工程電磁場導論矢量

工程電磁場導論矢量第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1.1標量場與矢量場標量:

數學上：—實數域內任一代數量a(-,+) 物理上：代數量+物理意義；或者說一個只用大小描述的物理量。如電壓，電荷，質量，能量等矢量:

數學上：一般的三維空間中既有大小又有方向的量 物理上：矢量+物理意義；或者說一個既有大小又有方向的物理量。常用黑斜體字母或帶箭頭的字母如A或如速度、電磁場等.第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日場： 物理量在時空中的確定分布.標量場：物理量是一個標量，則所確定的場稱為標量場，用標量函數表示為如物體的溫度分布T(r,t)、電位分布(r,t)等矢量場：物理量是一個矢量，則所確定的場稱為矢量場，用矢量函數表示既具有大小又具有方向的場。如電場第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日靜態(tài)場：物理量不隨時間變化，則所確定的場稱為靜態(tài)場。動態(tài)場（或時變場）：物理量隨時間變化，則所確定的場稱為動態(tài)場。矢量的表示形式:一個矢量可以用一條有方向的線段來表示,線段的長度表示矢量的模,箭頭指向表示矢量的方向.AP矢量的模：表示矢量的大小A矢量的方向；第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.1.2矢量的運算（加法/減法）矢量加/減法遵循平行四邊形法則,其運算滿足:

(交換律)(結合律)1.1.3矢量的運算（點積、叉積）①標量與矢量乘積

模②矢量與矢量乘積點積（標積）叉積（矢積）第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日點積：（標量）叉積：﹛大小方向：垂直與包含的面和（矢量）右手法則矢量點積服從：

（交換律）（分配律）矢量叉積服從：標量三重積矢量三重積（不服從交換律）（分配律）第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日

三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1.2三種常用的正交曲線坐標系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球面坐標系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日1、直角坐標系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量

點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日直角坐標系中A矢量：

B矢量：（圓柱坐標系及球坐標系下相應知識）類似第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日2、圓柱面坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量132（1）（2）（3）第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日3、球面坐標系球面坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日4、坐標單位矢量之間的關系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系oqrz單位圓

柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關系qq

ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系

f第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日§1.3標量場的梯度等值面的概念：在標量場中，使標量函數取得相同數值的點構成一個空間曲面稱為等值面。等值面方程：C為任意給定的常數。

等值面的特點：①常數C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，

形成等值面族；

②若

是標量場中的任一點，顯然，曲面

是通過該點的等值面，因此標量場的等值面充滿場所在的整個空間；?第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日例題求二維標量場的等值面

由于z不影響u,故在任意z=const的面上場的分布是相同的。(片狀分布)取u為某一常量c時c=y2-x是一組拋物線立體拋物柱面③由于標量函數為單一值，一個點只能在一個等值面上，因此標量場的等值面互不相交（兩個等值面不能有相同的c值）第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.3.2標量場的方向導數方向導數的概念:方向導數的意義：方向導數是描述標量場沿L方向對距離的變化率。

方向導數的計算公式是標量場中的一點，從該點出發(fā)引一條射線L,M是射線上的動點。到點的距離為（直角坐標系）第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日式中：是L方向的方向余弦。方向導數的特點：1.3.3梯度問題的提出：標量場在什么方向上的變化率最大、其最大的變化率又是多少？(方向導數沿何方向取得最大值？）(grads)第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日通過推導發(fā)現，當方向與矢量

方向一致時，方向導數的值最大，由此可以得到梯度在三種不同的坐標系下的計算公式：第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日為哈密頓算符，（讀作del或Nabla)在直角坐標系中記住!!練習U=2x+y+z求其梯度第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日自證（作業(yè)）

在電磁場中，通常以表示源點的坐標，以表示場點的坐標，因此上述運算結果在電磁場中非常重要！第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.4矢量場的通量散度1.4.1矢量場的矢量線形象地描述矢量場在空間的分布

