高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程 全國(guó)一等獎(jiǎng)

幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)1、借助繪圖技術(shù)，利用函數(shù)圖像及數(shù)據(jù)表格，比較一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異；2、結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義；3、重點(diǎn)體會(huì)現(xiàn)代信息技術(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，利用手持技術(shù)比較一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。2．基礎(chǔ)預(yù)探1、實(shí)際應(yīng)用問題的解答關(guān)鍵是、解模并返回到實(shí)際問題；2、教材中例1、例2分別是和模型的應(yīng)用；3、我們學(xué)過的函數(shù)模型類型由、、、等。二、基本知識(shí)習(xí)題化1.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……，現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y為（）.A．B.y=2C.y=2D.y=2x2.某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速，后來增長(zhǎng)越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)y與時(shí)間x的關(guān)系，可選用（）.A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù)D.對(duì)數(shù)型函數(shù)3.某新品電視投放市場(chǎng)后第1個(gè)月銷售100臺(tái)，第2個(gè)月銷售200臺(tái)，第3個(gè)月銷售400臺(tái)，第4個(gè)月銷售790臺(tái)，則銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間的關(guān)系可寫成.5.某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的，如果某臺(tái)計(jì)算機(jī)感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時(shí)，這臺(tái)計(jì)算機(jī)都可能感染沒被感染的20臺(tái)計(jì)算機(jī).現(xiàn)在10臺(tái)計(jì)算機(jī)在第1輪病毒發(fā)作時(shí)被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時(shí)可能有臺(tái)計(jì)算機(jī)被感染.（用式子表示）三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.兩類實(shí)際問題：投資回報(bào)、設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方案；2.幾種函數(shù)模型：一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)；3.應(yīng)用建模（函數(shù)模型）；4.解決應(yīng)用題的一般程序：⑴審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；⑵建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；⑶解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；⑷還原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義。選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問題的方法。5.基本流程理論探究1：（同種函數(shù)模型不同增長(zhǎng)速度）實(shí)例1（同種函數(shù)模型不同增長(zhǎng)速度）理論探究1：（同種函數(shù)模型不同增長(zhǎng)速度）實(shí)例1（同種函數(shù)模型不同增長(zhǎng)速度）實(shí)際到生活實(shí)際到生活特殊到一般特殊到一般理論探究2：（不同種函數(shù)模型增長(zhǎng)速度）實(shí)例2（不同種函數(shù)模型增長(zhǎng)速度）理論探究2：（不同種函數(shù)模型增長(zhǎng)速度）實(shí)例2（不同種函數(shù)模型增長(zhǎng)速度）四、典例導(dǎo)析1、根據(jù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題：例1、某種商品現(xiàn)在定價(jià)每年p元，每月賣出n件，因而現(xiàn)在每月售貨總金額np元，設(shè)定價(jià)上漲x成，賣出數(shù)量減少y成，售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍．（1）用x和y表示z.（2）若y=x，求使售貨總金額有所增加的x值的范圍．思路導(dǎo)析：根根題設(shè)條件，建立變量的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)模型求解。解：由題意得（1）npz=p（1+）·n（1－）∴z=，（2）當(dāng)y=x時(shí)，z=，由z＞1，得＞1，x（x－5）＜0，∴0＜x＜5規(guī)律總結(jié)：找出實(shí)際問題中涉及的函數(shù)變量→引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)變量間的關(guān)系建立函數(shù)模型→利用模型解決實(shí)際問題→二次函數(shù)模型。變式練習(xí)1、某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為6元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多利潤(rùn)，商場(chǎng)決定提高銷售價(jià)格.經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件，若按25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件，假定每月銷售件數(shù)y（件）是價(jià)格x（元/件）的一次函數(shù).（1）試求y與x之間的關(guān)系式；（2）在商品不積壓，且不考慮其它因素的條件下，問銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能時(shí)每月獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？2、選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解題：例2、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)（單位：萬元）的增加而增加但獎(jiǎng)金不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%．現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：；；.問：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？思路導(dǎo)析：利用三個(gè)函數(shù)的圖象，進(jìn)行數(shù)值的模擬計(jì)算，選擇更加恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型。解析：作出三個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象模擬函數(shù)：規(guī)律總結(jié)：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問題的基本過程：收集數(shù)據(jù)→畫散點(diǎn)圖→選擇函數(shù)模型→求函數(shù)模型→檢驗(yàn)→符合實(shí)際，用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題；不符合實(shí)際，則重新選擇函數(shù)模型，直到符合實(shí)際變式練習(xí)2、如圖，是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系：(t≥0，a>0且a≠1)．有以下敘述第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于；每月減少的有害物質(zhì)量都相等；若剩留量為所經(jīng)過的時(shí)間分別是，則.其中所有正確的敘述是.OO1234y1t(月)五、隨堂練習(xí)1.某工廠簽訂了供貨合同后組織工人生產(chǎn)某貨物，生產(chǎn)了一段時(shí)間后，由于訂貨商想再多訂一些，但供貨時(shí)間不變，該工廠便組織工人加班生產(chǎn)，能反映該工廠生產(chǎn)的貨物數(shù)量y與時(shí)間x的函數(shù)圖象大致是（）.2.下列函數(shù)中隨增大而增大速度最快的是（）.A．B．C．D．3.根據(jù)三個(gè)函數(shù)給出以下命題：（1）在其定義域上都是增函數(shù)；（2）的增長(zhǎng)速度始終不變；（3）的增長(zhǎng)速度越來越快；（4）的增長(zhǎng)速度越來越快；（5）的增長(zhǎng)速度越來越慢。其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）.A.2B.3C.4D.54.當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系是.5.某服裝個(gè)體戶在進(jìn)一批服裝時(shí)，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)打了七五折，他打算對(duì)該服裝定一新價(jià)標(biāo)在價(jià)目卡上，并注明按該價(jià)20%銷售.這樣，仍可獲得25%的純利.求此個(gè)體戶給這批服裝定的新標(biāo)價(jià)與原標(biāo)價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系.六、課后作業(yè)1、已知鐳經(jīng)過100年，質(zhì)量便比原來減少％，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過年后的剩留量為，則的函數(shù)解析式為.2、某新型電子產(chǎn)品2023年投產(chǎn),計(jì)劃2023年使其成本降低36℅.則平均每年應(yīng)降低成本℅.3、有40米的籬笆在一25米長(zhǎng)的墻邊靠墻圍成一面積是200平方米的矩形場(chǎng)地，則此矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)寬分別是4、某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入R是單位產(chǎn)量Q的函數(shù)：R（Q）=4Q-1200Q2，則總利潤(rùn)L（Q）的最大值是萬元，這時(shí)產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為．（總利潤(rùn)=總收入-成本）5.洪山縣從2000年開始實(shí)施退耕還林，每年退耕還林的面積如下表：

