳角三角函數(shù)正切定義求出，根據(jù)二者相等，解出Q點坐標(biāo)，說明存在點符合條件的點Q.三、過定點、定值問題26.【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過點P〔0,1〕的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.(1)求橢圓E的方程；〔2〕在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立假設(shè)存在，求出點Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔1〕；〔2〕存在，Q點的坐標(biāo)為.【解析】〔1〕由，點在橢圓E上.因此，解得.所以橢圓的方程為.學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)〔2〕當(dāng)直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點.如果存在定點Q滿足條件，那么，即.所以Q點在y軸上，可設(shè)Q點的坐標(biāo)為.當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點.那么，由，有，解得或.所以，假設(shè)存在不同于點P的定點Q滿足條件，那么Q點的坐標(biāo)只可能為.下面證明：對任意的直線，均有.當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為.聯(lián)立得.其判別式，所以，.因此.易知，點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為.【考點定位】此題考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等根基知識，考察推理論證能力、運算求解能力，考察數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.【名師點睛】高考中解幾題一般都屬于難題的范疇，考生應(yīng)立足于拿穩(wěn)第〔1〕題的分和第〔2〕小題的步驟分.解決直線與圓錐曲線相交的問題，一般是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解答.此題是一個探索性問題，對這類問題一般是根據(jù)特殊情況找出結(jié)果，然后再證明其普遍性.解決此題的關(guān)鍵是通過作B的對稱點將問題轉(zhuǎn)化.【2015高考湖南，理20】拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.〔1〕求的方程；〔2〕過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向〔ⅰ〕假設(shè)，求直線的斜率〔ⅱ〕設(shè)在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形【答案】〔1〕；〔2〕〔i〕，〔ii〕詳見解析.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)條件可求得的焦點坐標(biāo)為，再利用公共弦長為即可求解；〔2〕〔i〕設(shè)直線的斜率為，那么的方程為，由得，根據(jù)條件可知，從而可以建設(shè)關(guān)于的方程，即可求解；〔ii〕根據(jù)條件可說明，因此是銳角，從而是鈍角，即可得證試題解析：〔1〕由：知其焦點的坐標(biāo)為，∵也是橢圓的一焦點，∴①，又與的公共弦的長為，與都關(guān)于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標(biāo)為，∴②，聯(lián)立①，②，得，，故的方程為；〔2〕如圖，，，，，〔i〕∵與同向，且，∴，從而，即，于是③，設(shè)直線的斜率為，那么的方程為，由得，而，是這個方程的兩根，∴，④，由得【考點定位】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓位置關(guān)系.【名師點睛】此題主要考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題，解決此類問題的關(guān)鍵：〔1〕結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，如焦點坐標(biāo)，對稱軸，等；〔2〕當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯〞出來，有時不一定要把結(jié)果及時求出來，可能需要整體代換到后面的計算中去，從而減少計算量.【2015高考上海，理21】橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.〔1〕設(shè)，，用、的坐標(biāo)表示點到直線的距離，并證明；〔2〕設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.【答案】〔1〕詳見解析〔2〕【解析】證明：〔1〕直線，點到的距離.，所以.解：〔2〕設(shè)，那么.設(shè)，.由，得.同理.由，，整理得.【考點定位】直線與橢圓位置關(guān)系【名師點睛】解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建設(shè)方程，解決相關(guān)問題．涉及弦長問題利用弦長公式解決，往往會更簡單．三角形面積公式的選用也是解題關(guān)鍵.點評：證明定值問題的方法：⑴常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。處理定點問題的方法：⑴常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明。最值問題17.【2015江蘇高考，12】在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個動點。假設(shè)點到直線的距離大于c恒成立，那么是實數(shù)c的最大值為.