截長補短法例題

截長補短法例1.已知，如圖1-1,在四邊形ABCD中，BOAB,AD=DC,BD平分/ABC.求證：/BAD+/BCD=180°.分析：因為平角等于180°,因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補短法”來實現(xiàn).證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E,作DFLBC于點F,如圖1-2「BD平分/ABC,，DE=DF,在Rt^ADE與Rt^CDF中，圖1-1ECADE=DF圖1-1ECAAD=CDARtAADE^RtACDF(HL),AZDAE=ZDCF.XZBAD+ZDAE=180°,AZBAD+ZDCF=180°圖1-2即/BAD+/BCD=180°例2.已知，如圖3-1,/1=/2,P為BN上一點，且PD^BC于點D,AB+BC=2BD.求證：/BAP+/BCP=180°.分析：與例1相類似，證兩個角的和是180°,可把它們移到一起，讓它們是鄰補角，即證明/BCP=/EAP,因而此題適用“補短”進行全等三角形的構(gòu)造.證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E,如圖3-2:/1=/2,且PD，BC,???PE;PD,在Rt^BPE在Rt^BPE與Rt^BPD中，(PE=PD\BP=BP12BDC圖3-1AARtABPE^RtABPD(HL),ABE=BD.?..AB+BC=2BD,.?.AB+BD+DC=BD+BE,...AB+DC=BE艮口DC=BE-AB=AE.EANP12BDC圖3-2

在Rt^APE與Rt^CPD中,產(chǎn)二PD/PEA=/PDCAE=DCARtAAPE^RtACPD(SAS),AZPAE=ZPCDXVZBAP+ZPAE=180°,AZBAP+ZBCP=180°例3.如圖2-1,AD〃BC,點E在線段AB上，NADE二NCDE,NDCE二NECB.求證：CD=AD+BC.分析：結(jié)論是CD=AD+BC,可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF二CB,只要再證DF二DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的.證明：在CD上截取CF=BC,如圖2-2在4FCE與4BCE中，產(chǎn)二CBe/FCE=/BCECE=CEICB皿圖2-1AAFCE^ABCE(SAS),AN2=N1.XVAD#BC,ANADC+NBCD=180°,ANDCE+NCDE=90°,.??N2+N3=90°,N1+N4=90°,.'.N3=N4.在^FDE與^ADE中，43FE2.CB圖2-2243FE2.CB圖2-2DE=DE/3=Z4.\AFDE^AADE(ASA),ADF=DA,?「CD=DF+CF,...CD二AD+BC.

例4.已知：如圖4-1,在^ABC中，NC=2NB,N1=N2.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補短法）圖圖4-1延長AC至IJE,使延長AC至IJE,使DC=CE,則NCDE=NCED,如圖4-2.\ZACB=2ZE,VZACB=2ZB,AZB=ZE,在4ABD與4AED中,(Z1(Z1=Z2D圖4-2AD=AD：.AABD^AAEDAD=AD：.AABD^AAED(AAS),AAB=AE.XAE=AC+CE=AC+DC,AAB=AC+DC.方法二（截長法）在AB上截取AF=AC,如圖4-3在4AFD與4ACD中,fAF=AC4/1=/2AD=AD=ADD圖4-3：.AAFD^AACD(SAS),ADF=DC,ZAFD=ZACD.XVZACB=2ZB,AZFDB=ZB,AFD=FB.,?AB=AF+FB=AC+FD,AAB=AC+CD.《戴小橋和他的哥們兒》閱讀練習測試題1、誰的外號叫“大香蕉”?(C)A、馬兒帥B、林曉琪C、戴小橋2、汪小中和馬兒帥把賽馬的終點設(shè)在(B)A、學校操場的盡頭B、老師辦公室C、教室3、“足球特務(wù)”是(A)A、馬兒帥B、杜家嚴C、林曉琪4、被同學們背地里叫“哇哇老師”的是(B)A、語文老師B、數(shù)學老師C、英語老師5、是(B)經(jīng)常請同學去吃“肯德基”。A、戴小橋B、林曉琪C、梅子涵6、吃“肯德基”的時候，戴小橋最不愿意跟(C)吃一張票。A、杜家嚴B、馬兒帥C、汪小中劉東有什么“絕活”?(A)A、往同學衣領(lǐng)里塞紙條B、轉(zhuǎn)筆C、花樣跳繩8、毛老師解釋“跑的了和尚跑不了廟”中“廟”是(C)。A、真正的廟宇B、教室C、毛老師自己9、馬兒帥發(fā)現(xiàn)毛老師有個(B)的“壞習慣”。A、隨地吐痰B、不結(jié)婚C、不洗手就吃東西10、戴小橋他們每次踢足球,球都是(C)帶來的。A、曹迪民B、阮志強C、杜家嚴11、是(C)背錯了汪小中的書包。A、戴小橋B、林曉琪C、曹迪民12、戴小橋班上長得最高的同學是(A)。A、阮志強B、杜家嚴C、馬兒帥13、毛老師是怎樣處理“腳印比賽”這件事的?(B)A、寫檢查B、刷墻壁C、罰站14、戴小橋他們成立的籃球隊叫做(B)。A、公牛隊B、公虎隊C、公雞隊15、戴小橋和馬兒帥上學都是乘(C)。A、公交車B、三輪車C、地鐵16、林曉琪因為在馬路上亂扔垃圾,被媽媽罰了(人)。A、撿垃圾B、禁止吃零食C、打掃客廳17、媽媽為什么要求戴小橋天天寫日記?(A)A、可以幫助戴小橋把作文寫得更好B、戴小橋犯了錯誤的一種懲罰C、打發(fā)時間,省得戴小橋調(diào)皮搗蛋18、戴小橋認為上課鈴和下課鈴有什么區(qū)別？(B)A、音樂不一樣B、一個讓你開心的要命,一個讓你沒勁透頂C、沒有區(qū)別19、因為(C),陳老師要求戴小橋他們寫檢查。A、打架B、上課不聽講C、在學校門口踢足球,把球踢在花園的欄桿上20、同學們把腳放在課桌上，毛老師看見了就(0)。A、當場大發(fā)雷霆B、要求同學們把腳放在課桌上拍照留念C、要求同學們把腳放在課桌上一個小時不許放下一、填空題《游子吟》的作者是(孟郊),他是(唐)代人?！洞餍蚝退母鐐儍骸返淖髡呤牵纷雍?。3、補全詩句:夜來風雨聲,（花落知多少）;（好雨知時節(jié)）,當春乃發(fā)生。二、判斷題1、林曉琪的外號是“大香蕉”。（x）2、經(jīng)常請同學去吃肯德基”的是梅子涵。（x）3、戴小橋他們每次踢足球，球都是杜家嚴帶來的。（V）4、戴小橋犯了錯誤,媽媽就罰他寫日記。（x）5、戴小橋和馬兒帥上學都是乘地鐵。（V）一．填空毛老師是我們的班主任，他教我們（語文）我們踢的足球總是（杜家嚴）帶來的。（劉東）上課的時候喜歡撕紙條，下課趁你不注意，偷偷往你領(lǐng)子里塞。我們開班會的時間是（每個星期五）。爸爸的綽號是（大土豆）。我做了個美夢，夢到警察喝光了我們的湯，這個警察是（汪小中）。吳老師說話很兇，我們都叫她（哇啦哇啦老師）。二．判斷。我和馬兒帥是乘地鐵上學的。（對）媽媽每天早上都會對戴小橋說的一句話是：喝牛奶有利于身體健康。（對）阮志強是我們班長得最高的同學