數(shù)學(xué)建模微分方程第一講(暑期培訓(xùn))

微分方程模型第一講

數(shù)學(xué)建模暑期培訓(xùn)

1、微分方程的主要適用范圍

我們所關(guān)心的研究對象的特征，會隨時間(空間)的變化而變化，這種變化可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。

一般來說，如果判斷研究對象的某些特征可能會關(guān)于時間、空間連續(xù)，那么應(yīng)該重點考慮利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子問題的模型。比如，問題中涉及到：(1)物體的運動、振動、受力形變(2)生物(動植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化(3)物質(zhì)、能量的擴散、傳遞(4)消費品在市場上的銷售過程(5)信息的擴散與傳播導(dǎo)彈的運動軌跡測算，運動目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強風(fēng)設(shè)計；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進，食物鏈問題；動植物、微生物在環(huán)境中的擴散與增長；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)比如，問題中涉及到：(1)物體的運動、振動、受力形變；(2)生物(動植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化；(3)物質(zhì)、能量的擴散、傳遞；(4)消費品在市場上的銷售過程；(5)信息的擴散與傳播。導(dǎo)彈的運動軌跡測算，運動目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強風(fēng)設(shè)計；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變自然環(huán)境中植物的生長，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進，食物鏈問題；動植物、微生物在環(huán)境中的擴散與增長；傳染病的傳播與控制粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)如果研究的是事物在一段時間內(nèi)的變化情況，或者說在這個過程中發(fā)生了什么————微分方程的求解和求數(shù)值解如果研究的是事物未來的發(fā)展趨勢，穩(wěn)態(tài)情形，或者無法/無須獲得精確的解————可以利用微分方程幾何理論2、微分方程模型的分析方法3、方程的階數(shù)注意不同階方程的實際意義表達的是某個變量的增長速度，與其當(dāng)前狀態(tài)和時間變量之間的關(guān)系。從幾何的角度來理解，表達的是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，與函數(shù)本身及自變量之間的關(guān)系。表達的是某個變量的增量，與其當(dāng)前狀態(tài)和所處時間段之間的關(guān)系。如果討論的事物，有多個變量會隨著時間變化，而且可以分析出這些變量的增長速度與事物當(dāng)前狀態(tài)和時間變量之間的關(guān)系，可以考慮建立一階微分方程組。3、方程的階數(shù)二階、二階以上的常微分方程通常用于有運動的物理現(xiàn)象。通常經(jīng)濟、管理、生態(tài)系統(tǒng)等領(lǐng)域，較少有實際量會涉及到二階導(dǎo)數(shù)，即所謂的加速度。偏微分方程比較復(fù)雜，比如對于u(x,y)：u為產(chǎn)品銷量；x為產(chǎn)品價格；y為廣告宣傳費用。表示固定y時，u關(guān)于x的變化速度和加速度表示u關(guān)于x的變化速度，在y變化時的變化幅度理解為：價格變動時銷量的增幅，關(guān)于廣告費用的變化速度。4、微分和差分方程模型的解（

1）解析解（精確解）

——適用于線性系統(tǒng)和少量非線性系統(tǒng)（伯努利方程）（2）數(shù)值解（近似解）

——對于多數(shù)的線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，但不能對系統(tǒng)的行為提供一個定性解釋。（3）定性解（定性理論分析）

——用定性理論和穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)在局部和全局

的動態(tài)行為。定性理論適用于二維、三維系統(tǒng)。穩(wěn)定性理論適用于高維系統(tǒng)。5、微分模型和差分模型的建模方法1、根據(jù)規(guī)律建模——利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律等來建立模型。2、用微元法建模——利用已知的定理與規(guī)律尋求微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。3、用模擬近似法建?！谏?、經(jīng)濟等學(xué)科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是及其復(fù)雜的，建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。6、微分模型的建模原理在建立微分方程的時候，所要求的其實是微分方程的一條解曲線，通過它來反映某些我們所要尋求的規(guī)律。微分方程曲線思想是，如果知道曲線上每一點處的導(dǎo)數(shù)以及它的起始點，那么就能構(gòu)造這條曲線。具體步驟如下：1、轉(zhuǎn)化實際問題中，有許多表示“導(dǎo)數(shù)”的常用詞，如“速率”、”增長“（在生物學(xué)以及人口問題研究中）、”衰變“（在放射性問題中）以及”邊際的“（在經(jīng)濟學(xué)中）等。這些詞就是信號，這個時候要注意是哪些研究對象在變化，對這些規(guī)律的表示微分方程也許就能用得上?？紤]：我們所研究的對象是否遵循某些原則或物理定理呢？是應(yīng)該用已知的定律呢？還是必須去推導(dǎo)呢？大部分微分方程模型符合下面的模式：

