第九章邊界層理論基礎(chǔ)

第九章邊界層理論基礎(chǔ)主要內(nèi)容邊界層的概念及理論平板層流邊界層的計(jì)算邊界層分離原理圓柱繞流與卡曼渦階1

在20世紀(jì)初之前，流體力學(xué)的研究分為兩個(gè)分支：一是研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)不考慮黏性，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。另一個(gè)是不用數(shù)學(xué)理論而完全建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上對(duì)流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，解決了技術(shù)發(fā)展中許多重要問題，但其結(jié)果常受實(shí)驗(yàn)條件限制。這兩個(gè)分支的研究方法完全不同，這種理論和實(shí)驗(yàn)分離的現(xiàn)象持續(xù)了150多年，直到20世紀(jì)初普朗特提出了邊界層理論為止。由于邊界層理論具有廣泛的理論和實(shí)用意義，因此得到了迅速發(fā)展，成為黏性流體動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要領(lǐng)域。本章介紹邊界層的基本概念及研究方法。2

1904年，在德國(guó)舉行的第三屆國(guó)際數(shù)學(xué)家學(xué)會(huì)上，德國(guó)著名的力學(xué)家普朗特第一次提出了邊界層的概念。

他認(rèn)為對(duì)于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體流動(dòng)時(shí)，黏性對(duì)流動(dòng)的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中，而在這一薄層外黏性影響很小，完全可以忽略不計(jì)，這一薄層稱為邊界層。

普朗特的這一理論，在流體力學(xué)的發(fā)展史上有劃時(shí)代的意義。

第一節(jié)邊界層的基本概念3

路德維奇.普朗特（LudwigPrandtl）

1875年2月4日出生于德國(guó)的弗萊辛

1953年8月15日卒于哥廷根現(xiàn)代力學(xué)的奠基人之一，他創(chuàng)立了邊界層理論、薄翼理論、升力線理論，研究了超聲速流動(dòng)，提出普朗特－葛勞渥法則，并與他的學(xué)生梅耶一起研究了膨脹波現(xiàn)象（普朗特－梅耶流動(dòng)），并首次提出超聲速噴管設(shè)計(jì)方法。普朗特的開創(chuàng)性工作，將19世紀(jì)末期的水力學(xué)和水動(dòng)力學(xué)研究統(tǒng)一起來，被稱為“現(xiàn)代流體力學(xué)之父”。除了在流體力學(xué)中的研究工作，還培養(yǎng)了很多著名科學(xué)家，其中包括馮.卡門、梅耶等著名流體力學(xué)家，對(duì)我國(guó)流體力學(xué)研究做出奠基工作的陸士嘉教授也曾是普朗特的學(xué)生。4圖示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動(dòng)，根據(jù)普朗特邊界層理論，把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面的流場(chǎng)劃分為三個(gè)區(qū)域，即邊界層、外部勢(shì)流和尾渦區(qū)。

III外部勢(shì)流

II尾部流區(qū)域

I邊界層

邊界層外邊界

邊界層外邊界

5yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)邊界層外邊界邊界層厚度：將流體速度從u=0到u=0.99u0對(duì)應(yīng)的流體層厚度，用δ表示。注意：邊界層的外邊界是人為劃定的，不是流線！邊界層分為層流邊界層、過渡區(qū)和湍流邊界層。對(duì)平板的邊界層，層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù)為

播放動(dòng)畫6邊界層的基本特征與物體的特征長(zhǎng)度相比，邊界層的厚度很小。邊界層內(nèi)沿厚度方向，存在很大的速度梯度。邊界層厚度沿流體流動(dòng)方向是增加的，由于邊界層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)受到黏性力的作用，流動(dòng)速度降低，所以要達(dá)到外部勢(shì)流速度，邊界層厚度必然逐漸增加。由于邊界層很薄，可以近似認(rèn)為邊界層中各截面上的壓強(qiáng)等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強(qiáng)值。在邊界層內(nèi)，黏性力與慣性力同一數(shù)量級(jí)。邊界層內(nèi)的流態(tài)，也有層流和紊流兩種流態(tài)。

