大學(xué)物理 2、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

第二章剛體轉(zhuǎn)動(dòng)2戰(zhàn)國(guó)時(shí)期開(kāi)始，轆轤在作戰(zhàn)器械、井中提水、生產(chǎn)勞動(dòng)中廣泛應(yīng)用，它們的共同特征是什么呢？引言3轉(zhuǎn)動(dòng)在生活、生產(chǎn)上的應(yīng)用。引言4轉(zhuǎn)動(dòng)在軍事、生活中的應(yīng)用。引言5

這章學(xué)習(xí)方法:對(duì)比法將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)對(duì)比

剛體：形狀與大小都不變的物體(理想模型)剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系-----質(zhì)點(diǎn)之間的距離與相對(duì)位置都保持不變。因此,第一章的質(zhì)點(diǎn)系的所有規(guī)律都可用于剛體！引言6目錄2-1轉(zhuǎn)動(dòng)的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律2-4

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2-5

工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)7剛體的運(yùn)動(dòng)分為：平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述參考線一、平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)1、平動(dòng)剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡完全相同，或剛體上的直線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總是保持平行。82-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述平動(dòng)特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，如位移、軌跡、速度、加速度等都相同。剛體作平動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將剛體看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)放在質(zhì)心，剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)看成質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。9剛體中所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

2、轉(zhuǎn)動(dòng)2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸方向不隨時(shí)間變化。非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸方向隨時(shí)間變化。10

3、剛體的一般運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成一般情況下，剛體的運(yùn)動(dòng)既有平動(dòng)，又有轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸的位置或方向都隨時(shí)間變化。例如汽車行駛過(guò)程中，車輪的運(yùn)動(dòng)是車輪平動(dòng)和車輪繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加合成。2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述平動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)車輪邊緣質(zhì)點(diǎn)的軌跡11二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述參考平面2.角位移

1.角位置3.角速度參考軸角速度大?。航俏恢脤?duì)時(shí)間求導(dǎo)：2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述在時(shí)間內(nèi),角位置的變化剛體上任意質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與參考方向的夾角：12角速度方向：角速度方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向滿足右手螺旋法則。2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述右手四指沿轉(zhuǎn)動(dòng)方向，大姆指是角速度方向，沿轉(zhuǎn)軸。4.角加速度角加速度大小：角速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：角加速度方向：角速度矢量變化方向。角速度矢量變化在時(shí)間內(nèi),角速度矢量變化13角加速度和角速度變化

Δ

同方向。2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述ΔΔ減速轉(zhuǎn)動(dòng)加速轉(zhuǎn)動(dòng)5.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)1）剛體上各質(zhì)點(diǎn)均作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)；2）各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

均相同，但不同；14

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。由勻變速圓運(yùn)動(dòng)得到剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的公式：剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述三、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)15

例題1

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動(dòng)。求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開(kāi)始后

t=6s時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度。解：（1）

t=30s

時(shí)，設(shè)。飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)：時(shí)，

t=0s

2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述16飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)（2）時(shí)，飛輪的角速度2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述17（3）時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小飛輪邊緣上一點(diǎn)的切向加速度和法向加速度大小為2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述18

石磨一般包含上下兩個(gè)石頭磨盤，在上面的磨盤上裝有一橫桿作為把手，當(dāng)人用力推動(dòng)把手時(shí)，上面的磨盤就會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)兩個(gè)磨盤之間的摩擦就可以研磨食物了。

2-1

轉(zhuǎn)動(dòng)的描述思考題1

人們?yōu)槭裁匆b一個(gè)橫桿而不是直接推動(dòng)磨盤？人在什么位置推把手才能使磨盤轉(zhuǎn)動(dòng)的迅速？人在什么位置推把手更省力？19目錄2-1轉(zhuǎn)動(dòng)的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律

2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)20P*O

剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),外力作用在剛體上點(diǎn)P,

力的作用點(diǎn)P的位矢。

一、力矩

對(duì)轉(zhuǎn)軸Z產(chǎn)生力矩為:

力矩大?。?力臂2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律=:切向力21P*O力矩方向：位矢和力的方向滿足右手螺旋2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律法則。右手四指由位矢方向轉(zhuǎn)到力

方向，大姆指是力矩方向，沿轉(zhuǎn)軸。22O2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)

j受外力

，內(nèi)力將剛體分為大量質(zhì)量元（質(zhì)點(diǎn)）！內(nèi)力是剛體其它質(zhì)點(diǎn)給的力。外力

和內(nèi)力

對(duì)轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩為：F外jt+F內(nèi)jt=Δmjɑjt=Δmjrjα

