工程力學(xué)下冊(cè)超靜定系統(tǒng)

工程力學(xué)下冊(cè)超靜定系統(tǒng)第一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日●

12.1概述

靜不定結(jié)構(gòu)也稱為超靜定結(jié)構(gòu)，和相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)相比，具有強(qiáng)度高、剛度大的優(yōu)點(diǎn)，因此工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)大多是靜不定結(jié)構(gòu)。本章主要介紹靜不定結(jié)構(gòu)的定義、靜不定次數(shù)的判斷以及靜不定結(jié)構(gòu)的求解方法，重點(diǎn)介紹用力法求解靜不定結(jié)構(gòu)。首先對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)作全面的討論。

第二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日1.平面桿系由直桿以鉸結(jié)點(diǎn)相連接組成桿系，若載荷只作用于結(jié)點(diǎn)上，則每一桿件只承受拉伸或壓縮，這種桿系稱為桁架[見圖14.1(a)]。圖14.1第三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日若直桿以剛結(jié)點(diǎn)相連接組成桿系在載荷作用下，各桿可以承受拉、壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)，這樣的桿系稱為剛架[見圖14.1(b)]。至于如圖14.1(d)所示桿系是連續(xù)跨過若干支座的梁通常稱為連續(xù)梁。圖14.1桿系各桿的軸線在同一平面內(nèi)，且它就是各桿的形心主慣性平面；同時(shí)，外力也都作用于這一平面內(nèi)。這種桿系稱為平面桿系。后面的討論以平面桿系為主。2.外超靜定和內(nèi)超靜定以往討論的超靜定結(jié)構(gòu)，多數(shù)是支座反力不能全由平衡方程求出的情況，這種超靜定結(jié)構(gòu)稱為外靜不定，如圖14.1(b)和圖14.1(d)所示就是這種超靜定結(jié)構(gòu)。至于如圖14.1(a)和圖14.1(c)所示結(jié)構(gòu)雖支座反力可由靜力平衡方程確定，但桿件的內(nèi)力卻不能全部由平衡方程求出，仍然是超靜定結(jié)構(gòu)，這種超靜定結(jié)構(gòu)稱為外靜不定。與此相反，靜定結(jié)構(gòu)的支座反力和內(nèi)力由平衡方程，并利用截面法，便可全部確定。第四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3．超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束圖14.2如圖14.2(a)和圖14.2(b)所示靜定梁各有三個(gè)反力，使梁只可能有變形引起的位移，在xy平面內(nèi)任何剛性位移或轉(zhuǎn)動(dòng)都是不可能的。這樣的結(jié)構(gòu)稱為幾何不變或運(yùn)動(dòng)學(xué)不變的結(jié)構(gòu)。上述三個(gè)反力所代表的約束都是保持結(jié)構(gòu)幾何不變所必需的。例如解除簡(jiǎn)支梁的右端鉸支座；或解除懸臂梁固定端對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的約束使之變?yōu)殂q支座，這兩種情況都將使梁變成如圖14.2(c)所示機(jī)構(gòu)，它可繞左端鉸鏈A轉(zhuǎn)動(dòng)，是幾何可變的。第五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日與靜定結(jié)構(gòu)不同，超靜定結(jié)構(gòu)的一些支座往往并不是維持幾何不變所必需的。例如解除如圖14.1(b)所示剛架的支座B，它仍然是幾何不變的結(jié)構(gòu)。因此把這類約束稱為多余約束。與多余約束對(duì)應(yīng)的約束力就稱為多余約束力。結(jié)構(gòu)的支座或支座反力是結(jié)構(gòu)的外部約束?，F(xiàn)在從靜定與超靜定結(jié)構(gòu)的比較來討論內(nèi)部約束。如圖14.3(a)所示是一個(gè)靜定剛架，切口兩側(cè)的A、B兩截面可以有相對(duì)的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)。如用鉸鏈將A、B連接[見圖14.3(b)]，這就限制了A、B兩截面沿垂直和水平兩個(gè)方向的相對(duì)位移，構(gòu)成結(jié)構(gòu)的內(nèi)部約束，相當(dāng)于增加了兩對(duì)內(nèi)部約束力，如圖14.3(c)所示。推廣開來，如把剛架上面的兩根桿件改成連為一體的一根桿件[見圖14.3(d)]，這就約束了A、B兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)和位移，等于增加了三對(duì)內(nèi)部約束力[見圖14.3(e)]。第六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D14.3第七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日4．基本靜定結(jié)構(gòu)另一方面在解題時(shí)需將超靜定系統(tǒng)變化為靜定系統(tǒng)。解除超靜定結(jié)構(gòu)的某些約束后，可以把它變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)。