彈性力學(xué)2016年10月20日

彈

塑性力學(xué)崔杰（李亞東）土木工程學(xué)院/工程抗震中心

彈性力學(xué)

吳家龍等

36學(xué)時（8次課）

塑性力學(xué)引論

王仁等

北京大學(xué)出版社

8學(xué)時（2次課）

總復(fù)習(xí)（4學(xué)時、1次課）

考試（4學(xué)時、1次課）緒論第一章應(yīng)力狀態(tài)理論第二章應(yīng)變狀態(tài)理論第三章應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系第四章彈性力學(xué)問題的建立第五章平面問題的直角坐標(biāo)解答第六章平面問題的極坐標(biāo)解答第七章平面問題的復(fù)變函數(shù)解答第八章柱形桿的扭轉(zhuǎn)和彎曲第九章彈性力學(xué)方程的通解及其應(yīng)用第十章熱應(yīng)力第十一章彈性波的傳播第十二章彈性薄板的彎曲第十二章彈性力學(xué)的變分解法彈性力學(xué)的主要章節(jié)內(nèi)容塑性力學(xué)要點和說明

目的：了解塑性力學(xué)基本概念和要點

評價：很重要的一門學(xué)科

特點：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)力學(xué)知識

內(nèi)容：

1）基本概念：塑性（比例極限、彈性極限、屈服應(yīng)力、硬化、軟化、包氏效應(yīng)、加卸載）、粘性、脆性；

2）簡化模型：（骨架曲線）理想彈塑性模型、線性強(qiáng)化塑性模型、剛塑性模型；（加卸載模型）等向強(qiáng)化模型、隨動強(qiáng)化模型

3）π平面、屈服條件、屈服曲面、屈服曲面與π平面的關(guān)系及在π平面上的特點

4）屈服條件：Tresca屈服條件、Mises屈服條件、最大偏應(yīng)力屈服條件（表達(dá)式、圖示、與簡單實驗的關(guān)系）

5）加載條件：加載條件、加載曲面（后繼屈服面）、等向強(qiáng)化模型、隨動強(qiáng)化模型；加載、卸載、中性變載（適用條件）

6）幾個假設(shè)：穩(wěn)定材料假設(shè)、Drucker公設(shè)、伊留辛公設(shè)、三個公設(shè)的相互關(guān)系

7）公設(shè)的推論：加載面的外凸性、正交流動法則、增量（流動）理論、全量理論

程度要求：理解概念，會圖示。教材與主要參考書教材：《彈性力學(xué)》（上冊，第三版）吳家龍編同濟(jì)大學(xué)出版社參考書：《彈性理論》鐵木辛柯（Timoshenko）編科學(xué)出版社《彈性力學(xué)》徐芝綸編高等教育出版社《彈性力學(xué)學(xué)習(xí)方法及解題指導(dǎo)》王俊民編同濟(jì)大學(xué)出版社《彈性與塑性力學(xué)》（例題與習(xí)題）徐秉業(yè)編機(jī)械工業(yè)出版社《彈性理論基礎(chǔ)》陸明萬等編清華大學(xué)出版社力學(xué)學(xué)科分類·彈塑性力學(xué)81、學(xué)科分類

按運動與否分：靜力學(xué)：研究力系或物體的平衡問題，不涉及物體運動狀態(tài)的改變；如飛機(jī)停在地面或巡航。運動學(xué)：研究物體如何運動，不討論運動與受力的關(guān)系；如飛行軌跡、速度、加速度。動力學(xué)：研究力與運動的關(guān)系。如何提供加速度？9●按研究對象分：

◆一般力學(xué)：

研究對象是剛體。研究力及其與運動的關(guān)系。分支學(xué)科有理論力學(xué)等?！艄腆w力學(xué)：研究對象是可變形固體。研究材料變形、流動和斷裂時的力學(xué)響應(yīng)。其分支學(xué)科有：

材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、

塑性力學(xué)、彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流變學(xué)、疲勞等?！袅黧w力學(xué)：研究對象是氣體或液體。涉及到：

水力學(xué)、空氣動力學(xué)等學(xué)科。10

按研究手段分：（理論分析、實驗和數(shù)值計算）

有實驗力學(xué)、計算力學(xué)二個方面的分支。

按應(yīng)用領(lǐng)域分：有飛行力學(xué)、船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)、巖土力學(xué)、量子力學(xué)等。11

2、彈塑性力學(xué)

彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個重要分支學(xué)科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移及其分布規(guī)律的一門科學(xué)，是研究固體在受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段這兩個緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門科學(xué)。

應(yīng)力、應(yīng)力狀態(tài)12①、應(yīng)力的概念:

受力物體內(nèi)某點某截面上內(nèi)力的分布集度13應(yīng)力正應(yīng)力切應(yīng)力必須指明兩點：1.是哪一點的應(yīng)力；2.是該點哪個微截面的應(yīng)力。14應(yīng)力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點處所取無限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表明了該點的應(yīng)力狀態(tài)◆應(yīng)力的表示及符號規(guī)則正應(yīng)力：切應(yīng)力：第一個字母表明該應(yīng)力作用截面的外法線方向同哪一個坐標(biāo)軸相平行，第二個字母表明該應(yīng)力的指向同哪個坐標(biāo)軸相平行。彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程15◆表明固體材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時應(yīng)力與應(yīng)變，以及應(yīng)力率與應(yīng)變率之間關(guān)系的物性方程，稱為本構(gòu)方程（關(guān)系）。◆大量實驗證實，固體受力變形時，應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系是相輔相成的?！?/p>

固體材料在一定條件下，應(yīng)力與應(yīng)變之間各自有著確定的關(guān)系，這一關(guān)系反映著固體材料的客觀力學(xué)特性。16◆固體材料彈性變形具以下特點：①彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所做的功以能量（應(yīng)變能）的形式貯存在物體內(nèi)，當(dāng)卸載時，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來，物體的變形得以完全恢復(fù)；②無論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài)，還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例關(guān)系；③對材料加載或卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同。因此，應(yīng)力與應(yīng)變是一一對應(yīng)的關(guān)系。17◆固體材料塑性變形具以下特點：①塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定要耗散能量（稱耗散能或形變功）。②在塑性變形階段，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。由于本構(gòu)方程的非線性，所以不能使用疊加原理。又因為加載與卸載的規(guī)律不同，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即應(yīng)力與相應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定，而應(yīng)當(dāng)考慮到加載路徑（或加載歷史）。③在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有的部分已進(jìn)入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律，而在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)生變化。④依據(jù)屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。

緒論

研究對象和任務(wù)基本假設(shè)發(fā)展與工程應(yīng)用§1.1

彈性力學(xué)的任務(wù)彈性力學(xué)

——也稱彈性理論是固體力學(xué)學(xué)科的一個分支（材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)、塑性力學(xué)、粘性力學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)等）

什么是彈性？（研究對象）1）基本屬性；2）“完全彈性”是對彈性體變形的抽象（理想模型）。完全彈性是指在一定溫度條件下，材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間一一對應(yīng)的關(guān)系。這種關(guān)系與時間無關(guān)，也與變形歷史無關(guān)。材料的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系通常稱為本構(gòu)關(guān)系；——物理關(guān)系或者物理方程線性彈性體和非線性彈性體基本任務(wù)——研究由于載荷或者溫度改變，彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的位移、變形和應(yīng)力分布等?！獮榻鉀Q工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問題作準(zhǔn)備。研究對象——彈性體研究內(nèi)容和基本任務(wù)與材料力學(xué)基本相同研究對象近似基本任務(wù)研究方法卻有比較大的差別本學(xué)科的（學(xué)習(xí)）目的——建立理論體系（描述、嚴(yán)謹(jǐn)性）、探討解決方法本學(xué)科的目的——熟知基本理論、學(xué)會解決的方法材料力學(xué)的研究對象是桿件，平面假設(shè)確定橫截面變形。——一維數(shù)學(xué)問題，求解的基本方程是常微分方程。彈性力學(xué)的研究對象是完全彈性體。只能從微分單元體入手，三維數(shù)學(xué)問題，綜合分析的結(jié)果是偏微分方程邊值問題。受力分析彈性力學(xué)的基本思路與研究方法241、彈性力學(xué)分析問題的基本思路

彈性力學(xué)與材料力學(xué)同屬固體力學(xué)的分支學(xué)科，它們在分析問題解決問題的基本思路上都是一致的，但在研究問題的基本方法上各不相同。其基本思路如下：25(1)受力分析及靜力平衡條件(力的分析)