【答案】【解析】設(shè)，因為直線平行于漸近線，所以點到直線的距離恒大于直線與漸近線之間距離，因此c的最大值為直線與漸近線之間距離，為【考點定位】雙曲線漸近線，恒成立轉(zhuǎn)化【名師點晴】漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：(1)與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；(2)假設(shè)漸近線方程為，那么可設(shè)為；(3)雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；(4)的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大小．另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是確定極端或極限位置.22.【2015高考山東，理20】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以QUOTEQUOTE為圓心以3為半徑的圓與以QUOTE為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的方程；〔Ⅱ〕設(shè)橢圓，QUOTE為橢圓QUOTE上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線QUOTE交橢圓于點.(i)求QUOTE的值；〔ii〕求面積的最大值.【答案】〔I〕；〔II〕(i)2；〔ii〕.試題解析：〔I〕由題意知，那么,又可得,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.〔II〕由〔I〕知橢圓E的方程為,〔i〕設(shè)，，由題意知因為,又，即,所以，即.〔ii〕設(shè)將代入橢圓E的方程，可得由，可得…………①那么有所以因為直線與軸交點的坐標(biāo)為所以的面積令,將代入橢圓C的方程可得由，可得…………②由①②可知因此,故當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值由〔i〕知，面積為,所以面積的最大值為.【考點定位】1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓位置關(guān)系綜合問題；3、函數(shù)的最值問題.【名師點睛】此題考察了橢圓的概念標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考察學(xué)生理解力、分析判斷能力以及綜合利用所學(xué)知識解決問題能力和較強的運算求解能力，在得到三角形的面積的表達式后，能否利用換元的方法，觀察出其中的函數(shù)背景成了完全解決問題的關(guān)鍵.27.【2015高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周〔不動時，也不動〕，處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建設(shè)如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．〔Ⅰ〕求曲線C的方程；〔Ⅱ〕設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．假設(shè)直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值假設(shè)存在，求出該最小值；假設(shè)不存在，說明理由．xDxDOMNy第21第21題圖2第21題圖1【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕存在最小值8.【解析】〔Ⅰ〕設(shè)點，，依題意，第21題解答圖學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)第21題解答圖，且，所以，且即且由于當(dāng)點不動時，點也不動，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為〔Ⅱ〕〔1〕當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為或，都有.〔2〕當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，由消去，可得.因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，所以，即.①又由可得；同理可得.由原點到直線的距離為和，可得考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，最值.【名師點睛】此題以滑槽，長短桿為背景，乍一看與我們往年考的很不一樣，但是只要學(xué)生仔細(xì)讀題均能找到橢圓的,,.那么第一問就迎刃而解了，第二問仍然為圓錐曲線的綜合問題。直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考察，一直是高考考察的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考察數(shù)學(xué)思想方法的熱點題型．解題過程中要注意討論直線斜率的存在情況，計算要準(zhǔn)確．21.【2015高考浙江，理19】橢圓上兩個不同的點，關(guān)于直線對稱．〔1〕求實數(shù)的取值范圍；〔2〕求面積的最大值〔為坐標(biāo)原點〕．【答案】〔1〕或；〔2〕.試題分析：〔1〕可設(shè)直線AB的方程為，從而可知有兩個不同的解，再由中點也在直線上，即可得到關(guān)于的不等式，從而求解；〔2〕令，可將表示為的函數(shù)，從而將問題等價轉(zhuǎn)化為在給定范圍上求函數(shù)的最值，從而求解.試題解析：〔1〕由題意知，可設(shè)直線AB的方程為，由，學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)消去，得，∵直線與橢圓有兩個不同的交點，∴，①，將AB中點代入直線方程解得，②。由①②得或；〔2〕令，那么，且O到直線AB的距離為，設(shè)的面積為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故面積的最大值為.【考點定位】1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.點到直線距離公式；3.求函數(shù)的最值.