結(jié)構(gòu)動力學之結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計算

第八講結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算工程學院海洋工程系劉臻結(jié)構(gòu)動力學結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)

從穩(wěn)定性角度考慮，平衡狀態(tài)具有三種情況：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（3）中性平衡狀態(tài)；結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)

假設(shè)結(jié)構(gòu)原來處于某個平衡狀態(tài)，后來由于受到輕微擾動而稍微偏離原來位置。當干擾消失后1）若結(jié)構(gòu)能夠回到原來的平衡位置，

則原來的平衡狀態(tài)成為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2）若結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能夠回到原來的平衡位置，

則原來的平衡狀態(tài)成為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。3）結(jié)構(gòu)由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài)

則為中性平衡狀態(tài)。穩(wěn)定計算的兩類問題

研究穩(wěn)定問題是考慮變形后的狀態(tài)來進行分析的，分析時有大變形和小變形兩種理論。

穩(wěn)定是指對結(jié)構(gòu)施加一微小干擾，使其離開初始位置，當干擾力撤去以后，結(jié)構(gòu)能恢復到原來的平衡位置。反之，若干擾力撤去以后不能回到原來的位置，則稱結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。

工程中通常有兩類失穩(wěn)問題，即第一類穩(wěn)定問題和第二類穩(wěn)定問題。對于沒有缺陷的完善體系，屬于第一類失穩(wěn)問題；對于存在初彎曲或初偏心等缺陷的結(jié)構(gòu)，其失穩(wěn)時一般遵循第二類穩(wěn)定問題的規(guī)律。中心壓桿的荷載位移曲線第一類穩(wěn)定問題（分支點失穩(wěn)）特征：當荷載小于臨界荷載時，結(jié)構(gòu)無初始位移，受到干擾力作用時，變形可恢復；當荷載大于臨界荷載時，結(jié)構(gòu)受到一微小干擾就會突然產(chǎn)生較大的側(cè)移而失穩(wěn)。

Pcr稱為臨界荷載，它對應(yīng)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)，因為B點為穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的分支點，所以Pcr又稱為分支荷載，又由于結(jié)構(gòu)破壞的突然性，Pcr又稱屈曲荷載。ABP<PcrP>PcrBAΔmB`不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡

壓桿和梁等結(jié)構(gòu)屈曲后所承擔的荷載可略有增加，但由于變形迅速增大，故不考慮此部分承載力。P2POP1DΔPcrD'CAB穩(wěn)定不穩(wěn)定小撓度大撓度

第二類穩(wěn)定問題應(yīng)按大撓度理論建立應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并且在荷載達到臨界值之前，結(jié)構(gòu)部分進入塑性狀態(tài)，不在討論之列。第二類穩(wěn)定問題（極值點失穩(wěn)）特征：結(jié)構(gòu)受力開始就有變形，當力大于Pcr時，結(jié)構(gòu)變形發(fā)展很快，在此過程中無突然變化，但是由于變形的增大或材料的應(yīng)力超出許可值導致結(jié)構(gòu)不能工作。

偏心受壓桿及荷載--位移曲線(a)偏心受壓桿ΔPePPPOPe(b)荷載——位移曲線（P—Δ

曲線）ΔPcrCAB穩(wěn)定驗算與強度驗算區(qū)別穩(wěn)定驗算強度驗算目的防止出現(xiàn)不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)保證結(jié)構(gòu)的實際最大應(yīng)力不超過相應(yīng)的強度指標內(nèi)容研究結(jié)構(gòu)同時存在的兩種本質(zhì)不同的平衡狀態(tài)的最小荷載值，即臨界荷載求解結(jié)構(gòu)在荷載下的內(nèi)力問題分析方法根據(jù)結(jié)構(gòu)變形后的狀態(tài)建立平衡方程求臨界荷載采用未變形前的狀態(tài)建立平衡方程及變形協(xié)調(diào)條件求內(nèi)力實質(zhì)是變形問題是應(yīng)力問題結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算