對一點單元體的受力進(jìn)行分析。若物體受力作用，處于平衡狀態(tài)，則應(yīng)當(dāng)滿足的條件是什么？（靜力平衡條件）(3)力與變形間的本構(gòu)關(guān)系(物理分析)固體材料受力作用必然產(chǎn)生相應(yīng)的變形。不同的材料，不同的變形，就有相應(yīng)不同的物理關(guān)系。則對一點單元體的受力與變形間的關(guān)系進(jìn)行分析，應(yīng)滿足的條件是什么？（物理條件，也即本構(gòu)方程。）(2)變形分析及幾何相容條件(幾何分析)材料是連續(xù)的，物體在受力變形后仍應(yīng)是連續(xù)的。固體內(nèi)既不產(chǎn)生“裂隙”，也不產(chǎn)生“重疊”。則材料變形時，對一點單元體的變形進(jìn)行分析，應(yīng)滿足的條件是什么？（幾何相容條件）262、彈性力學(xué)研究問題的基本方法◆材料力學(xué)研究問題的基本方法：選一維構(gòu)件整體為研究對象變形前，在某表面繪制標(biāo)志線；變形后，觀察總結(jié)構(gòu)件表面變形的規(guī)律。做出平截面假設(shè)，經(jīng)三方面分析，解決問題。a、研究方法較簡單粗糙；b、涉及數(shù)學(xué)理論較簡單；c、材料力學(xué)的工程解答一般為近似解。◆彈性力學(xué)研究問題的基本方法27以受力物體內(nèi)某一點（單元體）為研究對象

單元體的受力——應(yīng)力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關(guān)系——本構(gòu)理論；

建立起普遍適用的理論與解法。1、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴(yán)密性和普遍適用性為特點；2、彈性力學(xué)的工程解答一般認(rèn)為是精確的；3、可對初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠進(jìn)行度量。28提出問題，選擇有關(guān)的研究系統(tǒng)。對系統(tǒng)進(jìn)行抽象與簡化，建立力學(xué)模型。利用力學(xué)原理進(jìn)行分析、推理，得出結(jié)論與已知結(jié)論相比較，或由實驗進(jìn)行驗證。確認(rèn)或進(jìn)一步改善模型，深化認(rèn)識

3、工程力學(xué)一般研究方法

工程力學(xué)解決問題的一般研究方法類似于一般科學(xué)研究的普遍方法，可歸納為：常微分方程，數(shù)學(xué)求解沒有困難。偏微分方程邊值問題，在數(shù)學(xué)上求解困難重重，除了少數(shù)特殊問題，一般彈性體問題很難得到解析解。這里并不是說彈性力學(xué)分析不再需要假設(shè)，事實上對于任何學(xué)科，如果不對研究對象作必要的抽象和簡化，研究工作都是寸步難行的。研究方法的差別造成彈性力學(xué)與材料力學(xué)問題的最大不同。簡單性需要——工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解?？尚行孕枰鶕?jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍。嚴(yán)謹(jǐn)性需要——基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。注意：超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究?！?.2

彈性力學(xué)基本假設(shè)工程材料通?？梢苑譃榫w和非晶體兩種。金屬材料——晶體材料，是由許多原子，離子按一定規(guī)則排列起來的空間格子構(gòu)成，其中間經(jīng)常會有缺陷存在。高分子材料——非晶體材料，由許多分子的集合組成的分子化合物。工程材料內(nèi)部的缺陷、夾雜和孔洞等構(gòu)成了固體材料微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性?！?.2基本假設(shè)21.連續(xù)性假設(shè)

——假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙。——變形后仍然保持連續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。微觀上這個假設(shè)不可能成立——宏觀假設(shè)?！?.2基本假設(shè)32.均勻性假設(shè)——假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變?！矬w的彈性性質(zhì)處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料。§1.2基本假設(shè)43.各向同性假設(shè)——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。

——宏觀假設(shè)，材料性能是顯示各向同性。當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料?！@些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象?！?.2基本假設(shè)54.完全彈性假設(shè)——對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。研究對象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變?！?.2基本假設(shè)65.小變形假設(shè)——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量。——在彈性體的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?！雎晕灰?、應(yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組?！?.2基本假設(shè)7——假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外力或溫度改變而產(chǎn)生的。6.無初始應(yīng)力假設(shè)§1.2基本假設(shè)8彈性力學(xué)的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的?！?.2基本假設(shè)9§1.3彈性力學(xué)的發(fā)展和研究方法彈性力學(xué)是一門有悠久歷史的學(xué)科，早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）發(fā)現(xiàn)胡克定律。這一時期的研究工作主要是通過實驗方法探索物體的受力與變形之間的關(guān)系。

