第四章數(shù)字控制器的模擬設計法

第4章計算機控制系統(tǒng)的模擬化設計本章主要教學內(nèi)容

1.設計方法概述2.傳遞函數(shù)與Z傳遞函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換3.數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的設計4.1概述典型的計算機控制系統(tǒng)如下圖所示。設計計算機控制系統(tǒng)，主要是設計數(shù)字控制器，使上圖所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)既要滿足系統(tǒng)的期望指標，又●計算機設計方法概述圖4.1-1計算機控制系統(tǒng)實用、結(jié)構(gòu)簡單并易于實現(xiàn)的數(shù)字控制器是計算機控制系統(tǒng)的主要設計任務之一。數(shù)字控制器的設計方法經(jīng)典法狀態(tài)空間設計法間接設計法—模擬化設計法直接設計法—數(shù)字化設計法又要滿足實時控制的要求。因此，設計一個可靠、●模擬化設計法數(shù)字控制器的模擬化設計法就是先將計算機控制系統(tǒng)看作模擬系統(tǒng)（如圖4.1-2所示），針對該模擬系統(tǒng)的被控對象的傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的性能指標要求，運用連續(xù)系統(tǒng)的理論和方法設計閉環(huán)控制系統(tǒng)的模擬控制器（校正裝置），然后利用本章介紹的離散圖4.1-2連續(xù)控制系統(tǒng)化方法將其離散為數(shù)字控制器，即轉(zhuǎn)換成圖4.1-3所示的計算機控制系統(tǒng)。圖4.1-3

離散閉環(huán)控制系統(tǒng)由于人們對于連續(xù)控制系統(tǒng)的設計方法（如頻率法、根軌跡法等）比較熟悉，從而應用模擬方法設計數(shù)字控制器比較易于接受和掌握。但是這種方法并不是按照真實情況設計的，因此又可稱為間接設計法。●模擬控制器D(s)與數(shù)字控制器D(z)的等效原理和等效條件圖4.1-4零階保持器的信息傳遞設有模擬信號，零階保持器的輸入為，輸出為。離散信號的頻譜函數(shù)為