7第二節(jié)平板邊界層流動(dòng)一、普朗特層流邊界層方程

普朗特邊界層方程是在N-S方程基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化得來。坐標(biāo)系如圖所示，邊界層內(nèi)可忽略質(zhì)量力，于是得到N-S方程和連續(xù)方程：yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)邊界層外邊界8對(duì)方程中各項(xiàng)數(shù)量級(jí)的大小進(jìn)行分析后可進(jìn)一步化簡(jiǎn)。數(shù)量級(jí)比較理論：設(shè)x方向流速的數(shù)量級(jí)為1，x方向距離的數(shù)量級(jí)也為1。由于邊界層厚度δ遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于平板長(zhǎng)度，y的數(shù)值限制在邊界層內(nèi)，故y的數(shù)量級(jí)與x的數(shù)量級(jí)相比是一個(gè)小量，用ε表示這個(gè)小量的數(shù)量級(jí)，ε<<1。邊界層內(nèi)y方向的速度比x方向的速度小得多。911εε

x~1，y~ε，u~1，v~ε10111ε1εε2（）1ε211ε1εε2εε1ε1（）普朗特邊界層方程邊界條件

x~1，y~ε，u~1，v~ε11

普朗特的學(xué)生布拉修斯于1908年將普朗特邊界層方程應(yīng)用于半無限長(zhǎng)平板層流邊界層精確解，得到：即為邊界層厚度沿x方向發(fā)展變化的規(guī)律。yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)邊界層外邊界12例題

常壓下，溫度為30℃的空氣以10m/s的流速流過一光滑平板表面，設(shè)臨界雷諾數(shù)Rexc=3.2×105。試判斷平板前緣0.4m及0.8m兩處的邊界層是層流邊界層還是湍流邊界層？并求出層流邊界層相應(yīng)點(diǎn)處的邊界層厚度。已知：30℃時(shí)，ρ=1.165kg/m3

μ=1.86×10-5Pa·s13解：（1）所以，據(jù)平板前緣0.4m處的邊界層為層流邊界層，（2）所以，據(jù)平板前緣0.8m處的邊界層為湍流邊界層。14課堂練習(xí)常壓下，溫度為20℃的空氣以6m/s的流速流過平板表面，試計(jì)算臨界點(diǎn)處的邊界層厚度。設(shè)Rexc=5×105。已知：ρa(bǔ)ir=1.205kg/m3

μair=1.81×10-5

Pa·s答案：xc=1.252m，δ=0.00879m。15第三節(jié)邊界層分離邊界層分離現(xiàn)象：實(shí)際流體流過彎曲壁面時(shí)，經(jīng)常從某一點(diǎn)開始邊界層脫離壁面，并產(chǎn)生漩渦，這種現(xiàn)象也叫脫體現(xiàn)象。

工程上常用無量綱的壓強(qiáng)系數(shù)表示物體表面上任一點(diǎn)的壓強(qiáng)，對(duì)圓柱體有ACDB16umaxδMSxu

M點(diǎn)后壓強(qiáng)增加，流體微團(tuán)受到的壓差力是與流動(dòng)方向相反的阻力，稱為逆壓梯度，逆壓梯度是邊界層分離的根本原因。p實(shí)際pmin分離點(diǎn)S應(yīng)滿足的條件：播放動(dòng)畫17物體在流體中運(yùn)動(dòng)（繞流）的阻力

物體在流體中的運(yùn)動(dòng)受到的阻力包括摩擦阻力和壓差阻力。δMSxup實(shí)際pmin18思考題1.汽車高速行駛時(shí)所受到的阻力主要來自于：

(a)汽車表面的摩擦阻力(b)地面的摩擦阻力

(c)空氣對(duì)頭部的碰撞(d)尾部的漩渦2.邊界層內(nèi)的流動(dòng)特點(diǎn)之一是：

(a)粘性力比慣性力重要(b)粘性力與慣性力量級(jí)相等

(c)壓強(qiáng)變化可忽略(d)流動(dòng)速度比外部勢(shì)流小3.邊界層的流動(dòng)分離發(fā)生在：

(a)物體后部(b)零壓梯度區(qū)

(c)逆壓梯度區(qū)(d)后駐點(diǎn)19銳緣效應(yīng)在自然界或在工程問題中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，流體繞過任何物體的尖緣時(shí)，總要出現(xiàn)分離，如圖所示。試解釋之。20

大量試驗(yàn)表明，在不同雷諾數(shù)下，圓柱繞流現(xiàn)象有較大差異（具體內(nèi)容請(qǐng)自學(xué)）。卡門渦列：在80~90<Re<150~300條件下，其特點(diǎn)是在背風(fēng)面旋渦交替脫落（脫離物面），形成兩排向下運(yùn)動(dòng)的渦列，稱為卡門渦列。物體阻力以壓差阻力為主?？ㄩT渦列動(dòng)畫1

221西奧多·馮·卡門（1881年—1963年）美籍匈牙利猶太人，是20世紀(jì)最偉大的美國(guó)工程學(xué)家，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)在航空和航天和其他技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用，被譽(yù)為“航空航天時(shí)代的科學(xué)奇才”。我國(guó)著名科學(xué)家錢偉長(zhǎng)、錢學(xué)森、郭永懷都是他的親傳弟子。

鑒于馮·卡