Mj=F外jtrj+F內(nèi)jtrj在切向方向，由牛頓第二定律得：（a）（b）23O2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律Mj=Δmjrj2α

由上面二式（a）和（b）得質(zhì)點(diǎn)

j受力矩為：將上式對(duì)剛體的所有質(zhì)量元求和得剛體的受力矩為：M=?Mj=?Δmjrj2α

jjM=(?Δmjrj2)α

j定義剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：（c）24

上式（c）變?yōu)?-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律所以由上式（d）（e）和（f）得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律：M=(?Δmjrj2)α=Jα

jM=?Mj是剛體各質(zhì)元受所有外力和所有內(nèi)力產(chǎn)生合外力矩和合內(nèi)力矩的和。即：M=M合外力矩+M合內(nèi)力矩

因?yàn)閯傮w各質(zhì)元受所有內(nèi)力產(chǎn)生合內(nèi)力矩為零：M合內(nèi)力矩

=0（d）（e）（f）25O2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律因?yàn)閯傮w的任意兩質(zhì)元間的內(nèi)力是等大反向，兩個(gè)內(nèi)力的力臂d相同，兩個(gè)內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩相互抵消！M合內(nèi)力矩

=0證明：26轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律對(duì)比，有：合外力矩M

對(duì)應(yīng)合外力F

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J

對(duì)應(yīng)質(zhì)量

m

角加速度

對(duì)應(yīng)加速度a轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律27三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小。由得：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的1）質(zhì)量，2）形狀，3）轉(zhuǎn)軸的位置剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律28

1）質(zhì)量分離分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

2）質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：任意質(zhì)量元求和變積分：任意質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律29O′O解：棒的線密度為，距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的任意質(zhì)元的質(zhì)量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例題2

一質(zhì)量為

、長(zhǎng)為

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。O′O討論：轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律30

補(bǔ)例1.

一質(zhì)量為、半徑為的質(zhì)量均勻或非均勻分布細(xì)圓環(huán)，求通過(guò)圓環(huán)中心O并與圓環(huán)垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。O解：圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為薄圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也為2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律任意質(zhì)元31質(zhì)量為

的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

，則對(duì)任一與質(zhì)心軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：CO2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律四、平行軸定理32

薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心與盤面垂直典型的幾種剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律lr圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸33l

細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心與棒垂直l

細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過(guò)端點(diǎn)與棒垂直2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律342r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑2r球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律35五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用解題方法和步驟：1、選取物體；2、分析物體的運(yùn)動(dòng)(物體作勻變速或變速運(yùn)動(dòng))；3、分析物體的受力和力矩（隔離物體分析受力）；4、選運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，列方程?、聯(lián)立求解方程。2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律36例題3.

一長(zhǎng)為質(zhì)量為均勻細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)。由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng)。求：細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成

角時(shí)角加速度和角速度。解：細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)桿的約束力，約束力通過(guò)轉(zhuǎn)軸O，不產(chǎn)生力矩，重力產(chǎn)生力矩。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得桿受合力矩為2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律37桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由上式得桿轉(zhuǎn)動(dòng)到時(shí)的角加速度：由角加速度的定義得：得桿轉(zhuǎn)動(dòng)到時(shí)的角速度上式積分得：2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律38m1m2mR補(bǔ)例2

已知：兩物體m1、m2（m2m1)，滑輪m、R,可看成質(zhì)量均勻的圓盤，

繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求:

物體的加速度及繩中張力。2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律39對(duì)m1有：對(duì)m2有：以加速度方向?yàn)檎较颉！窘狻课矬wm1，m2，圓盤受力如圖。

T1-m1g=m1a

----（1）

m2g-T2=m2a

----（2）2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律物體m1，m2作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，圓盤作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)。40對(duì)圓盤m，由轉(zhuǎn)動(dòng)方程得：--（3）---（4）聯(lián)立式(1)—-(4)解得：因?yàn)槔K與圓盤間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以繩的速度等于圓盤邊緣質(zhì)點(diǎn)的切向速度：2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得繩的加速度等于圓盤邊緣質(zhì)點(diǎn)的切向加速度，即：41討論

當(dāng)圓盤質(zhì)量為零時(shí):m=0，由上式得：（與中學(xué)作過(guò)的一致?。?-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律由上式得兩邊繩的張力不相等：42補(bǔ)例3

已知：如圖，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，勻加速下落時(shí)間t=3s,、繩與輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，軸光滑。求：輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=？定軸0Rthmv0=0繩α·Rma2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律【解】物體m，輪受力如圖。物體m作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，輪作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)。以加速度方向?yàn)檎较颉?3（1）·Rm（2）（3）（4）聯(lián)立式(1),(2),(3),(4)解得輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)滑輪m，由轉(zhuǎn)動(dòng)方程得對(duì)物體m，由牛2方程得2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律

m由靜止出發(fā)作勻加速運(yùn)動(dòng)，下落的距離為因?yàn)槔K與圓盤間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以繩的加速度等于輪邊緣質(zhì)點(diǎn)的切向加速度，即：44

補(bǔ)例4.

質(zhì)量為物體A靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為R、質(zhì)量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為的物體B上。滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)。求：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B從靜止落下距離

時(shí)，其速率是多少？ABC2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律45（1）（2）2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律【解】物體mA,，mB，輪受力如圖。物體mA，mB作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，輪作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)。以加速度方向?yàn)檎较?。?duì)mA有：對(duì)mB有：46對(duì)輪mC,

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：（4）（3）2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律因?yàn)槔K與輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以繩的加速度等于輪邊緣質(zhì)點(diǎn)的切向加速度，即：47(2)B由靜止出發(fā)作勻加速運(yùn)動(dòng)，下落的速率為聯(lián)立式(1),(2),(3),(4)解得：2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律48哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律思考題349目錄2-1轉(zhuǎn)動(dòng)的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律

2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)502-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律眾所周知，一個(gè)恒星系中，行星會(huì)繞恒星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球也因太陽(yáng)的萬(wàn)有引力存在于太陽(yáng)系中。芭蕾舞演員通過(guò)展示各種優(yōu)美的動(dòng)作，使人們心曠神怡。在星系與芭蕾舞演員之間似乎很難看得出有什么聯(lián)系，事實(shí)上兩者的運(yùn)動(dòng)都遵從相同的物理規(guī)律。512-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律為什么行星總能保持同樣的運(yùn)動(dòng)軌道、并總能在軌道上的某一點(diǎn)按時(shí)出現(xiàn)呢？芭蕾舞演員又是怎樣做到動(dòng)作變換的？?jī)烧叽嬖谥鯓拥穆?lián)系呢？

52平動(dòng)沖量動(dòng)量的改變轉(zhuǎn)動(dòng)沖量矩角動(dòng)量的改變

力對(duì)時(shí)間積分沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理。力矩對(duì)時(shí)間積分沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理。2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律一、角動(dòng)量1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量53

質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以速度在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻對(duì)參考點(diǎn)O

的位矢為，質(zhì)點(diǎn)對(duì)于參考點(diǎn)O的角動(dòng)量矢量定義為角動(dòng)量大?。航莿?dòng)量方向：位矢

和速度

的方向滿足右手螺旋法則。2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律54補(bǔ)例1.質(zhì)點(diǎn)以角速度作半徑為

的圓運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量大小為2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量方向：垂直圓面向上，不變。注意：質(zhì)點(diǎn)作同一運(yùn)動(dòng)，對(duì)不同參考點(diǎn)O的角動(dòng)量不同！因?yàn)棣?π/2，得質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量大小為：552、剛體的角動(dòng)量剛體由大量質(zhì)點(diǎn)組成，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量為剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的和，即2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律O剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：剛體的角動(dòng)量為二、角動(dòng)量定理剛體的角動(dòng)量和角速度同方向。562-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)受合外力為由上式兩邊叉乘位矢

得：××質(zhì)點(diǎn)受合力對(duì)參考點(diǎn)O產(chǎn)生的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O

的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。由，得：57在時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)受的沖量矩，合外力矩對(duì)時(shí)間積分。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)受對(duì)參考點(diǎn)O的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量增加量。2、剛體的角動(dòng)量定理2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律上式對(duì)時(shí)間積分得：58將質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理推廣到剛體，得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理為將剛體的角動(dòng)量定理推廣到非剛體，得非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理為2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律非剛體的角動(dòng)量定理：非剛體受對(duì)轉(zhuǎn)軸的沖量矩等于非剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量增加量。59質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)受對(duì)參考點(diǎn)O

的合外力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為恒矢量。

三、角動(dòng)量守恒定律1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為當(dāng)合力矩為零時(shí)，由上式得：2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律60非剛體的角動(dòng)量守恒：非剛體受對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí),非剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量為恒量。非剛體的角動(dòng)量定理為當(dāng)合外力矩為零時(shí)，有或2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律2、剛體和非剛體的角動(dòng)量守恒定律3、說(shuō)明