—采樣角頻率零階保持器的傳遞函數(shù)為其頻率特性為零階保持器輸出的頻率特性當信號的截止頻率時，則于是上式說明，輸出和輸入頻譜的的差別是是有零階保持器產(chǎn)生的相位移，如果能補償這一相位移或者大大減小這一相位移對系統(tǒng)的影響（如前置濾波、超前校正等），就可以保證離散控制器和模擬控制器具有完全一致或非常接近的頻率特性，即實現(xiàn)二者的完全等效。若時，其滯后相角大約為，于是就有即由以上分析可知，若系統(tǒng)的采樣頻率相對于系統(tǒng)的工作頻率是足夠高的，以至于采樣保持器所引起的附加滯后影響可忽略時，系統(tǒng)的數(shù)字控制器可用模擬控制器代替，使整個系統(tǒng)可用模擬化方法設計。等效的必要條件是采樣頻率足夠小?！衲M化設計法的步驟：（1）在已知被控對象的傳遞函數(shù)G(s)的情況下，根據(jù)性能指標要求，用連續(xù)系統(tǒng)的設計方法確定閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的模擬控制器D(s)。如圖4.1-2所示。（2）選擇適當?shù)碾x散化方法將D(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字調(diào)節(jié)器D(z)。（3）用求得的D(z)構(gòu)成圖4.1-3所示的離散控制系統(tǒng)，并分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，看其是否滿足要求。若滿足要求，設計過程結(jié)束，否則進行再設計。（5）將D(z)轉(zhuǎn)化為差分方程，在計算機上用數(shù)字算法實現(xiàn)。為簡便起見，零階保持器的傳遞函數(shù)可近似為4.1.2傳遞函數(shù)與Z傳遞函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換方法Z變換法差分法沖激響應不變法階躍不變法零階保持器法零極點點匹配映射法后向差分法前向差分法雙線性變換法預防頻率失真的雙線性變換法從信號理論角度看，模擬控制器就是模擬信號濾波器應用于反饋控制系統(tǒng)作為校正裝置。模擬控制器離散化成的數(shù)字控制器，也可以認為是數(shù)字濾波器。離散后的數(shù)字控制器與等效前的連續(xù)控制器應具有近似相同的動態(tài)特性和頻率響應特性，這是不容易實現(xiàn)的。采用某種離散化技術可能達到相同或幾乎相同的脈沖響應特性，但不能具有較好的頻率響應逼真度，反之亦然。對于大多數(shù)情況，要匹配等效前后的頻率響應特性是很困難的。離散后數(shù)字控制器的動態(tài)特性取決于采樣頻率和特定的離散化方法。如果采樣頻率足夠高，等效離散的數(shù)字控制器和原連續(xù)控制器具有很近似的特性。4.2.1沖激不變法基本思想：設計的數(shù)字控制器的Z傳遞函數(shù)D(z)的單位沖激響應序列d(kT)與其對應的傳遞函數(shù)D(s)的單位脈沖響應d(t)的采樣值相等。即由來建立D(z)與D(s)的等效關系。一般連續(xù)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可展成部分分式它的單位脈沖響應對采樣，有式中：為連續(xù)環(huán)節(jié)的參數(shù)。按等效的要求，與對應的為可見，用沖激不變法將D(s)轉(zhuǎn)換為D(z)就是第三章討論過的部分分式法求Z變換。沖激不變法的特點：（1）D(z)與D(s)的脈沖響應相同。（2）若D(s)穩(wěn)定，則D(z)穩(wěn)定。（4）D(z)將的整數(shù)倍頻率變換到Z平面上的同一個點的頻率，因而出現(xiàn)了混疊現(xiàn)象。（3）D(z)不能保持D(s)的頻率響應。此法的應用范圍：連續(xù)控制器D(s)應具有部分分式結(jié)構(gòu)或能較容易地分解為并聯(lián)結(jié)構(gòu)。D(s)具有陡的衰減特性，且為有限帶寬信號的場合。這時采樣頻率足夠高，可減少頻率混疊影響，從而保證D(z)的頻率特性接近原連續(xù)控制器D(s)。則與等效。4.2.2階躍不變法基本思想：數(shù)字控制器的Z傳遞函數(shù)D(z)的單位階躍響應序列u(kT)等于連續(xù)傳遞函數(shù)D(s)的單位階約響應u(t)的采樣值。即，若連續(xù)環(huán)節(jié)單位階躍響應是離散值基本思想：用零階保持器與模擬控制器串按設計要求數(shù)字調(diào)節(jié)器4.2.3零階保持器法聯(lián)，然后進行Z變換離散化為。即要求的輸出響應序列u(kT)

等于帶有零階保持器的連續(xù)傳遞函數(shù)輸出量u(t)

的采樣值，即，于是或例4.2-1已知，用零階保持器法求?！窘狻靠刂扑惴ǎ毫汶A保持器法的特點：（1）若D(s)穩(wěn)定，則D(z)也穩(wěn)定；（2）D(z)不能保持D(s)的脈沖響應和頻率響應。4.2.4零極點匹配法基本思想：S域中零極點的分布直接決定了系統(tǒng)的特性，Z域中亦然。因此當S域與Z域時，應當保證零極點具有一一對應的映射關系。根據(jù)S域與Z域的轉(zhuǎn)換關系，可將S平面的零極點直接一一對應地映射到Z平面上，使D(z)的零極點與D(s)的零極點完全相匹配，這種等效離散法稱為“零極點匹配法”或“根匹配法”。零極點匹配的步驟（規(guī)則）：（1）將D(s)進行因式分解(m≦n)（2）將D(s)的零點或極點映射到Z平面，變換關系為a.可以用或在相對應的的某期望特征頻率