彈性力學(xué)的發(fā)展史近代彈性力學(xué)的研究是從19世紀(jì)開始的?？挛?828年提出應(yīng)力、應(yīng)變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律?？挛鞯墓ぷ魇墙鷱椥粤W(xué)的一個起點，使得彈性力學(xué)成為一門獨立的固體力學(xué)分支學(xué)科?！?.3發(fā)展與研究方法2柯西（A.L.Cauchy）而后，世界各國的一批學(xué)者相繼進(jìn)入彈性力學(xué)研究領(lǐng)域，使彈性力學(xué)進(jìn)入發(fā)展階段。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的基本理論；§1.3發(fā)展與研究方法3圣維南（A.J.Saint-Venant）1862年，艾瑞（G.B.Airy）發(fā)表了關(guān)于彈性力學(xué)的平面理論；1881年，赫茲建立了接觸應(yīng)力理論；§1.3發(fā)展與研究方法4赫茲（H.Hertz）1898年，基爾霍夫建立了平板理論;1824年生於德國，1887年逝世。曾在海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)任物理學(xué)教授，他發(fā)現(xiàn)了電學(xué)中的“基爾霍夫定理”，同時也對彈性力學(xué)，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻(xiàn)?！?.3發(fā)展與研究方法5基爾霍夫(G.R.Kirchoff)1930年，Гадёркин發(fā)展了應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論求解彈性力學(xué)問題的方法等。另一個重要理論成果是建立種能量原理；提出一系列基于能量原理的近似計算方法。許多科學(xué)家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻(xiàn)。中國科學(xué)家錢偉長，錢學(xué)森，徐芝倫，胡海昌,等在彈性力學(xué)的發(fā)展，特別是在中國的推廣應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)?！?.3發(fā)展與研究方法6錢偉長錢學(xué)森胡海昌§1.3發(fā)展與研究方法7徐芝倫楊桂通§1.3發(fā)展與研究方法8彈性力學(xué)——促進(jìn)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)基本理論的建立和發(fā)展；廣泛工程應(yīng)用——造船、建筑、航空和機(jī)械制造等。發(fā)展——形成了一些專門的分學(xué)科；現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和工程技術(shù)——仍然提出新的理論和工程問題。對于現(xiàn)代工程技術(shù)和科研工作者的培養(yǎng)——對于專業(yè)基礎(chǔ)，思維方法以及獨立工作能力都有不可替代的作用?！?.3發(fā)展與研究方法9數(shù)學(xué)方法實驗方法二者結(jié)合的方法彈性力學(xué)的基本方程——偏微分方程的邊值問題，求解的方法有解析法和近似解法。解析法在數(shù)學(xué)上難度極大，因此僅適用于個別特殊邊界條件問題。近似解法對于彈性力學(xué)有重要意義。§1.3發(fā)展與研究方法11數(shù)值解法——計算機(jī)處理的近似解法?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用為基礎(chǔ)。有限元方法為代表的計算力學(xué)。以有限元為基礎(chǔ)的CAD,CAE等技術(shù)，使計算機(jī)不僅成為數(shù)值分析工具，而且成為設(shè)計分析工具。有限元方法以彈性力學(xué)為基礎(chǔ)，有限元方法將計算數(shù)學(xué)與工程分析相結(jié)合，極大地擴(kuò)展和延伸了彈性力學(xué)理論與方法，取得了當(dāng)代力學(xué)理論應(yīng)用的高度成就?！?.3發(fā)展與研究方法12數(shù)值解法——計算機(jī)處理的近似解法。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，特別是計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用為基礎(chǔ)。有限元方法為代表的計算力學(xué)。以有限元為基礎(chǔ)的CAD,CAE等技術(shù)，使計算機(jī)不僅成為數(shù)值分析工具，而且成為設(shè)計分析工具。有限元方法以彈性力學(xué)為基礎(chǔ)，有限元方法將計算數(shù)學(xué)與工程分析相結(jié)合，極大地擴(kuò)展和延伸了彈性力學(xué)理論與方法，取得了當(dāng)代力學(xué)理論應(yīng)用的高度成就。

發(fā)展與研究方法11建筑工程§彈性力學(xué)的應(yīng)用建筑工程§1.1彈性力學(xué)任務(wù)5塔科馬海峽吊橋（TacomaNarrowsBridge）§彈性力學(xué)的應(yīng)用航空航天工程§彈性力學(xué)的應(yīng)用船舶機(jī)械工程§彈性力學(xué)的應(yīng)用§1.1彈性力學(xué)任務(wù)8§彈性力學(xué)的應(yīng)用§彈性力學(xué)的應(yīng)用第二章應(yīng)力狀態(tài)理論研究對象——三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系等三方面的條件本章從靜力學(xué)觀點出發(fā)，討論一點的應(yīng)力狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。§2.1

體力和面力§2.2

應(yīng)力和一點的應(yīng)力狀態(tài)§2.3

與坐標(biāo)傾斜的微分面上應(yīng)力§2.4平衡微分方程應(yīng)力邊界條件§2.5轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力分量的變換§2.6

主應(yīng)力與應(yīng)力主方向§2.7

最大切應(yīng)力及方位§2.8

體積應(yīng)力、八面體應(yīng)力單元§2.9

應(yīng)力邊界§2.1

體力和面力物體外力——分為兩類體力:重力、慣性力、電磁力

(N/m3)面力：風(fēng)力、液壓力、接觸壓力(N/m2)體力和面力分別為物體單位體積或者單位面積的載荷。

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1

外力Chapter3.1

外力體力即分布在物體體積內(nèi)部各個質(zhì)點上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力、運轉(zhuǎn)零件的慣性力等。面力即作用在物體表面上的力，例如作用在飛機(jī)機(jī)翼上的空氣動力、水壩所受的水壓力等。

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1

定義式體力：

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1

定義式面力：

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1

內(nèi)力物體內(nèi)部各個部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內(nèi)力。內(nèi)力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，是變形體力學(xué)研究的重要對象之一。應(yīng)力的概念正是為了精確描述內(nèi)力而引進(jìn)的。

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1

應(yīng)力應(yīng)力矢量

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1若取為變形前面元的初始面積，則上式給出工程應(yīng)力，亦稱名義應(yīng)力，常用于小變形情況。對于大變形問題，應(yīng)取為變形后面元的實際面積，稱真實應(yīng)力，簡稱真應(yīng)力,也稱柯西應(yīng)力。應(yīng)力矢量：

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力的定義

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1

應(yīng)力矢量的大小和方向不僅和M點的位置有關(guān)，而且和面元法線方向有關(guān)。

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力

作用在同一點不同法向面元上的應(yīng)力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過同一點且法線方向相同，則應(yīng)力矢量也相同。

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力矢量和面力矢量的數(shù)學(xué)定義和物理量綱都相同。區(qū)別在于：應(yīng)力是作用在物體內(nèi)界面上的未知內(nèi)力，而面力是作用在物體外表面的已知外力。當(dāng)內(nèi)截面無限趨近于外表面時，應(yīng)力也趨近于外加面力之值。

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1正六面體微元:

外法線與坐標(biāo)軸同向的三個面稱為正面，記為dSi，它們的單位法向矢量為i＝ei，ei是沿坐標(biāo)軸的單位矢量；另三個外法線與坐標(biāo)軸反向的面元稱為負(fù)面。

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力分量的正負(fù)號規(guī)定

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1應(yīng)力分量的個數(shù)

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1x222x11131e1e2e3x3333213232112

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力Chapter3.1把作用在正面dSi上的應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)軸正向分解得：即：x222x11131e1e2e3x3333213232112

§2.1外力、內(nèi)力與應(yīng)力§2.2應(yīng)力與一點的應(yīng)力狀態(tài)內(nèi)力——外界因素作用下，物體內(nèi)部各個部分之間的相互作用力(△F)。應(yīng)力應(yīng)力矢量隨截面的法線方向n的方向改變而變化應(yīng)力狀態(tài)——一點所有截面應(yīng)力矢量的集合。顯然，彈性體內(nèi)某確定點各個截面的應(yīng)力——應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。應(yīng)力狀態(tài)分析——討論一點截面方位改變引起的應(yīng)力變化趨勢。應(yīng)力狀態(tài)對于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是十分重要的。準(zhǔn)確描述應(yīng)力狀態(tài)，確定合理的應(yīng)力參數(shù)。為了探討各個截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。§2.2應(yīng)力2應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)分解

—沒有工程意義正應(yīng)力和切應(yīng)力正應(yīng)力s

n與切應(yīng)力tn

與結(jié)構(gòu)強(qiáng)度關(guān)系密切根據(jù)截面方位不能完全確定切應(yīng)力應(yīng)力分量——應(yīng)力張量應(yīng)力張量可以描述一點應(yīng)力狀態(tài)§2.2應(yīng)力3應(yīng)力張量簡化：x=1,y=2,z=3應(yīng)該注意——應(yīng)力分量是標(biāo)量箭頭僅是說明方向,正負(fù)約定§2.2應(yīng)力4應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。

