第2章牛頓插值法

數(shù)值分析第二章插值法均差與牛頓插值公式Lagrange插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)我們知道,Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為理論分析中很方便，但是當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)就要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化，這在實(shí)際計(jì)算中是很不方便的；Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。解決由線性代數(shù)的知識(shí)可知,任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可以表示成共n+1個(gè)多項(xiàng)式的線性組合那么，是否可以將這n+1個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？顯然，多項(xiàng)式組線性無關(guān)，因此，可以作為插值基函數(shù)基函數(shù)有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜。。。。。。為此引入差商和差分的概念差商(亦稱均差)/*

divideddifference*/1階差商

/*the1stdivideddifferenceoffw.r.t.xi

andxj

*/2階差商定義2.11101010111010],,...,[],,...,[],,...,[],...,,[],...,[++--+++--=--=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)階差商差商的計(jì)算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表差商具有如下性質(zhì):Warning:myheadisexploding…Whatisthepointofthisformula?差商的值與xi的順序無關(guān)！Newton插值公式及其余項(xiàng)12…………n+11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n+1Nn(x)Rn(x)ai=

f[x0,…,xi]Newton插值公式及其余項(xiàng)Newton插值公式及其余項(xiàng)例：已知x=1,4,9的平方根為1,2,3，利用牛頓基本差商公式求的近似值。解：從而得二階牛頓基本差商公式為因此計(jì)算得的近似值為性質(zhì)3P32練習(xí)上面我們討論了節(jié)點(diǎn)任意分布的插值公式，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到等距節(jié)點(diǎn)的情形，這時(shí)插值公式可以進(jìn)一步簡化，計(jì)算也簡單多了，為了給出等距節(jié)點(diǎn)的插值公式，我們先來看一個(gè)新概念；向前向后中心差分算子不在函數(shù)表上，要用到函數(shù)表上的值利用一階差分可以定義二階差分差分可以用歸納法證明如差分差分表差分與函數(shù)值之間的關(guān)系歸納可知，k階差商可表示為在等距節(jié)點(diǎn)的前提下,差商與差分有如下關(guān)系依此類推由差商與向前差分的關(guān)系Newton插值基本公式為如果假設(shè)1.Newton向前(差分)插值公式則插值公式化為其余項(xiàng)化為稱為Newton向前插值公式插值余項(xiàng)為Newton插值法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算較簡單,尤其是增加節(jié)點(diǎn)時(shí),計(jì)算只要增加一項(xiàng),這點(diǎn)是Lag