c.無窮遠處的零點b.復數(shù)的零點或極點a.實數(shù)的零點或極點（3）Z傳遞函數(shù)中的增益的確定：記的頻率特性記的頻率特性點上的值相等來確定。選取某一特征點，并使，即幅頻相頻特別地，令，利用或可求得。（為采樣頻率），即D(s)有位于S平面主頻帶之外（4）如果D(s)有的零點，其中零極點匹配法的特點與注意事項：（1）當D(s)的零極點已知時，采用零極點匹配法非常方便；（2）若D(s)穩(wěn)定，則D(z)必穩(wěn)定；（3）有時D(s)的分母比分子的階數(shù)高（n>m），考慮D(s)有n-m個無限遠的零點，在D(z)中用來匹配，因此D(z)

的分母與分子是同階的；的零點，則變換后D(z)的頻率特性將出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，不宜使用此種轉(zhuǎn)換方法。例4.2-2已知求數(shù)字控制器D(z).

【解】于是有所以4.2.5差分變換法（又稱數(shù)值積分法）基本思想：模擬控制器的傳遞函數(shù)D(s)可轉(zhuǎn)換為微分方程，再離散為差分方程，最后求得Z傳遞函數(shù)D(z)。這種方法就是教材第三章介紹的由積分環(huán)節(jié)求Z傳遞函數(shù)的方法。1.后向差分法微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)差分方程微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)S平面的虛軸，經(jīng)后向差分變換，可見后向差分的變換關系為或即可推導出映射到Z平面上是一個圓心在（1/2，j0），半徑為或這是Z平面上的一個圓?？梢姡琒平面上的虛軸，1/2，與單位圓相切的一個小圓；S的左半平面映射為[S][Z]ReIm圖4.2-1后向差分變換[S]與[Z]的關系這個小圓的內(nèi)部，如圖4.2-1所示。因此，若D(s)穩(wěn)定，則D(z)必穩(wěn)定。2