如解除如圖14.4(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)的支座C，并將截面D切開，便成為如圖14.4(b)所示靜定結(jié)構(gòu)。解除支座C相當(dāng)于解除了一個(gè)外部約束，切開截面D又等于解除了三個(gè)內(nèi)部約束?？梢娤喈?dāng)于解除了四個(gè)約束。或者說，與相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)相比，如圖11.4(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)多出四個(gè)約束，稱為四次超靜定結(jié)構(gòu)。又如在圖14.l(a)中，把桁架的任一根桿件切開，就成為靜定結(jié)構(gòu)。桁架各桿只承受拉伸或壓縮，切開一根桿件只相當(dāng)于解除一個(gè)內(nèi)部約束，所以它是一次超靜定結(jié)構(gòu)。第八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D14.4解除超靜定結(jié)構(gòu)的某些約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原超定結(jié)構(gòu)的基本靜定系或靜定基。圖14.4(b)所示的靜定結(jié)構(gòu)就是圖14.4(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)的基本靜定系?；眷o定系可以有不同的選擇，不是唯一的。第九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D14.5(a)所示剛架有兩個(gè)多余約束，是二次超靜定梁?？梢越獬潭ㄣq支座得到由圖14.5(b)所示的基本靜定系。也可將剛架的固定端除去，并裝上移動(dòng)鉸鏈就得到如圖14.5(c)所示的基本靜定系。在基本靜定系上，除原有載荷外，還應(yīng)該用相應(yīng)的多余約束力代替被解除的多余約束，這就得到圖14.5(b)或圖14.5(c)所示的基本靜定系。有時(shí)把載荷和多余約束力作用下的基本靜定系稱為相當(dāng)系統(tǒng)。圖14.5第十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日基本靜定系統(tǒng)基選取可遵循的原則：(1)基本靜定系統(tǒng)基必須能維持靜力平衡，且為幾何不變系統(tǒng)。(2)基本靜定系統(tǒng)要便于計(jì)算，即要有利于建立變形協(xié)調(diào)條件。一般來說，求解變形時(shí)，懸臂梁最為簡(jiǎn)單，其次是簡(jiǎn)支梁，最后為外伸梁。第十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日5．超靜定次數(shù)的確定(1)根據(jù)結(jié)構(gòu)約束性質(zhì)可確定內(nèi)、外約束力總數(shù)。內(nèi)、外約束力總數(shù)與獨(dú)立靜力平衡方程總數(shù)之差即為超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。(2)外超靜定次數(shù)的判斷：根據(jù)結(jié)構(gòu)與受力性質(zhì)，確定其是空間或是平面承載結(jié)構(gòu)，即可確定全部約束的個(gè)數(shù)。根據(jù)作用力的類型，可確定獨(dú)立平衡方程數(shù)，二者之差為超靜定次數(shù)。如圖14.7(b)所示，外載荷為平面力系，則為三次外超靜定系，而圖14.7(c)為空間力系，則為六次外超靜定。(3)內(nèi)超靜定次數(shù)的確定。桁架：直桿用鉸鏈相連接，載荷只作用于結(jié)點(diǎn)，桿只受拉壓力的桿系，其基本幾何不變系由三桿組成[見圖14.6(a)]。而圖14.6(b)仍由基本不變系擴(kuò)展而成，仍是靜定系，而圖14.6(c)由于在基本系中增加了一約束桿，因而為一次超靜定。第十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D14.6圖14.7第十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日剛架：桿以剛結(jié)點(diǎn)相連接，各桿可以承受拉、壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)，這樣的桿系為平面剛架(圖14.7)。對(duì)于閉口框架，則需用截面法切開一個(gè)切口使其變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)(幾何不變可承載結(jié)構(gòu))，其截面上作為平面受力結(jié)構(gòu)[見圖14.7(b)]，出現(xiàn)三個(gè)內(nèi)力(軸向力,彎矩，剪切力)，為三次超靜定，而對(duì)于空間受力結(jié)構(gòu)[見圖14.7(c)]則為六次超靜定。對(duì)于大型結(jié)構(gòu)，若為平面問題，則每增加一個(gè)閉合框架，結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)便增加三次，而一個(gè)平面受力閉合圓環(huán)與之類似，也是三次超靜定。(4)混合超靜定次數(shù)的確定。先判斷外超靜定次數(shù)，后判斷內(nèi)超靜定次數(shù)，二者之和為結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)。圖14.8第十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日●