凈變化率=輸入率—輸出率2、準(zhǔn)確性和總體特征微分方程是一個在任何時刻都必須正確的瞬時表達式，這是問題的核心。建立微分方程模型，首先要把注意力放在方程文字形式的總關(guān)系上：

凈變化率=輸入率—輸出率或者：變化率（微商）=單位增加量--單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。3、單位一旦確定了哪些子項應(yīng)該列入微分方程中，就要確保每一項都采用同樣的物理單位。這是在建立微分方程過程中容易疏忽的問題。4、約束條件約束條件是關(guān)于所研究對象在某一特定時刻的信息（比如初始時刻），它們獨立于微分方程而存在。在建立微分方程模型后，利用它們來確定模型中有關(guān)的常數(shù)，這些常數(shù)包括比例系數(shù)、原微分方程的其他參數(shù)和解中的積分常數(shù)。為了完整，充分地給出問題的數(shù)學(xué)陳述，建模過程中應(yīng)該將這些約束條件和微分方程一起寫出。5、概念框架前面闡述的都是使用微分方程建模的關(guān)鍵問題。當(dāng)面臨一個典型問題是，首先必須有一個明確的概念框架（建立其他模型也是如此），這個概念框架就是關(guān)鍵步驟。具體如下：（1）把用語言描述的情況轉(zhuǎn)化為文字方程。（2）陳述出所涉及的原則或物理定律。（3）建立微分方程，配備方程各子項的單位。（4）給定約束條件，包括初始條件或其他條件。（5）給出微分方程的解。（6）求出微分方程的常數(shù)。（7）給出問題答案。（8）檢驗答案是否滿足問題的要求。在建模過程中，明確了概念框架，然后就是依次完成框架中每一步所要做的事情。7、建立微分方程模型的依據(jù)根據(jù)問題的背景資料，或者我們自己查到的資料，隨著時間/空間的變化，問題中的某些指標(biāo)的變化情況，與另外一些指標(biāo)的數(shù)值或變化情況呈現(xiàn)比例關(guān)系，或其他的簡單函數(shù)關(guān)系，則可以據(jù)此建立微分方程模型。建立微分方程模型時，需要注意：所建立的方程或方程組應(yīng)滿足守恒定律；如果希望得到解析解進行深入分析，則盡量簡化方程；注意掌握微分方程幾何理論，用于做定性的討論；如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的轉(zhuǎn)化為微分方程進行定性討論；微分方程屬于比較理想化的建模方法，適合用于定性討論或精度要求不高的情形下。8、案例－物體的運動、振動、受力形變導(dǎo)彈的運動軌跡測算，運動目標(biāo)的跟蹤與攔截；高層建筑、橋梁的防震、防強風(fēng)設(shè)計；橋梁、微型手術(shù)器械的形變與控制，彈性桿受力形變此類問題一般都可以參照經(jīng)典的物理原理，建立微分方程模型，在此基礎(chǔ)上再考慮一些細節(jié)問題即可。比如往年美國競賽題中的摩托車特技飛躍問題。其中x表示特技演員的位置向量，g表示重力加速度，k表示空氣阻力系數(shù)，v表示標(biāo)量運動速度，m表示演員+車的質(zhì)量。運動方程不是模型的難點，但卻是一個關(guān)鍵的基礎(chǔ)問題。6、案例－生物的數(shù)量變化或密度變化自然環(huán)境中植物的生長，兩種或多種生物之間的相互依賴、促進，食物鏈問題；動植物、微生物在環(huán)境中的擴散與增長；傳染病的傳播與控制一個封閉的環(huán)境中，沒有天敵的某種生物，其數(shù)量變化一般都可以假設(shè)服從Logistic規(guī)律：或一個封閉的環(huán)境中，兩個種群競爭，其數(shù)量變化一般都可以假設(shè)滿足競爭模型：傳染病或病毒的擴散，被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面的模型表示：如果存在退出系統(tǒng)的情形，則被感染者的數(shù)量變化一般可以用下面的模型表示：涉及到狀態(tài)轉(zhuǎn)變時，特別注意系統(tǒng)的守恒問題！sirSISIR這里的不同之處在于，物質(zhì)或能量是一定的，不會有新的物質(zhì)或能量產(chǎn)生。比如不考慮重力影響時，空間中不同位置粉塵、煙霧的濃度變化可以用下面的擴散方程描述：7、案例－物質(zhì)、能量的擴散與傳遞粉塵、煙霧、化學(xué)物質(zhì)在空氣、水、土壤中的擴散與沉積，化學(xué)反應(yīng)過程的描述，熱量在同種或不同物質(zhì)間的傳導(dǎo)。