①上表反映的是哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？

②從表中可知，隨時(shí)間的變化，退耕還林面積的變化趨勢(shì)是什么？

③從2000年到2023年底，洪山縣已完成退耕還林面積多少畝？幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型一、課前準(zhǔn)備2．基礎(chǔ)預(yù)探1、審清題意、建立模型2、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)3、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對(duì)函數(shù)、冪函數(shù)等二、基本知識(shí)習(xí)題化1.解析：由題意可知，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證，答案選A。2.解析：由題意得，與的函數(shù)關(guān)系是遞增變慢得一個(gè)函數(shù)模型，故選D。3.解析：由題意可得，此函數(shù)可選擇一個(gè)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行模擬，如。4.解析：由題意得，，所以，可根據(jù)函數(shù)，所以，當(dāng)?shù)谩Ｋ?、典例?dǎo)析變式練習(xí)1、解析：（1）（2）由題意得，設(shè)利潤(rùn)為S，則S關(guān)于x的表達(dá)式為所以，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)有最大值50702、解析：由題意得，函數(shù)的解析式為（）（1）當(dāng)時(shí)，；（2）不正確，每月的減少量不相等；（3）當(dāng)時(shí)，即，所以，故（1）（3）正確。五、隨堂練習(xí)1.解析：根據(jù)函數(shù)的變化趨勢(shì)，應(yīng)為一次函數(shù)式，先慢后快得形式，故選B。2.解析：根據(jù)函數(shù)的變化趨勢(shì)，應(yīng)為冪函數(shù)變化速度最快，故選C3.解析：由題意得（1）正確；（2）中一次函數(shù)的增長(zhǎng)是恒定的，始終不變；（4）指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)越來愈快，正確；（5）中，對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來越慢。故選C。4.當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系是.5.解：設(shè)新價(jià)為b元，則銷售價(jià)為（1-20%）b，進(jìn)價(jià)為a（1-25%），（1-20%）b-（1-25%）a是每件的純利．

∴（1-20%）b-（1-25%）a=（1-20%）b×25%

則45b-34a=15b

∴b=54a

設(shè)新價(jià)讓利總額為y（元），售出貨物為x件，則

y=20%bx=20%×54ax=14ax．

故此商人經(jīng)銷這種貨物時(shí)按新價(jià)讓利總額與貨物售出件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=14ax．六、課后作業(yè)1、解：由題意可得，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x=100時(shí)，y=%=，結(jié)合選項(xiàng)檢驗(yàn)所以2、解：設(shè)平均每年降低x，（1-x）2=1-36%解得x=20%或x=180%（舍去）．故平均每年降低20%．3、解：設(shè)矩形場(chǎng)地的寬為x米，則長(zhǎng)為（40-2x）米，依題意得x（40-2x）=200解方程得x1=x2=1040-2x=20＜25，符合題意所以矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)