12.2用力法求解靜不定結(jié)構(gòu)

求解靜不定結(jié)構(gòu)的方法一般有兩種方法：力法和位移法。

力法：以多余約束力為基本未知量，將變形或位移表示為未知力的函數(shù)，通過變形協(xié)調(diào)條件作為補(bǔ)充方程來求解未知約束力，這種方法稱為力法，又叫柔度法。

位移法：以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，將力通過結(jié)構(gòu)關(guān)系表示成位移的函數(shù)。通過結(jié)點(diǎn)平衡條件，解出未知量，這種方法稱為位移法，又叫剛度法。本文使用力法，不涉及位移法。第十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日【例14.1】如圖14.9(a)所示是車削工件安有尾頂針的簡(jiǎn)化模型。這是一次靜不定，解除B端約束成懸臂梁(靜定基，亦可解除左端轉(zhuǎn)動(dòng)約束，簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁)，B端加上多余約束支座反力為及外載荷F成相當(dāng)系統(tǒng)[見圖14.9(b)]?，F(xiàn)求解相當(dāng)系統(tǒng)中的未知多余約束反力。圖14.9第十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：在，作用下，懸臂梁的B端位移為其中，是由于C處作用有外載引起的B點(diǎn)在方向的位移[見圖14.9(c)]，而是支反力引起的B點(diǎn)在方向的位移[見圖14.9(d)]。因原系統(tǒng)B端是鉸支座，在方向上不應(yīng)有位移，與原系統(tǒng)比較知相當(dāng)系統(tǒng)的B點(diǎn)的位移應(yīng)為零，故(14-1)這就是變形幾何方程或協(xié)調(diào)方程，為了得到一個(gè)補(bǔ)充方程(補(bǔ)充獨(dú)立平衡方程不足)，在計(jì)算時(shí)，可在靜定基上沿方向作用單位力[見圖14.9(e)]，B點(diǎn)沿方向單位力引起的位移為，對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)應(yīng)有第十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日代入式(14-1)有(14-2)表達(dá)式(14-2)就稱為正則方程，其中，與可用莫爾積分或其他方法求得。,代入?yún)f(xié)調(diào)方程式(14-2)可解得求得后，則可解出相當(dāng)系統(tǒng)所有內(nèi)力、位移。此相當(dāng)系統(tǒng)的解即原系統(tǒng)的解。第十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日現(xiàn)在來總結(jié)一下解題步驟：(1)分析超靜定結(jié)構(gòu)，畫出基本靜定系圖，如圖14.9(b)所示。(2)在靜定基上分別畫出已知力受力圖，如圖14.9(c)所示；與未知力方向?qū)?yīng)的單位力圖，如圖14.9(e)所示。(3)計(jì)算、。(4)求解得未知的約束反力。第十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日【例14.2】剛架尺寸及受力如圖14.10(a)所示，若F、EI均為已知，試畫剛架彎矩圖。圖14.1第二十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：(1)基本靜定系如圖14.10(b)所示。(2)正則方程：(3)計(jì)算和

BC段：

AC段：第二十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日(4)畫彎矩圖。畫彎矩圖如下所示。第二十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日【例14.3】桁架尺寸、受力如圖14.11(a)所示，若F、EA均為已知，試求各桿的內(nèi)力。圖14.11第二十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：(1)基本靜定系如圖14.11(b)所示。(2)正則方程：。(3)計(jì)算和。第二十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日【例14.4】梁抗彎度EI，桿拉壓剛度EA為已知，，計(jì)算截面C的撓度。圖14.12第二十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：這里為了說明方便，將圖14.12中桿件編號(hào)為①②③，AB為梁。(1)基本靜定系如圖14.12(b)所示。(2)正則方程：。(3)計(jì)算和。因?yàn)樗缘诙?yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日(4)計(jì)算截面C的撓度。在靜定基上C點(diǎn)加一單位力，則

由于桿1已斷開

；第二十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日若不斷開桿1；梁中點(diǎn)受力直接用簡(jiǎn)支梁的公式第二十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日可將上述思想推廣到n次靜不定系統(tǒng)，如解除n個(gè)多余約束后的未知多余約束力為，它們將引起作用點(diǎn)的相應(yīng)的位移為，而原系統(tǒng)由于與外載荷共同作用對(duì)此位移限制為零(或已知)，故有(14-3)根據(jù)位移互等定理有(14-4)稱為柔度因數(shù)，是引起的作用點(diