宋懷波第11講：圖像變換

第1頁第3章圖像變換第3章圖像變換

3.1 背景 3.2 傅立（里）葉變換和頻率域

3.3 離散余弦變換 3.4沃爾什變換

3.5小波變換第2頁第3章圖像變換第3.5章小波與小波變換目錄3.5.1小波介紹3.5.1.1小波簡史3.5.1.2小波概念3.5.1.3小波分析3.5.1.4小波定義3.5.2哈爾函數(shù)3.5.2.1哈爾基函數(shù)3.5.2.2哈爾小波函數(shù)3.5.2.3函數(shù)的規(guī)范化3.5.2.4哈爾基的結(jié)構(gòu)3.5.3哈爾小波變換3.5.4規(guī)范化算法3.5.5二維哈爾小波變換3.5.5.1二維小波變換舉例3.5.5.2二維小波變換方法第3頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹小波(wavelet)是什么在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化且其平均值為零的數(shù)學(xué)函數(shù)具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅在有限的時(shí)間范圍內(nèi)，它的平均值等于零第4頁第3章圖像變換持續(xù)寬度相同振蕩波波與小波的差異：第5頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)1)部分小波許多數(shù)縮放函數(shù)和小波函數(shù)以開發(fā)者的名字命名，例如：Moret小波函數(shù)是Grossmann和Morlet在1984年開發(fā)的db6縮放函數(shù)和db6小波函數(shù)是Daubechies開發(fā)的圖3.5-1部分小波第6頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)2)1807:JosephFourier

傅立葉理論指出，一個(gè)信號(hào)可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式小波簡史小波變換(wavelettransform)是什么老課題：函數(shù)的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform第7頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)3)只有頻率分辨率而沒有時(shí)間分辨率；可確定信號(hào)中包含哪些頻率的信號(hào)，但不能確定具有這些頻率的信號(hào)出現(xiàn)在什么時(shí)候FFT的缺點(diǎn)第8頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)4)1909:AlfredHaar發(fā)現(xiàn)并使用了小波，后來被命名為哈爾小波第9頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)6)1980：Morlet20世紀(jì)70年代，法國地球物理學(xué)家Morlet提出小波變換的概念。

20世紀(jì)80年代,開發(fā)了連續(xù)小波變換1986：Y.Meyer法國科學(xué)家Y.Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用于分析函數(shù)用縮放與平移均為2j(j≥0的整數(shù))的倍數(shù)構(gòu)造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，使小波分析得到發(fā)展第10頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)7)1988：Mallat算法Mallat提出多分辨率概念，并提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，稱為Mallat算法其地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位第11頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹(續(xù)8)小波理論與工程應(yīng)用Daubechies最先揭示了小波變換和濾波器組間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí)Coifman和Wickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn)自從Mallat和Daubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系后，小波分析在信號(hào)處理中得到極其廣泛的應(yīng)用第12頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析小波分析/小波變換目的：獲得時(shí)間和頻率域之間的相互關(guān)系小波變換通過平移母小波獲得信號(hào)的時(shí)間信息通過縮放母小波的尺度獲得信號(hào)的頻率特性第13頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)1)連續(xù)小波變換傅立葉分析用一系列不同頻率的正弦波表示一個(gè)信號(hào)一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)小波分析用母小波通過移位和縮放后得到的一系列小波表示一個(gè)信號(hào)一系列小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)凡能用傅立葉分析的函數(shù)都可用小波分析小波變換可理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列函數(shù)代替傅立葉變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號(hào)比用平滑的正弦波更有效，或者說對(duì)信號(hào)的基本特性描述得更好第14頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)2)CWT的變換過程示例，可分如下5步小波ψ(t)和原始信號(hào)f(t)的開始部分進(jìn)行比較計(jì)算系數(shù)C——該部分信號(hào)與小波的近似程度；C值越高表示信號(hào)與小波相似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為ψ(t-k)

，然后重復(fù)步驟1和2，……直到信號(hào)結(jié)束擴(kuò)展小波，如擴(kuò)展一倍，得到的小波函數(shù)為ψ(t/2)

重復(fù)步驟1~4圖3.5-3連續(xù)小波變換的過程第15頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù)2)小波變換的粗略解釋第16頁第3章圖像變換尺度a較大距離遠(yuǎn)視野寬概貌觀察尺度a較小距離近視野窄細(xì)節(jié)觀察分析頻率低分析頻率高由粗到精多分辨分析行方向列方向第18頁第3章圖像變換小波變換的多分辨分析特性：不同a值下小波分析區(qū)間的變化不同a值下分析小波頻率范圍的變化第19頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù))連續(xù)小波變換用下式表示該式含義：信號(hào)f(t)與被縮放和平移的小波函數(shù)Ψ之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和CWT變換的結(jié)果是許多小波系數(shù)C

，這些系數(shù)是縮放因子和位置的函數(shù)離散小波變換類似連續(xù)小波變換第20頁第3章圖像變換3.5.1小波介紹——小波分析(續(xù))執(zhí)行DWT的有效方法用Mallat開發(fā)的濾波器，稱為Mallat算法DWT的概念見圖3.5-6。S表示輸入信號(hào)；通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個(gè)信號(hào)圖3.5-6雙通道濾波過程A表示信號(hào)的近似值，大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量D表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值，小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量第21頁第3章圖像變換圖像小波變換的正變換正變換依據(jù)二維小波變換按如下方式擴(kuò)展，在變換的每一層次，圖像都被分解為4個(gè)四分之一大小的圖像。小波分解第23頁第3章圖像變換小波變換(a)原始圖像(b)1/4分辨率圖像(c)1/16分辨率圖像(d)1/64分辨率圖像圖3.5-26使用小波分解產(chǎn)生多種分辨率圖像第24頁第3章圖像變換小波變換(