山東省煙臺市2023年高考診斷性測試理數(shù)試題

2023年高考診斷性測試理科數(shù)學參考答案一、選擇題DCACBBCBDCBA二、填空題13.14.15.16.①④三、解答題17.解：（1）由已知得：，………………1分或（舍去）………………3分.………………4分（2），………………5分兩式相減得：………………8分………………11分.………………12分18.解：（1）取中點，在三角形中，，.……1分又因為為中點，所以，..四邊形為平行四邊形..…………2分因為在平面內的射影為，所以⊥平面.所以⊥平面.…………3分又因為，所以平面平面.…………4分（2）∵⊥面，∴⊥，⊥又∵四邊形為菱形，⊥，以為坐標原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，………6分于是，，，，向量，向量，…………8分設面的一個法向量為，，即，不妨令時，則，，取.……10分又為面的一個法向量.設二面角大小為，顯然為銳角，于是，故二面角的余弦值為．………………12分19.解：（1）由項目測試成績的頻率分布直方圖，得項目等級為優(yōu)秀的頻率為，……1分所以，項目等級為優(yōu)秀的人數(shù)為．………………2分（2）由（1）知：項目等級為優(yōu)秀的學生中，女生數(shù)為人，男生數(shù)為人.項目等級為一般或良好的學生中，女生數(shù)為人，男生數(shù)為人.作出列聯(lián)表：優(yōu)秀一般或良好合計男生數(shù)女生數(shù)合計………………4分計算，………………7分由于，所以有95%以上的把握認為“項目等級為優(yōu)秀”與性別有關．………………8分（3）設“項目等級比項目等級高”為事件．記“項目等級為良好”為事件；“項目等級為優(yōu)秀”為事件；“項目等級為一般”為事件；“項目等級為良好”為事件．于是，，由頻率估計概率得：，.…………10分因為事件與相互獨立，其中．所以．所以隨機抽取一名學生其項目等級比項目等級高的概率為．…12分20.解：（1）由題意可知，，所以，故拋物線的方程為.…………2分又，所以，…………3分所以圓的方程為.…………4分（2）設直線的方程為：，并設，聯(lián)立，消可得，.所以；……5分.……6分，所以過點的切線的斜率為，切線為，令，可得，，……7分所以點到直線的距離，……8分故，……9分又，代入上式并整理可得：，……10分令，可得為偶函數(shù)，當時，，，令，可得，當，，當，，所以時，取得最小值，故的最小值為.……12分21.解：（1），…………1分當時，，此時在單調遞增，至多有一個零點.…………2分當時，令，解得，當時，，單調遞減，當，，單調遞增，故當時函數(shù)取最小值…4分當時，，即，所以至多有一個零點.…………5分當時，，即因為，所以在有一個零點；………………6分因為，所以，，由于，所以在有一個零點.綜上，的取值范圍是.………7分（2）不妨設，由（1）知，，.構造函數(shù)，…………8分則…………9分因為，所以，在單調遞減.所以當時，恒有，即……10分因為，所以于是…11分又，且在單調遞增，所以，即………………12分22.解：(1)由得.…………2分因為的極坐標為,所以，.在直角坐標系下的坐標為.…………4分（2）將代入，化簡得,設此方程兩根為,則,.………6分.………8分因為直線的一般方程為,所以點到直線的距離.………9分的面積為.………10分23.解：（1）當時，化為.當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得；綜上，的解