第八章 非線性控制系統(tǒng)分析

第八章非線性控制系統(tǒng)分析1研究非線性控制理論的意義8-1非線性控制系統(tǒng)概述

對(duì)于線性系統(tǒng)，描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型量線性微分方程，它的根本標(biāo)志就在于能使用疊加原理。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，不能使用疊加原理。由于兩種系統(tǒng)特性上的這種差別，所以它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是很不相同的。目前，還沒(méi)有像求解線性微分方程那樣求解非線性微分方程的通用方法。而對(duì)非線性系統(tǒng)，一般并不需要求解其輸出響應(yīng)過(guò)程。通常是把討論問(wèn)題的重點(diǎn)放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩等有關(guān)穩(wěn)定性的分析上。2非線性系統(tǒng)的特征（1）在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)有關(guān)外，還和初始條件有關(guān)。在不同的初始條件下，運(yùn)動(dòng)的最終狀態(tài)可能完全不同。另外，線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，而非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)例存在兩個(gè)平衡狀態(tài)X=1X=0X=1不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)X=0穩(wěn)定的平衡狀態(tài)（2）在非線性系統(tǒng)中，除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運(yùn)動(dòng)形式外，往往即使無(wú)外作用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩。自激振蕩：無(wú)外作用時(shí)非線性系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的穩(wěn)定的等幅振蕩。

對(duì)線性系統(tǒng)，圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂?jī)煞N運(yùn)動(dòng)形式，其中不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自激振蕩。-110.52（3）在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，輸入和穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同，因此可以用頻率響應(yīng)來(lái)描述系統(tǒng)的固有特性。而非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數(shù)形式。3非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法（1）相平面法（2）描述函數(shù)法（3）逆系統(tǒng)法8-2常見(jiàn)非線性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響1非線性特性的等效增益對(duì)于非線性系統(tǒng)，定義非線性環(huán)節(jié)輸出和輸入的比值為等效增益變?cè)鲆嬉蚨蓪⒎蔷€性特性視為變?cè)鲆姹壤h(huán)節(jié)。2常見(jiàn)非線性因素對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響下面介紹的這些特性中，一些是組成控制系統(tǒng)的元件所固有的，如飽和特性，死區(qū)特性和滯環(huán)特性等，這些特性一般來(lái)說(shuō)對(duì)控制系統(tǒng)的性能是不利的；另一些特性則是為了改善系統(tǒng)的性能而人為加入的，如繼電器特性，變?cè)鲆嫣匦裕诳刂葡到y(tǒng)中加入這類特性，一般來(lái)說(shuō)能使系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更為優(yōu)良的動(dòng)態(tài)特性。功能：改善系統(tǒng)性能的切換元件（1）繼電器特性（3）飽和特性（2）死區(qū)特性危害：使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后，從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。危害：使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后，從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。（4）間隙特性8-3相平面法相平面法是一種通過(guò)圖解法求解一、二階非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)確方法。1．基本概念設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述和稱為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相變量，以為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)的平面稱為相平面。在相平面上繪制的軌跡稱為相軌跡，在相軌跡上用箭頭符號(hào)表示時(shí)間的增加方向。2相軌跡的繪制方法（1）解析法相軌跡在某些特定情況下，可以通過(guò)積分法，直接由微分方程獲得和的解析關(guān)系式，因?yàn)椋河煞蔷€性方程得：

例8-1：給定二階系統(tǒng)，初始條件為，確定系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡。

解：利用可得積分得：即整理得：例2給定系統(tǒng)解：由方程可得：由初始條件可知：M=1M=-1（２）圖解法——等傾線法前面得到相軌跡的微分方程：該方程為相軌跡在相平面任一點(diǎn)的切線的斜率，令該斜率為一常數(shù)，則有，即：上式稱為等傾線方程，由該方程可在相平面上做一條曲線稱為等傾線。當(dāng)相軌跡經(jīng)過(guò)該等傾線上任一點(diǎn)時(shí)，其切線的斜率都相等，均為。取為若干不同的常數(shù)，既可在相平面上繪制出若干條等傾線，在等傾線上各點(diǎn)作斜率為的短直線，并以箭頭表示切線方向，構(gòu)成相軌跡的切線方向場(chǎng)。由初始點(diǎn)出發(fā)，沿等傾線繪制出系統(tǒng)的相軌跡。步驟：a.根據(jù)等傾線方程式，做出不同a值的等傾線b.根軌初始條件確定相軌跡的起始點(diǎn)c.從起始點(diǎn)處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫(huà)直線，它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值。再?gòu)脑撝本€與第二條等傾線的交點(diǎn)向相鄰的第三條等傾線畫(huà)直線。這段直線的斜率等于第二.第三等傾線斜率的平均值，如此繼續(xù)下去，即可作出相軌跡。例

