第二章 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1拉普拉斯變換2-2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)函數(shù)2-3控制系統(tǒng)的頻域數(shù)學(xué)函數(shù)2-4動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅遜公式2-5系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)2-6典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)返回主目錄分析和設(shè)計任何一個控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析法和實驗法解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實驗驗證。實驗法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。比較：解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而實驗方法適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。實際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效。2-1拉普拉斯變換返回子目錄

拉普拉斯變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求解。

拉氏變換法2-2控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型基本步驟：分析各元件的工作原理，明確輸入、輸出量建立輸入、輸出量的動態(tài)聯(lián)系消去中間變量標(biāo)準(zhǔn)化微分方程返回子目錄

列寫微分方程的一般方法例1.列寫如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程。RCuruci解：由基爾霍夫定律得:式中:i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流,消去中間變量i,可得:令（時間常數(shù)），則微分方程為：例2.

設(shè)有一彈簧質(zhì)量阻尼動力系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動，試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的動態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。解：分析質(zhì)量塊m受力，有外力F,彈簧恢復(fù)力

Ky（t）阻尼力慣性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于質(zhì)量塊上的主動力，約束力以及慣性力。將各力代入上等式，則得式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系數(shù)（N·s/m);

K——彈簧剛度（N/m)。將式(2-4)的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化T稱為時間常數(shù)，為阻尼比。顯然，上式描述了m－K－f系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)系，它是一個二階線性定常微分方程。令，即，則式可寫成求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法。線性定常微分方程的求解

拉氏變換法求解步驟：

1.考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進(jìn)行拉氏變換，得到變量s的代數(shù)方程；

2.求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式；

3.對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例3

已知R1=1Ω，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)解：2－2非線性微分方程的線性化在實際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。返回子目錄于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化處理確有必要。對弱非線性的線性化如上圖（a），當(dāng)輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當(dāng)死區(qū)或間隙很小時（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。在平衡點(diǎn)A（x0，y0）處，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出—輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng)很小時，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化?！鱴可得，簡記為y=kx。若非線性函數(shù)由兩個自變量，如z＝f（x,y），則在平衡點(diǎn)處可展成（忽略高次項）經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡化。但對于如圖（d）所示為強(qiáng)非線性，只能采用第八章的非線性理論來分析。對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例：設(shè)線性微分方程式為若時，方程有解，而時，方程有解，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng)＋時，必存在解為，即為可疊加性。

上述結(jié)果表明，兩個外作用同時加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，而且外作用增強(qiáng)若干倍，系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若干倍，這就是疊加原理。若時，為實數(shù)，則方程解為，這就是齊次性。2－3傳遞函數(shù)

(transferfunction)傳遞函數(shù)的概念與定義

線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均為零的條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。返回子目錄這里，“初始條件為零”有兩方面含義：一指輸入作用是t＝0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t=時的值為零。二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t=時，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的。一、傳遞函數(shù)的概念與定義G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次是：m，n

。二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；傳遞函數(shù)只表明一個特定的輸入、輸出關(guān)系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；（可定義傳遞函數(shù)矩陣，見第九章）傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，因為當(dāng)時，，所以，一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實意義，而且容易實現(xiàn)。三、傳遞函數(shù)舉例說明例4.

如圖所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)，圖中電感為L（亨利），電阻為R（歐姆），電容為C（法），試求輸入電壓ui(t)與輸出電壓uo(t)之間的傳遞函數(shù)。試列寫網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s).例4

如圖RLC電路，RLCi(t)ur(t)uc(t)解:1)零初始條件下取拉氏變換：傳遞函數(shù)：因為電阻、電容、電感的復(fù)阻抗分別為R、1∕Cs、Ls，它們的串并聯(lián)運(yùn)算關(guān)系類同電阻。則傳遞函數(shù)為LsR1/sCI(s)Ur(s)Uc(s)2)變換到復(fù)頻域來求。傳遞函數(shù)分子多項式與分母多項式經(jīng)因式分解可寫為如下形式：四傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)

傳遞函數(shù)分子多項式的根zi稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；分母多項式的根pj稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。K*稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。K稱為傳遞系數(shù)或增益，在頻率法中使用較多。0

jS平面

零、極點(diǎn)分布圖

傳遞函數(shù)分子多項式與分母多項式也可分解為如下形式：例5

具有相同極點(diǎn)不同零點(diǎn)的兩個系統(tǒng)

,它們零初始條件下的單位階躍響應(yīng)分別為

極點(diǎn)決定系統(tǒng)響應(yīng)形式（模態(tài)），零點(diǎn)影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占比重。五

傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對輸出的影響六、典型環(huán)節(jié)一個傳遞函數(shù)可以分解為若干個基本因子的乘積，每個基本因子就稱為典型環(huán)節(jié)。常見的幾種形式有：比例環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為一階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：，T