前向差分變換微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)對于前向差分，當時，，即S平面的由上述差分方程可推得前向差分的D(s)和D(z)的變換關系或所以虛軸映射到Z平面上，是一條過（1，j0）平行于虛軸的直線。S左半面平面映射到Z平面上，只有一部分在單位圓內(nèi)，因此若D(s)穩(wěn)定，D(z)不一定穩(wěn)定。[S][Z]單位圓圖4.2-2前向差分變換[S]與[Z]的關系4.2.6雙線性變換法（梯形積分法或Tustin變換）基本思想：根據(jù)定義取z與s的線性近似關系實現(xiàn)D(s)與D(z)的轉(zhuǎn)換。則離散化后的Z傳遞函數(shù)于是有或由Z變換的定義及級數(shù)展開式可知同樣其中T為正數(shù)，令，上式寫成再看映射關系若Re(s)<0，則上式右邊的實部，即可見，S平面的負半平面映射為Z平面中以原點為圓心的單位圓的內(nèi)部，如圖4.2-3所示。[S][Z]ImReImRe001-1j-j圖4.2-3雙線性變換的映射關系雙線性變換的映射結(jié)果與Z變換的映射結(jié)果總體上是一致的，穩(wěn)定域相同，然而在對離散控制器的暫態(tài)響應和頻率響應特性方面，二者卻有很大的差異。與原連續(xù)控制器相比，用雙線性變換法獲得的離散控制器的暫態(tài)響應特性有顯著的畸變，頻率響應也有畸變，所以在工程設計中常采用雙線性變換法預畸變校正設計。雙線性變換的特點：（1）將S平面的整個左半平面映射至Z平面的單位圓內(nèi)，沒有混疊效應。（2）若D(s)穩(wěn)定，D(z)也穩(wěn)定。（3）D(z)不能保持D(s)的脈沖響應和頻率響應。D(s)的頻率和D(z)的頻率之間存在非線性。上式表明了模擬頻率和離散頻率之間的非設，代入，用歐拉公式化率之間卻存在非線性關系。4.2.7預防頻率失真的雙線性變換雙線性變換，將S平面的虛軸變換到Z平面的單位圓周，因而沒有混疊現(xiàn)象。但是在模擬頻率與離散頻簡得到線性關系。當取0～時，的值為0～.這意味著模擬濾波器的頻率響應特性被壓縮到離散濾波器的頻率范圍之內(nèi)。這兩種頻率之間的非線性特性，使得由雙線性變換所得的離散頻率響應產(chǎn)生畸變，因此可以采用預防畸變的辦法來補償頻率特性的畸變?；舅枷耄涸谠O計離散數(shù)字調(diào)節(jié)器D(z)代替模擬調(diào)節(jié)器D(s)時，對雙線性變換關系式進行修正，其修正準則是要求在某一關鍵頻率（如截止頻率）處，使D(s)與D(z)的頻率特性相同。將代入上式求得設在處D(s)與D(z)的頻率特性相同，按上述準則，將雙線性變換關系式修改為則于是數(shù)字調(diào)節(jié)器為在所設計的處，必然滿足預防頻率失真的雙線性變換的特點：（1）具有前述雙線性變換的特點；（3）在設計點所得到的離散頻率響應不產(chǎn)生畸變。（2）D(z)不能保持D(s)的脈沖響應和頻率響應；4.2.8八種離散方法的比較（1）上述各方法，除了前向差分外，若原系統(tǒng)穩(wěn)定，則變換后的離散系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。（2）采樣頻率對設計結(jié)果有影響。當采樣頻率遠高于系統(tǒng)的截止頻率時，用任何一種方法所變換的離散系統(tǒng)與原連續(xù)系統(tǒng)相差不大。隨著采樣頻率降低，各方法就有差別。按設計結(jié)果的優(yōu)劣排序為：雙線性變換法、零極點匹配法、后向差分、階躍響應不變法、沖激不變法。（3）上述個方法各有自己的特點：階躍不變法和沖激不變法可以保證離散系統(tǒng)的響應與連續(xù)系統(tǒng)相同。零極點匹配法能保證變換前后直流增益相同。雙線性變換法可以保證前后特征頻率不變。4.3數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的設計PID控制器，即按偏差的比例（Proportional）、積分（Integral）、微分（Differential）進行控制，自20世紀30年代出現(xiàn)以來，在工業(yè)控制領域得到很大發(fā)展和廣泛應用。其特點是結(jié)構(gòu)簡單，可靈活改變（如PI，PD…），參數(shù)易于調(diào)整。特別是在工業(yè)過程控制中，由于被控對象的精確數(shù)學模型難以建立，系統(tǒng)的參數(shù)經(jīng)常發(fā)生變化，運用控制理論進行分析綜合，不僅耗費很大代價，且難以實現(xiàn)預期的控制在應用計算機實現(xiàn)控制的系統(tǒng)中，用計算機算法（數(shù)字PID調(diào)節(jié)器）代替模擬式PID調(diào)節(jié)器，很容易通過編程實現(xiàn)。4.3.1模擬PID調(diào)節(jié)器的數(shù)學模型在實際工業(yè)控制中，大多數(shù)被控對象有儲能元件存在造成系統(tǒng)對輸入的響應有一定的慣性；在能量和信息的傳輸過程中，由于管道和傳輸通道等原因會引入時間上的滯后，往往導致系統(tǒng)的響應變差，甚至不穩(wěn)定。因此，為改善系統(tǒng)的調(diào)節(jié)品質(zhì)，常引入偏差的比式中為比例系數(shù)；為積分時間常數(shù)；為微分例調(diào)節(jié)以保證系統(tǒng)的快速性，引入偏差的積分調(diào)節(jié)以控制精度，引入偏差的微分調(diào)節(jié)來消除系統(tǒng)的慣性的影響。模擬PID調(diào)節(jié)器的微分方程為時間常數(shù)。取拉氏變換（4.3-1）（4.3-2）為微分系數(shù)。其中：為積分系數(shù)；傳遞函數(shù)為+-圖4.3-1模擬PID控制系統(tǒng)（4.3-3）PID調(diào)節(jié)器的控制作用有如下幾點：（1）比例調(diào)節(jié)器：對偏差的反應是即時的，使輸出量朝著減少偏差的方向變化。比例調(diào)節(jié)雖然簡單快速，但對于系統(tǒng)響應為有限值的控制對象存在穩(wěn)態(tài)誤差。加大比例系數(shù)可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，但是過大，會使系統(tǒng)的動態(tài)質(zhì)量變壞，引起輸出量振蕩，甚至導致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）比例積分調(diào)節(jié)器：在比例調(diào)節(jié)的基礎上加上積分調(diào)節(jié)，可以消除系統(tǒng)的殘余穩(wěn)態(tài)誤差。只要偏差不為零，積分調(diào)節(jié)通過累積作用影響控制量u(t)，從而減小偏差，直到偏差為零。增大積分時間常數(shù)，將減慢消除穩(wěn)態(tài)誤差的過程，但可見效超調(diào)，提高穩(wěn)定性。引入積分的代價是降低系統(tǒng)的快速性。（3）微分調(diào)節(jié)：為加快控制過程，有必要在偏差出現(xiàn)或變化的瞬間，按偏差變化的趨向進行控制，使偏差消滅在萌芽狀態(tài)。微分作用的加入，有助于減少超調(diào)，克服振蕩，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。提高系統(tǒng)響應速度。其不足之處是放大了噪聲。4.3.2數(shù)字PID的控制算法最常見的離散化方法：若采樣周期T足夠小，令（1）數(shù)字PID的位置式算法（4.3-4）上列諸式代入式（4.3-1）得為積分系數(shù)；對上式作Z變換因而可得數(shù)字PID的Z傳遞函數(shù)式中：為比例系數(shù)；為微分系數(shù)。（4.3-5）（4.3-6）+++圖4.3-2