以下圖所示單自由度體系為例研究

時，體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，體系處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)lABP<Pcr（a）Lsinθθ（b）P>Pcrkθθ靜力法結(jié)構(gòu)變形后的平衡狀態(tài)如圖（b），由B點平衡得：方程有兩解：1、當時，穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡按大撓度理論分析Lsinθθ（b）P>PcrθkθBAkθθP<kθ/l（a）θlsinθHdH’d穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡為求Pθ最大值，令即代入時式（1）可以得到：不考慮分枝點后P的增加，則時2、隨遇平衡不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡PcrDABCPθO(1)因此，按大撓度理論分析

θ可以為任意值，即結(jié)構(gòu)處于隨意平衡狀態(tài)。大小撓度理論求出的分枝點荷載臨界值是相同的，但是失穩(wěn)后的承載能力結(jié)論是不同的。按小撓度理論分析1、P為任意值，即無外界干擾時，結(jié)構(gòu)無撓度，不會失穩(wěn)。即有外界干擾時，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時的臨界荷載為：2、由小撓度理論：平衡方程可以簡化為：隨遇平衡CABPθOPcr能量法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載.PlkyP解:應(yīng)變能外力勢能結(jié)構(gòu)勢能由勢能駐值原理得臨界荷載無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法無限自由度體系的典型代表：壓桿穩(wěn)定問題靜力法解題思路：1）先對變形狀態(tài)建立平衡方程；2）根據(jù)平衡形式的二重性建立特征方程；3）由特征方程求出臨界荷載無限自由度體系的平衡方程為微分方程而不是代數(shù)方程，是區(qū)別于有限自由度體系的不同點無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法pcryxxppcrM(x)yRl-x無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法左式為“超越方程”解“超越方程”的兩種方法：1、逐步逼近法（試算法）：2、圖解法：

以l為自變量，分別繪出z=l和z=tgl的圖形，求大于零的第一個交點，確定l。無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法例14-1試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載yxxpcrpcrM(x)yp無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法（另法）試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載yxxpcrpM(x)xy能量法（一）用能量原理建立的能量準則（適用于單自由度體系）2、解題思路1、三種平衡狀態(tài)（1）穩(wěn)定平衡：偏離平衡位置，總勢能增加。（2）不穩(wěn)定平衡：偏離平衡位置，總勢能減少。（3）隨遇平衡：偏離平衡位置，總勢能不變。圖1圖2圖3（1）當外力為保守力系時（2）當體系偏離平衡位置，發(fā)生微小移動時（3）直桿穩(wěn)定（剛性桿）能量法能量法計算公式（單桿）xy（二）用勢能原理建立的能量準則（適用于多自由度體系）設(shè)彈性曲線為多參數(shù)曲線：

依“勢能駐值原理”：臨界狀態(tài)下真實的變形曲線應(yīng)使體系的總勢能為駐值。得：無限自由度體系的穩(wěn)定

能量法

這就是計算臨界荷載的特征方程，其展開式是關(guān)于P的n次線性方程組，可求出n個根，由最小根可確定臨界荷載。得：令：簡寫為：無限自由度體系的穩(wěn)定能量法彈性支承等截面直桿的穩(wěn)定計算具有彈性支承的壓桿的穩(wěn)定問題。一般情況下有四類ΔMA=kθθABPcrxxyyEIPcrBxkΔlyxyΔEIMA=kθθAPcrxyyRBEIyθPcrBxkΔΔAEI一端固定、一端為彈性支座PcrBxkΔlyxyΔEI由邊界條件：x=0處，y=y'=0；x=l處，y=Δ。得到：ΔMA=kθθABPcrxxyyEI一端自由、另一端為彈性抗轉(zhuǎn)支座邊界條件：平衡方程：穩(wěn)定方程：一端鉸支、另一端為彈性抗轉(zhuǎn)支座邊界條件：平衡方程：穩(wěn)定方程：MA=kθθAPcrxyyRBEI一端鉸支、另一端為彈性支座yθPcrBxkΔΔAEI考慮在小變形情況下，取sinθ=θ、cosθ=1，上式改寫為彈簧的支反力臨界荷載：

補充例題（1）試求圖示結(jié)