1）角動(dòng)量守恒條件：2）角動(dòng)量守恒：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

不變，剛體角速度

不變。非剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

變，非剛體角速度

變。3）角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律。有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明。2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律人是典型的非剛體，當(dāng)人旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過(guò)變化自己的動(dòng)作，來(lái)改變?nèi)梭w的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，進(jìn)而達(dá)到變化旋轉(zhuǎn)速度的目的，這是利用角動(dòng)量守恒定律。622-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律芭蕾舞蹈演員跳舞時(shí)，他或她張開(kāi)兩臂，并繞通過(guò)足尖的垂直轉(zhuǎn)軸以旋轉(zhuǎn)，當(dāng)迅速把兩臂和腿向內(nèi)收攏，這時(shí)由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變小，演員的角速度會(huì)增大，因而快速旋轉(zhuǎn)，表演出優(yōu)美的旋轉(zhuǎn)動(dòng)作。再如跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行高臺(tái)跳水比賽時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在空中蜷縮身體，使人體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變小，導(dǎo)致他在空中的翻轉(zhuǎn)加速，有盡可能多的時(shí)間調(diào)整姿態(tài)和節(jié)奏，而當(dāng)運(yùn)動(dòng)員快入水時(shí)，他則舒展身體，增加自身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，盡量停止翻轉(zhuǎn)使身體能垂直入水。63例題4.彗星繞太陽(yáng)作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。問(wèn)：（1）系統(tǒng)的角動(dòng)量是否守恒？（2）近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度誰(shuí)大？解：在彗星繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，受萬(wàn)有引力指向太陽(yáng)（參考點(diǎn)O

）。萬(wàn)有引力對(duì)參考點(diǎn)O產(chǎn)生外力矩為零：2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，彗星對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒：（參考點(diǎn)O）O64近日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義得：即2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律彗星在近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)的角動(dòng)量相等：（參考點(diǎn)O）O65補(bǔ)例1

已知衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)到地心的距離分別為R1和R2。求衛(wèi)星的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度v1，v2。R2R1v2=?v1=?解：衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒：2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律系統(tǒng)：衛(wèi)星和地球。衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，衛(wèi)星對(duì)對(duì)地心O角動(dòng)量守恒：OR1R2

R1mv1=R2mv266R2R1v2=?v1=?兩方程聯(lián)立解出衛(wèi)星的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度：2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律O67補(bǔ)例2

一長(zhǎng)為

l,質(zhì)量為

的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為、速率為的子彈射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為處。求：桿的角速

ω?解：系統(tǒng)：子彈和桿。子彈射入桿中時(shí)，子彈和桿受的向下重力通過(guò)轉(zhuǎn)軸，對(duì)轉(zhuǎn)軸O產(chǎn)生的合外力矩為零，子彈射入桿前后，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的角動(dòng)量守恒。解得桿的角速為2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

ω子彈射入桿前角動(dòng)量子彈射入桿后角動(dòng)量68補(bǔ)例3

轉(zhuǎn)盤上站立一人，開(kāi)始人和轉(zhuǎn)盤靜止，當(dāng)人沿邊緣以角速度ω運(yùn)動(dòng)。求:轉(zhuǎn)盤運(yùn)動(dòng)的角速度Ω

。解：系統(tǒng)：人＋轉(zhuǎn)盤。人和轉(zhuǎn)盤受向下重力平行轉(zhuǎn)軸，對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，人運(yùn)動(dòng)前后，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的角動(dòng)量守恒：解得轉(zhuǎn)盤運(yùn)動(dòng)的角速度為z2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律地人運(yùn)動(dòng)后角動(dòng)量人運(yùn)動(dòng)前角動(dòng)量69目錄2-1轉(zhuǎn)動(dòng)的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)70力作功力對(duì)路程的積分

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒。動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒。力矩作功

力矩對(duì)角位置積分

2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、71一、力矩作功剛體在力作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)很小角位移

dθ，力對(duì)剛體作元功為：剛體從角坐標(biāo)轉(zhuǎn)到，力對(duì)剛體作功為：

2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理OdW=Ftds=Ftrdθ=M合外力矩dθdsds是力作用點(diǎn)移動(dòng)的路程。72上式又稱為外力矩作的功。二、力矩的功率上式又稱為外力矩的功率。2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能在很小時(shí)間dt內(nèi)，外力對(duì)剛體作功為外力的功率為73四、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于n個(gè)質(zhì)元?jiǎng)幽苤蜑椋篛剛體由n個(gè)質(zhì)元構(gòu)成，各質(zhì)元做圓周運(yùn)動(dòng)。任意質(zhì)元i