中心室周邊室給藥排除藥物在體內(nèi)的傳遞與排出問題8、案例－消費品在市場上的銷售過程新產(chǎn)品入市之后，如果對銷量進行預(yù)測？或者說，如何描述新產(chǎn)品占領(lǐng)市場的過程？設(shè)需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的產(chǎn)品數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，則基于阻滯增長模型，可以認(rèn)為：記比例系數(shù)為k：研究機構(gòu)預(yù)測某種商品近期的銷量時，一般采用線性估計辦法給出銷量區(qū)間。如果希望預(yù)測較長時間內(nèi)的銷量，則可以采用上面的形式。在預(yù)測商品的銷量時，連續(xù)性模型一般不便于使用，采用離散形式的阻滯增長模型更方便一些。如果考慮更復(fù)雜一些的情形，比如部分早期用戶更新對銷量的影響，可以采用時滯微分方程?？紤]早期用戶更新的因素，可以采用時滯微分方程。搜集數(shù)據(jù)，計算方程中的參數(shù)，即可得到銷量的遞推公式對于這些方程的求解都可以用mathematics8.0來求，詳見附件12011高教社杯A題城市表層土壤重金屬污染分析隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評價，研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點。按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同?，F(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應(yīng)用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。現(xiàn)要求你們通過數(shù)學(xué)建模來完成以下任務(wù)：(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？(1)對于地形分布可采用：Shepard插值方法，又稱距離平方反比律或Kriging插值方法。對于污染濃度同樣采用散亂數(shù)據(jù)插值方法。而對于污染程度評價指標(biāo)可采用地質(zhì)累積指數(shù)或內(nèi)梅羅指數(shù)來評價。(2)污染原因分析可采用：相關(guān)性分析和聚類分析處理具體細節(jié)可參看附件兩篇參考文獻！(3)分析污染物的傳播特征：建立擴散微分方程模型背景知識：環(huán)境介質(zhì)一般是指在自然環(huán)境中能夠傳遞物質(zhì)和能量的媒介，空氣，水，土壤是最基本的環(huán)境介質(zhì)。盡管污染物在進入不同的環(huán)境介質(zhì)之后做著復(fù)雜的運動變化，但都是由以下幾種基本形式組成的：1、隨著介質(zhì)的遷移運動2、污染物的擴散運動3、污染物的衰減與轉(zhuǎn)化4、污染物被環(huán)境介質(zhì)吸收或吸附5、污染物的沉淀1、遷移運動推流遷移是指污染物在氣流或水流作用下產(chǎn)生的空間位置上的轉(zhuǎn)移，單純的推流作用不能降低污染物的質(zhì)量和濃度2、污染物的擴散運動由分子的隨機熱運動引起的質(zhì)點的擴散現(xiàn)象，分子擴散過程符合Fick第一定律，擴散物質(zhì)量與其濃度梯度成正比3、污染物的衰減與轉(zhuǎn)化污染物在環(huán)境中的衰減過程可用一級動力學(xué)規(guī)律描述，即遷移擴散衰減污染物傳播的基本模型QCsKVC利用上述基本模型，針對本題，我們可將模型修改為：接下來只需利用回歸分析方法對模型進行參數(shù)估計，最后再做模型檢驗即可。