采用等傾線法畫(huà)出給定系統(tǒng)的相軌跡：解：系統(tǒng)可以寫(xiě)作令，則有系統(tǒng)化為當(dāng)?shù)葍A線方程為等傾線方程顯然為直線，該等傾線的斜率為

1上半平面：，x增加方向從左到右

2下半平面：，x減少方向從右到左總結(jié)：相軌跡的特點(diǎn)3所有的軌跡如果穿過(guò)x軸，則方向必定是垂直的。

3線性系統(tǒng)的相軌跡（1）線性一階系統(tǒng)的相軌跡T<0T>0（2）線性二階系統(tǒng)的相軌跡(a)(b)b=0a>0a<0a>0a<0時(shí)可寫(xiě)為cc4．奇點(diǎn)和奇線以微分方程表示的二階系統(tǒng)，其相軌跡上每一點(diǎn)切線的斜率為，若在某點(diǎn)處和同時(shí)為零，即有的不定形式，則稱該點(diǎn)位相平面的奇點(diǎn)。

相軌跡在奇點(diǎn)處切線的斜率不定，因此，在該點(diǎn)多條相軌跡相交；而在非奇點(diǎn)，相軌跡的切線斜率是一個(gè)確定的值，故經(jīng)過(guò)非奇點(diǎn)的相軌跡只有一條。由奇點(diǎn)定義知，起點(diǎn)一定位于相平面的橫軸上。在奇點(diǎn)處，系統(tǒng)的速度與加速度同時(shí)為零。對(duì)于二階系統(tǒng)來(lái)講，系統(tǒng)不再發(fā)生運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，故相平面的起點(diǎn)亦稱為平衡點(diǎn)（1）奇點(diǎn)根與相軌跡j0j0j0節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ2

極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡，總是不可能穿過(guò)極限環(huán)而進(jìn)入它的外部（或內(nèi)部）。

（1）穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)外部或內(nèi)部的相軌跡均收斂與該極限環(huán)。這時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為等幅持續(xù)振蕩。（2）奇線

在非線性系統(tǒng)中，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的多個(gè)區(qū)域。這種特殊的相軌跡出稱為奇線。最常見(jiàn)的奇線是極限環(huán)（2）不穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近的相軌跡是從極限環(huán)發(fā)散出去。在這種情況下，如果相軌跡起始于極限環(huán)內(nèi)，則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)，如果相軌跡起始于極限環(huán)外，則該相軌跡發(fā)散至無(wú)窮遠(yuǎn)。（3）半穩(wěn)定極限環(huán)如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)。5非線性系統(tǒng)的相平面分析法

一般非線性系統(tǒng)可用分段線性微分方程來(lái)描述。在相平面的不同區(qū)域內(nèi)，代表該非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程是線性的，因而每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線性系統(tǒng)的相軌跡，僅在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換。區(qū)域的邊界線稱為開(kāi)關(guān)線或轉(zhuǎn)換線。因此，一般非線性系統(tǒng)相軌跡實(shí)際上就是分段線性系統(tǒng)相軌跡，我們只需做好相軌跡在開(kāi)關(guān)線上的銜接工作。用相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：（1）將非線性特性用分段的直線特性來(lái)表示，寫(xiě)出相應(yīng)線段的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（2）首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo)，一般常用誤差及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo)。然后將相平面根據(jù)非線性特性分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。（3）確定每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類別和在相平面上的位置。（4）在各個(gè)區(qū)域內(nèi)分別畫(huà)出各自的相軌跡。（5）將相鄰區(qū)域的相軌跡，根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線上的點(diǎn)對(duì)于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來(lái)，便得到整個(gè)非線性系統(tǒng)的相軌跡。（6）基于該相軌跡，全面分析二階非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性2.非線性系統(tǒng)方框圖如圖所示，試取其系統(tǒng)在輸入信號(hào)8-4描述函數(shù)法

基本思想：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可以用一次諧波分量來(lái)近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。

描述函數(shù)主要用來(lái)分析無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問(wèn)題1描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)：當(dāng)輸入信號(hào)為：時(shí)，非線性環(huán)節(jié)的輸出為非正弦的周期信號(hào)，可以展成傅里葉級(jí)數(shù)：若且當(dāng)n>1時(shí)，均很小定義正弦輸入信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(X)

G(jω)描述函數(shù)分析的應(yīng)用條件（1）系統(tǒng)應(yīng)簡(jiǎn)化為一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式（2）y（x）是X的奇函數(shù)，即或,以保證A0=0（3）系統(tǒng)