電路分析第13章

第十三章非正弦周期電流電路和信號的頻譜非正弦周期信號周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)有效值、平均值和平均功率4.非正弦周期電流電路的計算1學習目的與要求1、了解非正弦周期量與正弦周期量之間存在的關系；2、理解和掌握非正弦周期信號的諧波分析法；3、明確非正弦周期量的有效值與各次諧波有效值的關系及其平均功率計算式；4、掌握簡單線性非正弦周期電流電路的分析與計算方法。2電路中的激勵信號周期信號非周期信號正弦周期信號非正弦周期信號3§13.1非正弦周期信號一．非正弦周期信號按非正弦規(guī)律變化的周期性電壓和電流為非正弦周期信號。例ut方波電壓it脈沖波形ut三角波半波整流波形ut4tu(t)0上圖所示的周期性方波電壓，是一個典型的非正弦周期信號波，它實際上可以看作是一系列大小不同的、頻率成整數(shù)倍的正弦波的合成波。二．諧波分析法

5tu(t)0以一個周期的情況為例進行分析：u1u1與方波同頻率,稱為方波的基波u3u3的頻率是方波的3倍,稱為方波的三次諧波。u1和u3的合成波,顯然較接近方波U1m1/3U1m6tu(t)0u5的頻率是方波的5倍,稱為方波的五次諧波。u1、u3和u5的合成波,顯然更接近方波1/5U1mu135u57由上述分析可得，如果再疊加上一個7次諧波、9次諧波……直到疊加無窮多個，其最后結(jié)果肯定與周期性方波電壓的波形相重合。即：一系列振幅不同，頻率成整數(shù)倍的正弦波，疊加以后可構(gòu)成一個非正弦周期波。u1、u3、u5等等，這些振幅不同、頻率分別是非正弦周期波頻率k次倍的正弦波統(tǒng)稱為非正弦周期波的諧波，并按照k是非正弦周期波頻率的倍數(shù)分別稱為1次諧波(基波)、3次諧波……。

k為奇數(shù)的諧波一般稱為非正弦周期函數(shù)的奇次諧波；k為偶數(shù)時則稱為非正弦周期波的偶次諧波。而把2次以上的諧波均稱為高次諧波。8這種方法稱為諧波分析法。實質(zhì)上是把非正弦周期電流電路的計算化為一系列正弦電流電路的計算。1、應用數(shù)學中的傅里葉級數(shù)展開方法，將非正弦周期激勵電壓、電流或信號分解為一系列不同頻率的正弦量之和；2、根據(jù)線性電路的疊加定理，分別計算在各個正弦量單獨作用下電路中產(chǎn)生的同頻正弦電流分量和電壓分量；3、最后，把所得各分量按時域形式疊加，得到電路在非正弦周期激勵下的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。諧波分析法：

9§13.2周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)

一．傅氏級數(shù)周期電流、電壓、信號等都可以用一個周期函數(shù)表示，即f(t)=f(t+kT)

式中T為周期函數(shù)f(t)的周期，k=0,1,2,…。

如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件【狄里赫利條件：在每個周期上滿足(1)連續(xù)或有有限個第一類間斷點；(2)有有限個極值點?！?，它就能展開成一個收斂的傅里葉級數(shù)，即10傅里葉級數(shù)是一個無窮三角級數(shù)。展開式中:

A0—為周期函數(shù)f(t)的恒定分量（或直流分量）；A1mcos(ω1t

+ψ1

)

—為一次諧波（或基波分量），其周期或頻率與原周期函數(shù)f(t)相同；其他各項統(tǒng)稱為高次諧波，即2次、3次、…k次諧波。11上式中的系數(shù)，可由下列公式計算：上述計算式中k=1,2,3,…12二．頻譜用長度與各次諧波振幅大小相對應的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來，所得到的圖形，稱為f(t)的頻譜圖。幅度頻譜：表示各諧波分量的振幅的頻譜為幅度頻譜。相位頻譜：把各次諧波的初相用相應線段依次排列的頻譜為相位頻譜。13例:0Akmkω1ω15ω14ω13ω12ω16ω1由于各諧波的角頻率是ω1的整數(shù)倍，所以這種頻譜是離散的，又稱為線頻譜。14例:求圖示周期性矩形信號的傅立葉級數(shù)展開式及其頻譜。f(t)Em-Em0π2πω1ttT/2T解:f（t）在第一個周期內(nèi)的表達式為利用公式求系數(shù)為:1516當k為偶數(shù)時:cos(kπ)=1,bk=0當k為奇數(shù)時:cos(kπ)=-1,bk=4Em/kπ由此求得:頻譜圖:0kω1ω15ω13ω1Akm17三、利用函數(shù)波形的對稱性簡化系數(shù)計算周期函數(shù)常常具有對稱性，其傅里葉級數(shù)中不含某些諧波，利用函數(shù)的對稱性，可使系數(shù)a0、ak、bk的確定簡化。1.偶函數(shù)tOf(t)tOf(t)偶函數(shù)有縱軸對稱的特點，即對所有的k，bk=0此時182.奇函數(shù)奇函數(shù)有原點對稱的特點，即對所有的k，ak=0tOf(t)tOf(t)此時193.奇諧波函數(shù)奇諧波函數(shù)有鏡對稱的特點，具有這種性質(zhì)的函數(shù)的正半波無論是后移或前移半個周期都與負半波互成鏡像。其數(shù)學表達式為對所有的k，a2k=b2k=0a0=0tOf(t)不包含直流分量和偶次諧波分量。20§13.3有效值、平均值和平均功率一．有效值

任一周期電流i的有效值定義為：設一非正弦周期電流i可以分解為傅里葉級數(shù)：代入有效值公式，則得此電流的有效值為：21對上式展開后，可求得i的有效值為：

非正弦周期電流的有效值等于恒定分量的平方與各次諧波有效值的平方之和的平方根。

此結(jié)論適用于所有的非正弦周期量。

22二．平均值

以電流i為例，其定義由下式表示：即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對值的平均值。按上式可求得正弦電流的平均值為：它相當于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值，因為取電流的絕對值相當于把負半周的值變?yōu)閷恼怠?3對于同一非正弦周期電流，當用不同類型的儀表進行測量時，會得到不同的結(jié)果。例如：用磁電系儀表（直流儀表）測量，所得結(jié)果將是電流的恒定分量；

因此，在測量非正弦周期電流和電壓時，要選擇合適的儀表，并注意不同類型儀表讀數(shù)表示的含義。用全波整流儀表測量時，所得結(jié)果為電流的平均值，因為這種儀表的偏轉(zhuǎn)角與電流的平均值成正比。

用電磁系儀表測得的結(jié)果為電流的有效值；

24式中u、i取關聯(lián)參考方向。

平均功率為：

不同頻率的正弦電壓和電流乘積的積分為零（即不產(chǎn)生平均功率）；只有同頻的正弦電壓、電流才產(chǎn)生平均功率。

即平均功率等于恒定分量的功率和各次諧波平均功率的代數(shù)和。

三．平均功率

任意一端口吸收的瞬時功率為：

25§13.4非正弦周期電流電路的計算

計算步驟:非正弦周期電流電路的計算采用諧波分析法，具體步驟如下：

(1)把給定的非正弦周期電壓或電流分解為傅里葉級數(shù)(高次諧波取到哪一項為止，要根據(jù)所需準確度的高低而定。)

（2）分別求出恒定分量及各次諧波分量單獨作用時的響應。(3)應用疊加定理，把各次諧波的響應的解析式(時域形式)進行疊加，求得所需響應。26在計算時注意：對直流分量，電感視作短路，電容視作開路。2、求最終響應時，一定是在時域中疊加各次諧波的響應，若把不同次諧波正弦量的相量進行加減是沒有意義的。3、非正弦周期電壓、電流、平均功率與各次諧波有效值和平均功率的關系為：1、對各次諧波分量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗與頻率的關系，即：27例已知電路中：由于直流下C相當于開路，因此I0=0解例1f=50Hz，求i(t)和電流有效值I。一次諧波電壓單獨作用時，應先求出電路中的復阻抗，然后再求一次諧波電流三次諧波電壓單獨作用時：28五次諧波電壓單獨作用時：電流解析式根據(jù)疊加定理可求得：電流的有效值：其中三次諧波電壓、電流同相，說明電路在三次諧波作用下發(fā)生了串聯(lián)諧振。29例2已知電阻和電容并聯(lián)電路R=20?，C=50μF，外加電壓us=30+14.14cos1000t(V)，求電路的電流i(t)。對諧波分量Xc=20Ω

m=14.14/0。

/14.14/-45。=1/45。A解：對直流分量I0=30/20=1.5A

i(t)=1.5+cos(1000t+45。)A30＊例3：圖示電路中L=5H，C=10μF，負載電阻R=2KΩ，電源us為正弦全波整流波形，設ω1=314rad/s，Um=157V。求負載兩端電壓的各諧波分量。Lus+-CRusUm0π2πω1t解:將給定的us分解為傅立葉級數(shù),得（參見p323表13-1）31令k=0,2,4,???,并代入數(shù)據(jù),可分別求得各諧波的有效值:us＋－CRL32思考回答非正弦周期量的有效值和平均值如何計算？非正弦周期電流電路的分析計算中，應注意哪些問題？零次諧波單獨作用下電感和電容分別作何處理？不同正弦諧波下L和C上的電抗相同嗎？不同頻率的電壓、電流能否作用后產(chǎn)生平均功率？33作業(yè)補充題13-7補充題:一個RLC串聯(lián)電路,其R=11Ω,L=0.015H,C=70μF,外加電