的動(dòng)能為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理74剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：合外力（合外力矩）對(duì)剛體作功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加量。O剛體從角坐標(biāo)轉(zhuǎn)到，力對(duì)剛體作功為：

2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理75只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。桿擺到鉛直位置時(shí)，重力對(duì)桿作功為：解：以桿為研究對(duì)象，例題5

一細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l，一端固定在轉(zhuǎn)軸上，靜止從水平位置擺下。求細(xì)桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度。2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理76桿的末態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：本題可用機(jī)械能守恒定律計(jì)算2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理得：桿的初態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為得：桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度為ω77子彈擊入桿子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒。角動(dòng)量守恒；水平方向動(dòng)量不守恒；子彈和沙袋為系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能不守恒。子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理補(bǔ)例1分析下面各問(wèn)題中的守恒量。水平力78目錄2-1轉(zhuǎn)動(dòng)的描述2-2力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律2-3角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律2-4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)792-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)一、航天器的方向控制器旅行者2號(hào)（Voyager

2）是美國(guó)國(guó)家航空航天局在1977年8月20日發(fā)射的無(wú)人星際太空船，1981年它通過(guò)土星的引力區(qū)域后加速飛往天王星和海王星，之后以約15.493公里/秒的速度離開(kāi)太陽(yáng)系.對(duì)旅行者2號(hào)的觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，在1986年它經(jīng)過(guò)天王星時(shí)，船身不時(shí)地發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，使飛船的運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)一定的偏離，科學(xué)家們覺(jué)得很奇怪，這是什么原因?qū)е碌哪兀?02-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

研究發(fā)現(xiàn)，飛船的異常轉(zhuǎn)動(dòng)與飛船中的打印機(jī)高速旋轉(zhuǎn)有關(guān)。如果將飛船船體和打印機(jī)視為一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)幾乎不受外力矩的作用，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，在打印機(jī)工作時(shí)打印機(jī)磁鼓快速轉(zhuǎn)動(dòng)，打印機(jī)產(chǎn)生一個(gè)角動(dòng)量的增量，飛船就會(huì)自動(dòng)向打印機(jī)磁鼓轉(zhuǎn)動(dòng)的反方向轉(zhuǎn)動(dòng)，以保持整個(gè)系統(tǒng)的角動(dòng)量不變。

根據(jù)旅行者2號(hào)飛船異常轉(zhuǎn)動(dòng)的分析，使科學(xué)家意識(shí)到可以利用類似的原理來(lái)控制飛船的行駛方向，于是制造出了飛船的方向控制器。81飛輪x如圖示為固定地裝有一個(gè)飛輪的宇宙飛船2-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)x方向控制器的核心部件是一個(gè)可以旋轉(zhuǎn)的飛輪。若人們需要將飛船運(yùn)動(dòng)方向向逆時(shí)針?lè)较蛘{(diào)整角度，即從方向轉(zhuǎn)向方向，就啟動(dòng)方向控制器中的飛輪，并使其沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。因?yàn)橄到y(tǒng)角動(dòng)量守恒，飛船船體將向逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)飛船轉(zhuǎn)過(guò)

后，再停止方向控制器中飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣就實(shí)現(xiàn)了改變飛船前進(jìn)方向的目的。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)822-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)1、飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為飛船（除開(kāi)飛輪）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2、飛船正常飛行時(shí)，飛輪和飛船不轉(zhuǎn)動(dòng)。3、當(dāng)飛輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而飛船船體將逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。飛輪不轉(zhuǎn)動(dòng)x飛船不轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪和飛船組成系統(tǒng)的總角動(dòng)量為零。即：L0=0飛船正常飛行832-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪和飛船組成系統(tǒng)的總角動(dòng)量為4、由飛輪旋轉(zhuǎn)前后系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒得：L0=L飛輪x飛船逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)飛輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ωAωB飛輪的角動(dòng)量飛船的角動(dòng)量842-5工程中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)將θ=ωt代入得飛輪和飛船旋轉(zhuǎn)的角為飛船旋轉(zhuǎn)的角θBxθA飛輪旋轉(zhuǎn)的角上式為飛船調(diào)整的角度與方向控制器中飛輪需要旋轉(zhuǎn)的角度的關(guān)系，由此可以精確地控制飛船的方向。85