模型的修改：9、微分方程定性分析方法簡介不求解，直接分析解的一些性態(tài)。1、x只能取正值；2、x<N；3、r和N均為正數(shù)。結(jié)論：1、隨著時間增加，x

始終單調(diào)遞增；2、時間趨于無窮時，x

無限逼近N；3、可以大致繪出解的曲線。xx0NtN/2tmxtxy2x+4y=0

希望知道時間充分長以后會如何，即研究事物最終的發(fā)展趨勢。10、穩(wěn)定性模型比如，前面提到的：(1)物體的運動、振動、受力形變——極限是什么？(2)生物(動植物、微生物)的量變或密度變化——穩(wěn)定狀態(tài)？(3)物質(zhì)、能量的擴散、傳遞——均衡狀態(tài)是怎樣的？(4)消費品在市場上的銷售過程——市場容量是多少？(5)信息的擴散與傳播——最大影響范圍是什么？(1)運動狀態(tài)穩(wěn)定下來之后會是什么情形？長期受力的結(jié)果是什么？(2)對生態(tài)系統(tǒng)放任自流，或者加以干涉，最終會導(dǎo)致什么后果？比如，前面提到的：(1)物體的運動、振動、受力形變(2)生物(動植物、微生物)的數(shù)量變化或密度變化(3)物質(zhì)、能量的擴散、傳遞(4)消費品在市場上的銷售過程(5)信息的擴散與傳播(3)如果不斷有物質(zhì)或能量的補充，那么最終物質(zhì)和能量的分布情況如何？(4)商品不斷銷售，用戶也會報廢舊品，最終穩(wěn)定下來的市場銷量會是多少？(5)如果對信息的擴散與傳播加以干涉，那么信息最后的分布情況如何？案例一、傳染病模型問題背景：通過建立數(shù)學(xué)模型，了解傳染病的傳播規(guī)律，從而為傳染病的防治和撲滅提供有益的科學(xué)依據(jù)。建立傳染病要考慮的因素非常多，如傳染速度、醫(yī)療能力、死亡、新生人口數(shù)量、人口年齡性別結(jié)構(gòu)等。具體到不同的疾病，還有傳播途徑、發(fā)作速度等問題。此外，傳染病模型可以參照用于討論計算機病毒的傳播特征等方面。模型目標(biāo)問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報傳染病高潮到來的時刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型模型假設(shè)基本假設(shè)：傳染病是由病人通過“接觸”健康人進行傳播的.疾病流行區(qū)域內(nèi)的人分為三類：S類——易感人群；I類——病人；R類——移出者。為簡單起見，假設(shè)本地區(qū)總?cè)丝诓蛔儯瑸镹。1、SI模型（只考慮S和I兩類人）(1)除染病、不染病之外，人群的個體之間沒有差異。病人與易感者的個體在人群中混合均勻，即S類、I類人群的數(shù)量只與時間有關(guān)。記s(t)為t時刻健康人占總?cè)丝诘谋壤齣(t)為t時刻病人的比例，則s(t)+i(t)=1。(2)人群數(shù)量足夠大，只考慮傳播過程中的平均效應(yīng)，即函數(shù)s(t)和i(t)可以視為連續(xù)且可微的。(3)每個I類的人每天“有效接觸”的人數(shù)（包括病人、健康人）為常數(shù)λ。這個常數(shù)實際上就是傳染率，反映本地區(qū)的衛(wèi)生水平。(4)不考慮出生與死亡，以及人群的遷入遷出因素。（簡化問題）構(gòu)造模型考慮t到t+Δt時間內(nèi)病人人數(shù)的變化，根據(jù)假設(shè)(1)，應(yīng)該分別是Ni(t)和Ni(t+Δt)，所以在Δt時間內(nèi)受感染的人數(shù)為：令Δt→0，得到微分方程：(Logistic模型)模型求解(Logistic模型)它的通解為

這個模型可以用于預(yù)報傳染病爆發(fā)早期，患病人數(shù)的發(fā)展規(guī)律，并預(yù)測傳染高峰的時間。SI模型圖形分析idi/dttmt0