數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的方框圖式（4.4-3）給出的輸出量u(kT)對應執(zhí)行機構(gòu)應該到達的位置（如閥門開度），因此稱為位置式數(shù)字PID算法。當執(zhí)行機構(gòu)需要的控制量不是絕對值，而是其增量時，可用增量式算法。（2）增量式數(shù)字PID控制算法由式（4.3-4）得（4.3-7）將式（4.4-7）中同一時刻的輸入值合并，則（4.3-8）式中增量式數(shù)字PID控制器的優(yōu)點：（1）計算機只輸出控制增量，即執(zhí)行機構(gòu)位置的變化部分，因而誤動作影響小。（2）在計算k時刻的輸出增量△u(kT)時，只需要用到此時刻的偏差e(kT)以及前一時刻的偏差e(kT-T)、前兩時刻的偏差e(kT-2T)，這就大大節(jié)約了內(nèi)存和計算（4）在進行手動-自動切換時，控制量沖擊小，能夠較平滑地過渡。時間。（3）位置式算法由于積分項可能使控制量超出執(zhí)行機構(gòu)的線性區(qū)，產(chǎn)生積分飽和引起非線性。而增量式算法的輸出量可改善此類情形，超調(diào)量減少，過渡過程時間縮短，系統(tǒng)的動態(tài)性能有所提高。；將被控對象與零階保持器串聯(lián)后離4.3.3數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的Z域設計法●數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的設計法模擬化設計法（間接法）—先按模擬系統(tǒng)設計出模擬PID控制器D(s)，然后用差分法或雙線性離散化設計法（直接法）—也稱為Z域設計法。變換法轉(zhuǎn)換為D(z)；將PID控制器離散化，然后待定系數(shù)散化，得到廣義對象的Z傳遞函數(shù)；然單位階躍信號，采樣周期試設計數(shù)字PID后，根據(jù)系統(tǒng)性能要求，分別試用比例（P）、比例+積分（PI）和比例+積分+微分（PID）等結(jié)構(gòu)形式的控制規(guī)律進行分析計算，確定各參數(shù)；最后，通過計算機仿真檢驗系統(tǒng)性能是否滿足設計指標?，F(xiàn)以一個例子討論上述方法。例4.3-1單位負反饋系統(tǒng)，已知被控對象的的傳遞函數(shù)為本采用零階保持器。輸入為調(diào)節(jié)器。【解】系統(tǒng)的廣義對象的Z傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖4.1-3所示，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4.3-9）（4.3-10）1.選用比例控制，確定將調(diào)節(jié)器和代入式（4.3-10），得單位階躍輸入時，輸出Y(z)為由終值定理可求出輸出序列y(kT)的穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)誤差