【名師點睛】此題主要考察了直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點，在直線與橢圓相交背景下求三角形面積的最值，浙江理科數(shù)學(xué)試卷在2012年與2013年均有考察，可以看出是熱點問題，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個字母后利用韋達定理以及點到直線距離公式建設(shè)目標(biāo)函數(shù)，將面積問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，是常規(guī)問題的常規(guī)考法，應(yīng)熟練掌握，同時，需提高字母運算的技巧.點評：最值問題的方法：幾何法、配方法〔轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值〕、三角代換法〔轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值〕、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等。五、求參數(shù)范圍問題。常用思路：尋找不等式。將各限制條件都列出，再求交集。不要遺漏限制條件。常用建設(shè)不等式的途徑：直線與曲線有交點時判別式大于等于零；圓錐曲線中變量X、Y的取值范圍；點與曲線的位置關(guān)系，如弦的中點在曲線內(nèi)部；題設(shè)中有的范圍；正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性；均值不等式；焦半徑的取值范圍；函數(shù)的值域;三角形圖形中兩邊之和大于第三邊。4.【2015高考新課標(biāo)1，理5】M〔〕是雙曲線C：上的一點，是C上的兩個焦點，假設(shè)，那么的取值范圍是()〔A〕〔-，〕 〔B〕〔-，〕〔C〕〔，〕〔D〕〔，〕【答案】A5.【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，那么〔〕A．對任意的， B．當(dāng)時，；當(dāng)時，C．對任意的， D．當(dāng)時，；當(dāng)時，【答案】D【解析】依題意，，，因為，由于，，，所以當(dāng)時，，，，，所以；當(dāng)時，，，而，所以，所以.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.【考點定位】雙曲線的性質(zhì)，離心率.【名師點睛】分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．分類討論的時應(yīng)做到：分類不重不漏；標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要清楚；能不分類的要盡量防止或盡量推遲，決不無原那么地討論．6.【2015高考四川，理10】設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為線段AB的中點.假設(shè)這樣的直線l恰有4條，那么r的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】顯然當(dāng)直線的斜率不存在時，必有兩條直線滿足題設(shè).當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為.設(shè)，那么，相減得.由于，所以，即.圓心為，由得，所以，即點M必在直線上.將代入得.因為點M在圓上，所以.又〔由于斜率不存在，故，所以不取等號〕，所以.選D.【考點定位】直線與圓錐曲線，不等式.【名師點睛】首先應(yīng)結(jié)合圖形進展分析.結(jié)合圖形易知，只要圓的半徑小于5，那么必有兩條直線〔即與x軸垂直的兩條切線〕滿足題設(shè)，因此只需直線的斜率存在時，再有兩條直線滿足題設(shè)即可.接下來要解決的問題是當(dāng)直線的斜率存在時，圓的半徑的范圍是什么.涉及直線與圓錐曲線的交點及弦的中點的問題，常常采用“點差法〞.在此題中利用點差法可得，中點必在直線上，由此可確定中點的縱坐標(biāo)的范圍，利用這個范圍即可得到r的取值范圍.【考點定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法.【名師點睛】此題考察利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式將表示為關(guān)于點M坐標(biāo)的函數(shù)，利用點M在雙曲線上，消去x0，根據(jù)題意化為關(guān)于的不等式，即可解出的范圍，是根基題，將表示為的函數(shù)是解此題的關(guān)鍵.24.【2015高考天津，理19】〔本小題總分值14分〕橢圓的左焦點為,離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為c，.(I)求直線的斜率；(II)求橢圓的方程；(III)設(shè)動點在橢圓上，假設(shè)直線的斜率大于，求直線〔為原點〕的斜率的取值范圍.【答案】(I)；(II)；(=3\*ROMANIII).【解析】(I)由有，又由，可得，，設(shè)直線的斜率為，那么直線的方程為，由有，解得.(II)由(I)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因為點在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為(=3\*ROMANIII)設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由，得，解得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.=1\*GB3①當(dāng)時，有，因此，于是，得=2\*GB3②當(dāng)時，有，因此，于是，得綜上，直線的斜率的取值范圍是【考點定位】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2.直線和圓的位置關(guān)系；3.一元二次不等式.【名師點睛】此題主要考察橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.由勾股定理求圓的弦長，表達數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想；用數(shù)字來刻畫幾何圖形的特征，是解析幾何的精華，聯(lián)立方程組，求出橢圓中參數(shù)的關(guān)系，進一步得到橢圓方程；構(gòu)造函數(shù)求斜率取值范圍，表達函數(shù)在解