為時間常數(shù)。二階振蕩環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：T為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)。二階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)此外，還經(jīng)常遇到一種延遲環(huán)節(jié)，設(shè)延遲時間為，該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：2－4動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是一種數(shù)學(xué)模型，采用它將更便于求傳遞函數(shù)，同時能形象直觀地表明輸入信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。返回子目錄一、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的概念系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖由若干基本符號構(gòu)成。構(gòu)成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號有四種，即信號線、傳遞方框、綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)。信號線

表示信號輸入、輸出的通道。箭頭代表信號傳遞的方向。2.傳遞方框G(s)方框的兩側(cè)為輸入信號線和輸出信號線，方框內(nèi)寫入該輸入、輸出之間的傳遞函數(shù)G(s)。3.綜合點(diǎn)綜合點(diǎn)亦稱加減點(diǎn)，表示幾個信號相加、減，叉圈符號的輸出量即為諸信號的代數(shù)和，負(fù)信號需在信號線的箭頭附近標(biāo)以負(fù)號。＋省略時也表示＋4.引出點(diǎn)表示同一信號傳輸?shù)綆讉€地方。二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式1.串聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框與方框通過信號線相連，前一個方框的輸出作為后一個方框的輸入，這種形式的連接稱為串聯(lián)連接。2.并聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)兩個或兩個以上的方框，具有同一個輸入信號，并以各方框輸出信號的代數(shù)和作為輸出信號，這種形式的連接稱為并聯(lián)連接。3.反饋連接一個方框的輸出信號輸入到另一個方框后，得到的輸出再返回到這個方框的輸入端，構(gòu)成輸入信號的一部分。這種連接形式稱為反饋連接。G(s)R(s)－C(s)H(s)三、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成構(gòu)成原則：

按照動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式，構(gòu)成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，連接成系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

例7

繪出RC電路的結(jié)構(gòu)圖。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例8

繪出圖示雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。uiuouC2C1ici1R1R2i2解：列出所有的象函數(shù)uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s)Uo(s)(d)(-)IC(s)U(s)(c)IC(s)I1(s)I2(s)(-)(b)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(a)I2(s)Uo(s)(e)繪出網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的復(fù)頻域圖，可得：uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s)Uo(s)(d)(-)IC(s)U(s)(c)IC(s)I1(s)I2(s)(-)(b)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(a)I2(s)Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)最后整理成常規(guī)結(jié)構(gòu)圖四結(jié)構(gòu)圖的等效變換思路：

在保證總體動態(tài)關(guān)系不變的條件下，設(shè)法將原結(jié)構(gòu)逐步地進(jìn)行歸并和簡化，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框。1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（１）串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)等效變換證明推導(dǎo)G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（２）等效變換證明推導(dǎo)G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（３）串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)?G2(s)R(s)C(s)兩個串聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的乘積。1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（４）2.并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)等效變換證明推導(dǎo)(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)2.并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)

并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)兩個并聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)圖G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(s)=?3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)的等效變換圖G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)4.綜合點(diǎn)的移動（后移）綜合點(diǎn)后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動后）移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移動后綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動前后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動后）G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)綜合點(diǎn)后移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)綜合點(diǎn)前移G(s)R(s)C(s)Q(s)綜合點(diǎn)前移證明推導(dǎo)（移動前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點(diǎn)前移證明推導(dǎo)（移動后）移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移動后綜合點(diǎn)前移證明推導(dǎo)（移動前后）4.綜合點(diǎn)的移動（前移）綜合點(diǎn)前移證明推導(dǎo)（移動后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？4.綜合點(diǎn)的移動（前移）綜合點(diǎn)前移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)4.綜合點(diǎn)之間的移動結(jié)論：結(jié)論：多個相鄰的綜合點(diǎn)可以隨意交換位置。R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)5.引出點(diǎn)的移動引出點(diǎn)后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)問題：要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變，

？等于什么。引出點(diǎn)后移等效變換圖G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)引出點(diǎn)前移問題：要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變，？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)引出點(diǎn)前移等效變換圖G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)引出點(diǎn)之間的移動相鄰引出點(diǎn)交換位置，不改變信號的性質(zhì)。ABR(s)BAR(s)五舉例說明（例1）例1：利用結(jié)構(gòu)圖變換法，求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)θc(s)/θr(s)

。例題分析由動態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以看出該系統(tǒng)有兩個輸入r，ML（干擾）。我們知道：傳遞函數(shù)只表示一個特定的輸出、輸入關(guān)系，因此，在求c對r的關(guān)系時，根據(jù)線性疊加原理，可取力矩

ML＝0，即認(rèn)為ML不存在。要點(diǎn)：結(jié)構(gòu)變換的規(guī)律是：由內(nèi)向外逐步進(jìn)行。例題化簡步驟（1)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：例題化簡步驟（2)內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換：例題化簡步驟（3)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：例題化簡步驟（4)反饋環(huán)節(jié)等效變換：例題化簡步驟（5)求傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s)

