第二章 典型環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型(2-1)

第二章物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)控制工程的數(shù)學(xué)方法（Laplace變換）第二節(jié)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1第四節(jié)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）特點(diǎn)：輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。運(yùn)動(dòng)方程:

c(t)=Kr(t)

K——放大系數(shù)，通常都是有量綱的。傳遞函數(shù)：頻率特性：

2例：輸入：(t)——角度E——恒定電壓

輸出：u(t)——電壓

運(yùn)動(dòng)方程：

u(t)=K(t)傳遞函數(shù)：K——比例系數(shù)，量綱為伏/弧度。頻率特性：G（j）=K

3

例：輸入：n1(t)——轉(zhuǎn)速Z1——主動(dòng)輪的齒數(shù)

輸出：n2(t)——轉(zhuǎn)速Z2——從動(dòng)輪的齒數(shù)運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：

4其它一些比例環(huán)節(jié)52、微分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：動(dòng)態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：

頻率特性：

6例

RC電路

設(shè)：輸入——ur(t)輸出——uc(t)

消去i(t)，得到運(yùn)動(dòng)方程：

傳遞函數(shù)：（Tc=RC）

當(dāng)Tc<<1時(shí)，傳遞函數(shù)又可表示成：頻率特性：G（j）=jTc——此時(shí)可近似為純微分環(huán)節(jié)。7例：測速發(fā)電機(jī)CF的數(shù)學(xué)描述

輸入：

(t)——電動(dòng)機(jī)D轉(zhuǎn)子（與測速發(fā)電機(jī)同軸）的轉(zhuǎn)角輸出：

uf(t)——測速發(fā)電機(jī)的電樞電壓運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：

G（s）=Ks頻率特性：

G（j）=jK

8其他舉例

93、積分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：輸出量的變化速度和輸入量成正比。運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：

10例：積分電路輸入為r(t)，輸出為c(t)運(yùn)動(dòng)方程：

傳遞函數(shù)：

（T=R1C）頻率特性：

11其它舉例12

4、慣性環(huán)節(jié)(又叫非周期環(huán)節(jié))

特點(diǎn)：此環(huán)節(jié)中含有一個(gè)獨(dú)立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時(shí)間上的延遲。運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：

13例：直流電機(jī)輸入量:ud——電樞電壓輸出量：id——電樞電流動(dòng)態(tài)方程如下：即傳遞函數(shù):式中Ld——電樞回路電感；

Rd——電樞回路電阻；

τd——電樞繞組的時(shí)間常數(shù)；14其他一些例子

155、振蕩環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：包含兩個(gè)獨(dú)立的儲能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，兩個(gè)儲能元件的能量進(jìn)行交換，使輸出帶有振蕩的性質(zhì)。運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：式中：——阻尼比，T——振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。頻率特性：

16例：RLC電路解：消去中間變量i(t)得到運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：

17例：ea(t)---輸入量為加在電樞兩端(t)---輸出量為電機(jī)軸的角位移;R------電樞繞組的電阻；L------電樞繞組電感；i(t)----電樞繞組中的電流；eb(t)--電動(dòng)機(jī)的反電勢；T(t)---電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩；J------電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B------電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的粘性摩擦系數(shù)。18電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程1）T(t)=Ki(t)T(t)——轉(zhuǎn)矩K——力矩系數(shù)2）eb(t)——反電勢Kb——反電勢常數(shù)3）ea(t)——電樞兩端的電壓4）分別進(jìn)行拉氏變換1）T(s)=KI(s)2）Eb(s)=Kbs(s)3）Ea(s)=(Ls+R)I(s)+Eb(s)4）T(s)=(Js2+Bs)(s)19消去中間變量Eb(s)、T(s)和I(s)

如果輸入量Ea(s)，輸出量轉(zhuǎn)速(s)，則又可得到：

這是一個(gè)典型的振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)頻率特性：

20電樞回路中的電感L通常較小，若忽略L的影響，則：

式中：km=K/(RB+KKb)——電動(dòng)機(jī)增益常數(shù)

Tm=RJ/(RB+KKb)——電動(dòng)機(jī)時(shí)間常數(shù)。如果J、R比較小，Tm趨近于零，又可簡化為：

21機(jī)械裝置

輸入----------力：f(t)，輸出----------位移：x(t)。微分方程式中：K——彈簧彈性系數(shù)；

M——物體的質(zhì)量，

B——粘性摩擦系數(shù)。傳遞函數(shù)：

226、一階微分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：

G(s)=Ts+1

頻率特性：

G(j)=jT+1

23RC電路輸入：u(t)，輸出：i(t)，則

傳遞函數(shù)：（R=1RC=）

頻率特性：一階微分環(huán)節(jié)可看成一個(gè)微分環(huán)節(jié)與一個(gè)比例環(huán)節(jié)的并聯(lián)，其傳遞函數(shù)和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)。247、二階微分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：輸出量與輸入量及輸入量的一階、二階導(dǎo)數(shù)都有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程：

傳遞函數(shù)：頻率特性：可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和頻率特性是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)。25小結(jié)（1）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳遞函數(shù)。例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個(gè)例子，