同一點由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。

§2.3

與坐標(biāo)傾斜的微分面上的應(yīng)力N的方向余弦為設(shè)三角形ABC的面積為ΔS,則三角形BPC、CPA、APB的面積分別為lΔS、mΔS、nΔS,體積為ΔV因為上式可化為同理可得：§2.4平衡微分方程應(yīng)力邊界條件平衡物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一點的平衡。微分平行六面體單元平衡微分方程§2.4平衡方程2切應(yīng)力互等定理

§2.4平衡方程2邊界上的平衡--應(yīng)力邊界條件

§2.4平衡方程2§2.5轉(zhuǎn)軸時應(yīng)力分量的變換如果應(yīng)力張量能夠描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，則應(yīng)力張量可以描述其它應(yīng)力參數(shù)；坐標(biāo)變換與應(yīng)力張量關(guān)系；最大應(yīng)力及其方位的確定。公式表明：已知應(yīng)力9個分量，可以確定任意方位微分面的應(yīng)力矢量。當(dāng)然可以確定正應(yīng)力s

n與切應(yīng)力tn。應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系§2.5應(yīng)力狀態(tài)2應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。同一點由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。討論應(yīng)力分量在坐標(biāo)變換時的變化規(guī)律。§2.5應(yīng)力狀態(tài)3§2.5應(yīng)力狀態(tài)3xyzl1m1n1l2m2n2l3m3n3§2.5應(yīng)力狀態(tài)3§2.5應(yīng)力狀態(tài)3通過坐標(biāo)軸輪換可得其余6個應(yīng)力分量，詳見書本。任意斜截面的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式——應(yīng)力分量滿足張量變化規(guī)則應(yīng)力張量為二階對稱張量轉(zhuǎn)軸公式表明：新坐標(biāo)系下的六個應(yīng)力分量可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。應(yīng)力張量可以確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)軸后，應(yīng)力分量發(fā)生改變。但是作為整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)沒有變化。§2.5應(yīng)力狀態(tài)4平面應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式——彈性力學(xué)以坐標(biāo)系定義應(yīng)力分量；材料力學(xué)以變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量。 正應(yīng)力二者定義沒有差異 而切應(yīng)力定義方向不同§2.45應(yīng)力狀態(tài)5§2.6主應(yīng)力與應(yīng)力主方向轉(zhuǎn)軸公式描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡化和有效的參數(shù)——最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力以及方位主應(yīng)力和主平面——應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力不變量——進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力和主平面主應(yīng)力分析關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組，非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即§2.6主應(yīng)力2展開其中：主元之和代數(shù)主子式之和應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式主應(yīng)力特征方程§2.6主應(yīng)力3應(yīng)力狀態(tài)特征方程——確定彈性體內(nèi)部任意一點主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向。主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。因此，特征方程的根是確定的，即I1、I2、I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。I1、I2、I3

分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量?！?.6主應(yīng)力4特征方程有三個實數(shù)根s1，s2，s3分別表示這三個根，代表某點三個主應(yīng)力。對于應(yīng)力主方向，將s1，s2，s3分別代入和

l2+m2+n2=1則可求應(yīng)力主方向?！?.6主應(yīng)力5主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無關(guān)。因此特征方程的三個根是確定的。特征方程的三個根，即一點的三個主應(yīng)力均為實數(shù)。根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。任意一點三個應(yīng)力主方向是相互垂直的——三個應(yīng)力主軸正交的。應(yīng)力不變量性質(zhì)坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。§2.6主應(yīng)力6不變性實數(shù)性正交性主應(yīng)力正交性證明：下面證明下述結(jié)論：1.

若s1≠s2≠s3，特征方程無重根；

應(yīng)力主軸必然相互垂直；2.

若s1＝s2≠s3，特征方程有兩重根；

s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三個應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是應(yīng)力主軸。§2.6主應(yīng)力7設(shè)s1，s2，s3

的方向分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），則

分別乘以l2，m2，n2

分別乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得§2.6主應(yīng)力8如果

s1≠s2≠s33個應(yīng)力主方向相互垂直如果

s1=s2≠s3可以等于零，也可以不等于零。s3與s1和s2的方向垂直，而s