二次根式定義及性質(zhì)

二次根式定義及性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容:1?學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解二次根式的概念，了解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由：理解并掌握下列結(jié)論：=a(a>())=a(a>())翻十a(chǎn)"、,并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).直點(diǎn)：" 〉； ，aS°）及其運(yùn)用.3?難點(diǎn)：利叭W）=a（QO）廬=a（aMO）解決具體問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念一般地，我們把形如亦（a$0）?的式子叫做二次根式，“丿~”稱(chēng)為二次根號(hào).知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)I亦>0（cz>0）.a(aa(a>0)-a(a<0)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：唐二需?筋9巴0,BA0）；殺李（如,&>0）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：農(nóng) ?知識(shí)點(diǎn)三：代數(shù)式s形如5,a,a+b,ab,』，x，,拓（°二°）這些式子，用基本的運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子，我們稱(chēng)這樣的式子為代數(shù)式（algebraicexpression）?經(jīng)典例題透析類(lèi)型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 丄恵、細(xì)、X、旅（x>0）、&、晅、-忑、x+y、（x$o,y$o）思路點(diǎn)撥：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“J~”；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0.解：二次根式有：罷、拡（x>0）、五、-忑、J"+y（x$O,y$0）；不是二次根式的有：迥、x、返、W.例2、當(dāng)x是多少時(shí)，藥‘在實(shí)數(shù)范闈內(nèi)有意義？思路點(diǎn)撥：由二次根式的定義可知，被開(kāi)方數(shù)一定要人于或等于0,所以3x-l>0,?血7才能有意義.解：由3x-l$0,得：事1 當(dāng)x>3時(shí)，腑口在實(shí)數(shù)范|韋|內(nèi)有意義.總結(jié)升華：要使二次根式在實(shí)數(shù)范憐I內(nèi)仃意義，必須滿足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).舉_反三【變式l】x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式實(shí)數(shù)范闈內(nèi)有意義？ 1⑴Jy+iF；（2）v^i；2解：（1）由（x+1）$0,解得：x取任意實(shí)數(shù)???當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式』（兀+1尸在實(shí)數(shù)范附內(nèi)都有意義.（2）由x-1^0,且x」H0,解得：x>l???當(dāng)X>1時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義.【變式2】當(dāng)x是多少時(shí)，血+3+兀+1在實(shí)數(shù)范［韋|內(nèi)有意義？ 1思路點(diǎn)撥：要使血+弭兀+1在實(shí)數(shù)范［韋|內(nèi)有意義， 丄必須同時(shí)滿足JN+d中的2X+3M0和兀+1中的x+lHO.r2x+3>0<解：依題意，得k+lH°3由①得：x$-2由②得：x工3 1當(dāng)xM空且xHJ時(shí)，血+F+1在實(shí)數(shù)范闌內(nèi)有意義.例1、計(jì)算：⑴附⑵1（5）@ay（b$o例1、計(jì)算：⑴附⑵1（5）@ay（b$o）（6）（：思路點(diǎn)撥：我們可以直接利用（解：的12=7⑴?/⑵fM（府_（4）12J= 2272： （5）（6）（?何-（則=45-75類(lèi)型二：二次根式的性質(zhì)IT〈J2（凋（a^O）的結(jié)論解題.3=32x（5^）2=9x5=45（朋）2=f?（何=竝?=-30舉一反三舉一反三【變式1】計(jì)算:心）

心）(4)12^+9思路點(diǎn)撥：(1)因?yàn)閤$0,所以(4)12^+9思路點(diǎn)撥：(1)因?yàn)閤$0,所以x+l>0：a'+2a+1=(a+1)—0；a2^0；4x2-12x+9=(2x)2-2?2x?3+3'=(2x?3)2$0?所以上面的4題都可以運(yùn)用(需)二a(aA0)的重要結(jié)論解題.解：(1)因?yàn)閤^O,所以x+l>0的丫=盼Ta—0,??八 * :Va2+2a+l=(a+l)2(寸農(nóng)+2(2+1)又V(a+l)2^0,Aa2+2a+1^0. Z=a:+2a+l：V4x2-12x+9=(2x)<2?2x?3+32=(2x-3)2又V(2x-3)2>0(MF—12兀+9『A4x2-12x+9^0, '=4x:-12x+9?例2、化簡(jiǎn):⑴加;(2)J(-4『:⑶辰；(4)J(-卯.思路點(diǎn)撥：因?yàn)棰?=32,(2)(-4)2=4-,(3)25=5-,(4)(-3)2=32,所以都可運(yùn)用翻皿 去化簡(jiǎn).解：(1)少=存=3； (2)J(-野=妍=4;(3)妬=疔=5： (4)J(-纖=療=3.例3、填空：當(dāng)時(shí)，滬=—:當(dāng)aVO時(shí)，,?并根據(jù)這一性質(zhì)回答卞列問(wèn)題.若&=a,則a可以是什么數(shù)？若屈=-a,則a可以是什么數(shù)？&>a,則a可以是什么數(shù)？思路點(diǎn)撥：=a(a$O),???要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使氣尸”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)aWO時(shí)，滬= ,那么-a>0.根據(jù)結(jié)論求條件：(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知，而要人于a,只有什么時(shí)候才能保證呢？解：(1)因?yàn)?，所以?：因?yàn)?，所以aWO：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，要使，即使a>a所以a不存在；當(dāng)K0時(shí)，，要使，即使-a>a,即a<0：綜上，a<0.類(lèi)型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用例1、當(dāng)x=4時(shí)，求二次根式的值.思路點(diǎn)撥：二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同.解：將x=-4代入二次根式，得=.例2、⑴已知y=++5,求的值.(2)若+=0,求的值.解：⑴由可得,,⑵例3、在實(shí)數(shù)范圉內(nèi)分解因式：x2-5； (2)x3-2x；解:⑴原式原式學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題下列式子中，不是二次根式的是()A. E? C? D?已知一個(gè)正方形的面積是5,那么它的邊長(zhǎng)是()A.5 B. C. D.以上皆不對(duì)(福建省福州市)若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范I韋I內(nèi)有意義，則x的取值范I韋I為()A.x>0 B.x$0 C.x工0 D.x30且xH1的值是()A.0 B. C.4 D.以上都不對(duì)a$0時(shí)，、、，比較它們的結(jié)果，卞面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是()A. B.