1/2i1

(di/dt)m1/2i0病人比例隨時間的變化規(guī)律

病人數(shù)增長速率與病人數(shù)的關(guān)系

高峰期SI模型結(jié)果分析這個模型的缺陷是顯而易見的.比如t→+∞時，i(t)→1，這表明本地區(qū)最后所有人都會被感染。出現(xiàn)這種結(jié)果的原因是假設(shè)系統(tǒng)中只有兩種人，即病人和易感人群，而且沒有考慮病人會被治愈的因素。1.假設(shè)(前面四條都和模型A一樣，再添加一條)（5）病人以固定的比率痊愈，再次成為易感人群。每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為μ。2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）μ表示日治愈率，表現(xiàn)的是本地區(qū)的醫(yī)療水平，所以1/μ就可以表示傳染病的平均感染期，也是一個病人從發(fā)病到被治愈經(jīng)歷的時間。根據(jù)假設(shè)5，Logistic模型被修改為：構(gòu)造模型定義一個常數(shù)σ=λ∕μ，根據(jù)λ和1/μ的定義，σ就是一個病人在整個患病期間有效接觸的平均人數(shù)，這在模型里被稱為接觸數(shù)。將σ代入方程中，得到求解這個方程，得到解為模型求解σ>1時，t→+∞則i(t)→1-1/σ。畫出解的圖象為：σ<1，t→+∞時i(t)→0.σ=λ∕μ1-1/σiti0i0模型結(jié)果分析ii00tσ<1，t→+∞時i(t)→0.

σ=λ∕μ1、假設(shè)：這里的假設(shè)類似于模型B，只是引入R類人群。分別記s(t)、i(t)、r(t)為病人、易感人群、移出者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤(t)+i(t)+r(t)=1。另外，日接觸率λ，日治愈率μ。3、SIR模型（免疫模型）根據(jù)假設(shè)，模型被修正為

初值條件為i(0)=i0，r(0)=r0，s(0)=s0。注意：此方程組無法求解析解。可以求數(shù)值解模型求解將方程組轉(zhuǎn)化成下面的形式：其中s≥0，i≥0且s+i≤1。此方程是可以求解析解求解得到：考察隨著時間的推移，s(t)、i(t)、r(t)的變化規(guī)律。首先，t→+∞時，分別以s,i,r記各自的極限，這些極限都存在。模型分析i=0?（用反證法）假設(shè)i0，那么必然有i=>0。根據(jù)極限的定義，對于充分大的t，都應(yīng)該有i(t)>ε/2，把這個結(jié)論代入方程組。模型分析dr/dt=μi>με/2這會導(dǎo)致r(t)→+∞，這跟上面r(t)的極限也存在的結(jié)論有矛盾。所以只能有：i=0，即傳染病最終將消失。其次，考慮隨著t的變化，i-s平面上解的軌線變化情況。大概的走勢圖為：模型分析i101/σsσ=λ∕μi101/σss0>1/時，i(t)先升后降至0傳染病蔓延s0<1/時，i(t)單調(diào)降至0傳染病不會蔓延開來1/σ是一個邊界點，為了讓傳染病不蔓延，需要調(diào)整s0和1/σ。具體的方法：一是降低s0，如接種疫苗，使S類人群直接變成R類；二是提高1/σ使之大于s0，σ=λ/μ,也就是降低λ而提高μ，強化衛(wèi)生教育和隔離病人，同時提高醫(yī)療水平。模型分析對參數(shù)σ的估計：令解兩端同時取t→+∞，因為i=0，得到

參數(shù)估計根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和此公式就可以得到σ的估計值。關(guān)于傳染病模型，我們還可以進一步考慮更復(fù)雜的情形，如考慮出生率、死亡率、防疫措施的作用、潛伏期等。其他類型的傳染病模型SIES模型——健康－染?。瓭摲冢】挡幻庖逽IER模型——健康－染病－潛伏期－移出系統(tǒng)SIRS模型——健康－染病－短時免疫－健康(易感)考慮抵抗能力考慮地域傳播考慮傳播途徑(接觸、空氣、昆蟲、水源等)

對象仍是動態(tài)過程，建模目的變成了時間充分長以后會如何？即研究事物最終的發(fā)展趨勢。

借助微分方程穩(wěn)定性理論，不求解微分方程，描述事物某些特征的最終穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定性模型比如，商品的價格與其價值的變化關(guān)系；食肉動物與草食性動物數(shù)量的變化規(guī)律；侵入人體的病菌與白血球的數(shù)量變化關(guān)系。隨著時間的推移，最終的結(jié)局是什么？微分方程穩(wěn)定性方法建模穩(wěn)定性模型

由于諸多偶然因素以及參數(shù)變化的影響，通常微分方程用來做長期預(yù)測，效果并不夠好，在精度上難以讓人滿意。如各種人口模型。

不過即便誤差很大，但微分方程穩(wěn)定性模型反映出來的發(fā)展趨勢還是有借鑒意義的。

另外，很多微分方程穩(wěn)定性模型的最終目的并不是預(yù)測，而是尋找控制手段。事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定t這些現(xiàn)象在現(xiàn)實中都有實用背景和研究價值一、常微分方程穩(wěn)定性理論1、一階微分方程方程右端不顯含t平衡點穩(wěn)定的幾何特征txx0穩(wěn)定不穩(wěn)定一階微分方程通常判斷平衡點穩(wěn)定性有兩種方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程為線性，即f(x)=ax+b，則a<0穩(wěn)定，

a>0不穩(wěn)定；2、若方程為非線性，即x`(t)=f(x)，考慮f`(x0)。

f`(x0)<0穩(wěn)定，f`(x0)>0不穩(wěn)定。2、二階微分方程所以討論二階微分方程的穩(wěn)定性往往就歸結(jié)為對二維一階方程組的討論二階微分方程求方程組的平衡點，即求解下面設(shè)法給出P0穩(wěn)定的判斷準(zhǔn)則。二階微分方程首先將方程組線性化：其系數(shù)矩陣為：二階微分方程二階微分方程的穩(wěn)定性由p

和q

的正負(fù)決定。p>0且q>0時平衡點P0穩(wěn)定；p<0或q<0時平衡點P0不穩(wěn)定.3、一階線性差分方程4、二階線性差分方程5、一階非線性差分方程

例、捕食系統(tǒng)的Volterra方程問題背景：

意大利生物學(xué)家D’Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對捕食者有利而不是對食餌有利呢？他百思不得其解，無法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個數(shù)學(xué)模型研究這一問題。

Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨立生存將按增長率為r1的指數(shù)律增長（Malthus模型），既設(shè)：由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競爭項的統(tǒng)計籌算律），即：對于食餌（Prey）系統(tǒng)：λ1反映了捕食者掠取食餌的能力對于捕食者（Predator）系統(tǒng)：捕食者設(shè)其離開食餌獨立存在時的死亡率為r2，即：但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競爭來實現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計籌算律，得到：綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程組：（3.31）方程組（3.31）反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來分析該方程組。2、模型分析方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個平衡點，即：Po(0,0)是平凡平衡點且明顯是不穩(wěn)定，沒必要研究方程組還有兩組平凡解：和和所以x1、x2軸是方程組的兩條相軌線。當(dāng)x1(0)、x2(0)均不為零時，，應(yīng)有x1(t)>0且x2(t)>0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。求（3.31）的相軌線將兩方程相除消去時間t，得：分離變量并兩邊積分得軌線方程：（3.32）令兩者應(yīng)具有類似的性質(zhì)用微積分知識容易證明：有：同理：對有：圖3-20(b)圖3-20(a)與

的圖形見圖3-20易知僅當(dāng)時（3.32）才有解記：討論平衡點的性態(tài)。當(dāng)時，軌線退化為平衡點。當(dāng)時，軌線為一封閉曲線（圖3-21），即周期解。圖3-21證明具有周期解。只需證明：存在兩點及，<

當(dāng)<x1<時，方程（3.32）有兩個解，當(dāng)x1=或x1=時，方程恰有一解，而在x1<或x1>時，方程無解。事實上，若，記，則由的性質(zhì)，，而，使得：。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng)<x1<時。此時：由的性質(zhì)，，使成立。當(dāng)x1=或時，，僅當(dāng)時才能成立。而當(dāng)x1<或x1>時，由于，故無解。得證。確定閉曲線的走向用直線將第一象限劃分成四個子區(qū)域在每一子區(qū)域，與不變號，據(jù)此確定軌線的走向（圖3-22）圖3-22將Volterra方程中的第二個改寫成：將其在一個周期長度為T的區(qū)間上積分，得等式左端為零，故可得：同理：平衡點P的兩個坐標(biāo)恰為食用魚與食肉魚在一個周期中的平均值。解釋D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象引入捕撈能力系數(shù)ε，（0<ε<1），ε表示單位時間內(nèi)捕撈起來的魚占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為：平衡點P的位置移動到了：由于捕撈能力系數(shù)ε的引入，食用魚的平均量有了增加，而食肉魚的平均量卻有所下降，ε越大，平衡點的移動也越大。食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加，真的是這樣？！