矢量線的概念：矢量線是場空間中的有向曲線，矢量線上任一點的切線方向都與該點的場矢量方向相同，如圖所示。第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日特點：矢量場中的每一點都有矢量線通過，矢量線充滿矢量場所在的空間。

解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。則既能根據矢量線確定矢量場中各點矢量的方向，又可根據各處矢量線的疏密程度，判別各處的矢量大小及變化趨勢。如：電場線第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日求此二維場的力線方程及場圖由力線方程有：例題有一二維矢量場:因此求得的矢量線是一組同心圓。

？思考哪種矢量線具有這種特點第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日分析矢量穿過一個曲面的通量面元矢量法向矢量有兩個要素：{右手螺旋法則（開面）閉合面外法線（雞蛋殼外表面）面大小穿越方向1.矢量場的通量

矢量場的通量是描述矢量場性質的重要概念之一。通量的概念：矢量場在場中的曲面上的標量積（稱為矢量場的通量，取一小面元ds為例§1.4.2矢量的通量、散度(點乘）點積第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日曲面通量：>0表示有凈流出---正通量源例：靜電場中的正電荷

<0表示有凈流入---負通量源例：靜電場中的負電荷＝0正通量源與負通量源代數和為0—無通量源矢量流與穿越面積方向乘積的和通量的物理意義：手例穿出閉曲面的正通量與進入閉曲面的負通量的代數和。第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日通量的特點：描述的是一定范圍內總的凈通量源，而不能反映場域內的每一點的具體分布情況2矢量場的散度

矢量場的散度描述矢量場在一個點附近的通量特性。第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日散度的物理意義：通量源的密度。時，發(fā)出矢量線的正源；時，發(fā)出矢量線的負源；時，無通量源。第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日設有如圖的小立方體及矢量場散度的直角坐標表示第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日!!第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日記住第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日散度(高斯)定理例球體第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日例1:已知解：根據散度的計算公式：第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日

第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.5.2矢量場的旋度

矢量場的旋度描述場域內的旋渦源分布情況的重要概念。第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日上式為旋度在方向的投影（面元矢量為）第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日不同坐標系下旋度計算公式：直角坐標系

（圓柱坐標系）

（球坐標系）

!!記住第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日斯托克斯定理矢量對閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對該矢量旋度的面積分。第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日例：第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.6無旋場與無散場1.無旋場（1）如果一個矢量場的旋度處處為0，即則該矢量場為無旋場。它是由散度源產生的。例如靜電場。梯度是一無旋場證明：取直角坐標系結論1：第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日結論（2）引申：無旋場可以表示為某一個標量場的梯度即如果則存在一個標量函數u,使得其中的負號是為了與電磁場中的電場強度E與標量電位的關系相一致第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日

結論（3）由斯托克斯定理對一個無旋場表明無旋場的曲線積分與路徑無關，只與起點和終點有關。（證明如下）第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日以Q為固定點，則上式可以看作是點P的函數：因為一個標量場可以完全由它的梯度來確定同時表明一個無旋場可以對應無數個標量位函數（參考點的選?。┑谒氖屙?，共五十五頁，2022年，8月28日結論：任意矢量旋度的散度恒為零1.6.2無散場如果一個矢量場的散度處處為0，即

則該矢量場為無散場證明：第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日由此可知：對于任何一個無散場。必然可以表示為某個矢量場的旋度。即：為矢量位函數，簡稱矢量位第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日1.7拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算：

1.對標量場而言：稱為標量場的拉普拉斯運算稱為拉普拉斯算符第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日直角坐標系中：2.對矢量場而言：直角坐標系中：第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理設而得格林第一恒等式同理，若設格林第一恒等式表示為——格林第二恒等式格林定理第五十頁，共五十五頁，2022年，8月28日由散度定理格林第一恒等式：格林第二恒等式：格林定理描述了兩個標量場之間的關系，如果已知其中一個場的分布，可以利用該定理求解另一個場的分布。第五十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日