c.D.c.(遼寧省人連市)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)可能是()TOC\o"1-5"\h\zA. E?C? D?填空題若，貝|JX= ?若有意義，則的取值范圍是 .?= ?4= .5?= .若，貝ij .若,則 :若,則 ?8.化簡(jiǎn)：= .9.計(jì)算：(1)= :(2尸 ；(3)= 。10?(內(nèi)蒙古鄂爾多斯市)如圖，在數(shù)軸上，A、E兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有 個(gè).三、解答題求下列二次根式中字母a的取值范圍：, (2)； (3).某工廠要制作一批體積為山卩的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計(jì)需要，?底面應(yīng)做成正方形，試問(wèn)底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？能力提升一、選擇題1?使式子有意義的未知數(shù)X有()個(gè)C?C?2D.無(wú)數(shù)A.0E?12?(山西省臨汾市)若，則與3的人小關(guān)系是()TOC\o"1-5"\h\zA. B? C? D?下列計(jì)算正確的是()A. B? C? D?(福建省廈門(mén)市)下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是()A. B. C. D.二、填空題1?若，則 .若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是 .已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則 三、解答題1?當(dāng)x是多少時(shí)，+*在實(shí)數(shù)范闈內(nèi)有意義？若+有意義，求的值.(北京市海淀區(qū))已知實(shí)數(shù)x,y滿足，求代數(shù)式的值.已知，求x+y的值.綜合探究那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是(那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是(江蘇省蘇州市)等式中的括?號(hào)應(yīng)填入 ?先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下:甲的解答為：原it=a+=a+(l-a)=l；乙的解答為：原式=a+=a+(a-l)=2a-l=17.兩種解答中， 的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是 若時(shí)，試化簡(jiǎn).在實(shí)數(shù)范閑內(nèi)分解下列因式：二次根式定義及性質(zhì)測(cè)試題一、復(fù)習(xí)3、求下列各數(shù)的平方根:4、求卞列各數(shù)的正平方根:(1)4； (2)0.16； (3)? (1)225; (2)0.0001； (3)?二、二次根式的意義二次根式的意義代數(shù)式 叫做二次根式，讀作 ，其中 是被開(kāi)方數(shù).通常把形如 的式子也叫做二次根式.二次根式何時(shí)有意義二次根式有意義的條件是 例題例題1下列各式是二次根式嗎?例題2設(shè)x是實(shí)數(shù)，當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，下列各式有意義?(1); (2)； (3)； (4)?練習(xí)(一)設(shè)X是實(shí)數(shù)，當(dāng)X滿足什么條件時(shí)，下列各式有意義？(1); (2)； (3).三、二次根式的性質(zhì)性質(zhì)1： :性質(zhì)2： 性質(zhì)3： :性質(zhì)4： 例題3求下列二次根式的值：(1); (2),其中.例題4化簡(jiǎn)二次根式(1)；(2)：(3)：；(5)：(6)例題5設(shè)°、/八c分別是三角形三邊的長(zhǎng)，化簡(jiǎn):練習(xí)(二)：1、化簡(jiǎn)下列二次根式(1);(2)； (3)；(4)；(5)：(6)62、選擇題TOC\o"1-5"\h\z、實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖，則( )A、b?a 2-a-bC>a-bD、2+a-b ?、化簡(jiǎn)的結(jié)果是( )AnE、C、 D、、如果，那么尤的取值范圍是( )A、1WxW2E、1VxW2C、x$2D、x>2最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式1、最簡(jiǎn)二次根式符合的兩個(gè)條件：(1) :(2) .例題6判斷卜?列二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式：(1)；(2)；(3)；(4)例題7將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式:(1)；(2)；(3)2、練習(xí)(三)判斷卞列二次根式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式