P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對直理，但在一定程度上是附合客觀實際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因為殺蟲劑在殺死害蟲的同時也可能殺死這些害蟲的天敵，（害蟲與其天敵構(gòu)成一個雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來，使用殺蟲劑的結(jié)果會適得其反，害蟲更加猖獗了。（3）捕魚對食用魚有利而對食肉魚不利，多捕魚（當(dāng)然要在一定限度內(nèi)，如ε<r1）能使食用魚的平均數(shù)量增加而使食肉魚的平均數(shù)量減少。根據(jù)P-P模型，我們可以導(dǎo)出以下結(jié)論：（1）食用魚的平均量取決于參數(shù)r1與λ1（2）食用魚繁殖率r1的減小將導(dǎo)致食肉魚平均量的減小，食肉魚捕食能力λ1的增大也會使自己的平均量減小；反之，食肉魚死亡率r2的降低或食餌對食肉魚供養(yǎng)效率λ2的提高都將導(dǎo)致食用魚平均量的減少。一、兩個生物種群的競爭模型考慮兩個生物種群競爭同一種有限資源的問題。在自然條件下，適應(yīng)環(huán)境能力弱的種群將趨于滅亡，適應(yīng)能力強的種群將增長到環(huán)境允許的最大數(shù)量。種群競爭模型現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到描述企業(yè)、國家等社會實體之間的競爭研究中。下面通過建立模型來解釋這種現(xiàn)象，并分析出現(xiàn)各種結(jié)局的條件。生存空間論戰(zhàn)略空間論能源競爭企業(yè)間的市場競爭1.模型的建立設(shè)同一環(huán)境中有甲、乙兩個種群，x1(t)、x2(t)分別記t時刻甲、乙種群的數(shù)量；r1、r2為各自固有的增長率，N1、N2為各自環(huán)境最大容量。據(jù)此建立下面的模型：其中1，2是非常關(guān)鍵的指標(biāo)，反映一個種群對另一種群的競爭能力。2.穩(wěn)定性分析（競爭的結(jié)局）2.1求平衡點令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四個平衡點：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，pq穩(wěn)定條件P1r1-r2(1-2)-r1r2(1-2)P2-r1(1-1)+r2-r1r2(1-1)P3-(r1+r2)r1r2P4[r1(1-1)+r2(1-2)](1-12)-1r1r2(1-1)(1-2)(1-12)-12>1(1<1)1>1(2<1)不穩(wěn)定1<12<1p>0而且q>02.2平衡點的穩(wěn)定性根據(jù)前面的方法不能給出各個平衡點全部的穩(wěn)定性條件。下面對1和2分情況討論平衡點的穩(wěn)定性條件?？紤]轉(zhuǎn)到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿著t增加所表現(xiàn)出的趨勢。x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)可知，在任意時刻，x1(t)和x2(t)是增是減由

=1-x1/N1-1x2/N2

和=1-2x1/N1-x2/N2

決定。1、1<1，2>1S1S2S3ON1/2N1x1x2N2/1N2=0=0這時=0和=0將相平面分為三個區(qū)域：S1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.t增加時，所有解都將趨于P1，所以P1是穩(wěn)定的。ON1x1x2N22、1>1，2<1，P2穩(wěn)定3、1<1，2<1，P3穩(wěn)定ON1N1/2x1P3N2N2/1x2ON1/2N2x1P3x2N2N2/14、1>1，2>1，方程的解不存在統(tǒng)一的發(fā)展趨勢。一(2)生物互惠共生模型甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨自生存，乙不能；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。2)甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。3)甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。第一種情形模型假設(shè)甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1

倍甲為乙提供食物是乙消耗的2

倍平衡點穩(wěn)定性分析平衡點有三個：P1(N1,0),P3(0,0)種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點0

1<1,2>1,12<1

P