：五舉例說明（例2）例2：系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。例2（例題分析）本題特點(diǎn)：具有引出點(diǎn)、綜合交叉點(diǎn)的多回路結(jié)構(gòu)。例2（解題思路）解題思路：消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。例2（解題方法一之步驟1）將綜合點(diǎn)2后移，然后與綜合點(diǎn)3交換。例2（解題方法一之步驟2）例2（解題方法一之步驟3）例2（解題方法一之步驟4）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換例2（解題方法一之步驟5）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果例2（解題方法一之步驟6）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換例2（解題方法一之步驟7）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果例2（解題方法一之步驟8）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換例2（解題方法一之步驟9）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果例2（解題方法一之步驟10）反饋環(huán)節(jié)等效變換例2（解題方法一之步驟11）等效變換化簡結(jié)果例2（解題方法二）將綜合點(diǎn)③前移，然后與綜合點(diǎn)②交換。例2（解題方法三）引出點(diǎn)A后移例2（解題方法四）引出點(diǎn)B前移結(jié)構(gòu)圖化簡步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運(yùn)用移動規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖化簡注意事項：有效輸入信號所對應(yīng)的綜合點(diǎn)盡量不要移動；盡量避免綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)之間的移動。信號流圖的基本性質(zhì)：

1)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)信號的代數(shù)和，用“O”表示；

2)信號在支路上沿箭頭單向傳遞；

3)支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變成另一信號；

4)對一個給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。信號流圖

信號流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。信號流圖中常用的名詞術(shù)語：源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：在源節(jié)點(diǎn)上，只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量。

1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x1阱節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：在阱節(jié)點(diǎn)上，只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量?；旌瞎?jié)點(diǎn)：在混合節(jié)點(diǎn)上，既有信號輸出的支路而又有信號輸入的支路。

前向通路：信號從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時，每個節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益，一般用Pk表示。

回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱回路?；芈飞细髦吩鲆嬷朔e稱回路增益，一般用La表示。

不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。1.由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖

1）將微分方程通過拉氏變換，得到S的代數(shù)方程；

2）每個變量指定一個節(jié)點(diǎn)；

3）將方程按照變量的因果關(guān)系排列；

4）連接各節(jié)點(diǎn)，并標(biāo)明支路增益。信號流圖的繪制上式拉氏變換C1uiR1R2uoi1i例3

求右圖的信號流圖Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1

信號傳遞流程：1)用小圓圈標(biāo)出傳遞的信號，得到節(jié)點(diǎn)。

2)用線段表示結(jié)構(gòu)圖中的方框，用傳遞函數(shù)代表支路增益。注意信號流圖的節(jié)點(diǎn)只表示變量的相加。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)結(jié)構(gòu)圖(節(jié)點(diǎn))C(s)R(s)G(s)(節(jié)點(diǎn))(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(s)D(s)V(s)11(b)信號流圖2.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖例4

繪制結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖(1)。Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2例4

繪制結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖(2)。五、用梅森（S.J.Mason）

公式求傳遞函數(shù)梅森公式的一般式為：

特征式：

—所有單獨(dú)回路增益之和；

—在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中兩個回路增益乘積和；

—在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中

三個回路增益的乘積之和。

—余因子式，即在信號流圖中，把與第K條前向通路相接觸的回路去掉以后的Δ值。其中：n—從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之前向通路總數(shù)。

Pk—從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第k條前向通路總增益。梅森公式參數(shù)解釋：

前向通路有兩條：，沒有與之不接觸的回路：，與所有回路不接觸：

解：三個回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4例5

已知系統(tǒng)信號流圖，求傳遞函數(shù)。

回路相互均接觸，則：f求傳遞函數(shù)X4/X1及

X2/X1。例6

已知系統(tǒng)信號流圖，解：三個回路有兩個互不接觸回路舉例說明（梅森公式）例7：試求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)求解步驟之一（例1）找出前向通路數(shù)n求解步驟之一（例1）前向通路數(shù)：n＝1求解步驟之二（例1）確定系統(tǒng)中的反饋回路數(shù)1.尋找反饋回路之一1.尋找反饋回路之二1.尋找反饋回路之三1.尋找反饋回路之四利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)利用梅森公式求傳遞函數(shù)(1)利用梅森公式求傳遞函數(shù)(2)求余子式1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖，再用特征式的求法，計算求余式1將第一條前向通道從圖上除掉后的圖圖中不再有回路，故1=1利用梅森公式求傳遞函數(shù)(3)例8：用梅森公式求傳遞函數(shù)試求如圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之一：確定反饋回路求解步驟之二：確定前向通路求解步驟之二：確定前向通路求解步驟之三：求總傳遞函數(shù)例9：對例8做簡單的修改①求反饋回路1②求反饋回路2③求反饋回路3④求反饋回