0.5

0.717

0.283

1

0.835

0.165

2

0.91

0.09

4

0.953

0.047

8

0.976

0.024由右表可見，加大時，可使系統(tǒng)動作靈敏，速度加快；若系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差將減小，但不能完全消除。太大時系統(tǒng)會趨于不穩(wěn)定。圖4.3.3

取不同值時的輸出波形設，并設。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞2.選用比例+積分控制（PI），確定為消除穩(wěn)態(tài)誤差，需要使用積分控制。函數(shù)和輸出的Z變換分別為圖4.3-4取不同值時輸出波形！取不同值時的輸出波形不同。量，偏大時系統(tǒng)的振蕩次數(shù)較多；太大時系統(tǒng)不系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為可見系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。由上述分析可見，積分作用能消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高控制的精度。但系統(tǒng)引入積分作用提高系統(tǒng)輸出的超穩(wěn)定。

●可采用零點與極點對銷的方法來確定。PI調(diào)節(jié)器給增加了一個積分環(huán)節(jié)PI調(diào)節(jié)器的的Z傳遞函數(shù)（差分變換）（4.3-11），可以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。同時也增加了一個零點?？梢杂盟鼇淼窒胁环€(wěn)定的極點或遠離原點的極點，令（4.3-12）聯(lián)立式（4.3-12）和（4.3-13），可解出和。通常比例系數(shù)根據(jù)式來確定，其中是系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)。（4.3-13）在本例中有若選取，則由上式可以求出，于是在單位階躍輸入時，輸出量的Z變換、輸出量的穩(wěn)態(tài)值分別為穩(wěn)態(tài)誤差為0。但是從輸出響應曲線可以看出，超調(diào)量達到45%。為減小超調(diào)量，可以減小，但引起上升時間增加。3.采用比例+積分+微分控制（PID），確定設，并設、，則當取不同值時的輸出波形不同。圖4.3.5

取不同值時的輸出波形。

●同樣可采用零點與極點對銷的方法來確定和（4.3-14）由上式可見，D(z)給系統(tǒng)的開環(huán)Z傳遞函數(shù)D(z)HG(z)增加了一個積分環(huán)節(jié)；D(z)的分子為二階，有兩個零點，可以用來抵消HG(z)中兩個不穩(wěn)定的極點或遠離，可以解得原點的極點、。令得到方程（5.3-15）（5.3-16）在本例中，代入上兩個方程，并設數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的Z傳遞函數(shù)為采用PID后由Y(z)可以求出輸出響應y(kT)。輸出量的穩(wěn)態(tài)值為可見由于積分的作用，輸出穩(wěn)態(tài)誤差為0。用，不僅降低了超調(diào)量，而且縮短了上升時間，改善了系統(tǒng)動態(tài)性能。由輸出曲線圖4.3.6可以看出，由于微分的控制作圖4.3.6PID控制系統(tǒng)的階躍輸出響應4.3.4數(shù)字PID控制的改進算法問題的提出—為什么要對控制算法進行改進？●任何一種執(zhí)行機構(gòu)都存在一個線性工作區(qū)。當控制信號過大，超過這個線性區(qū)，就進入飽和區(qū)或截止區(qū)，其特性變?yōu)榉蔷€性；●執(zhí)行機構(gòu)還存在一定的阻尼和慣性，對控制信號的響應速度受到了限制。控制信號的變化率過大也會使執(zhí)行機構(gòu)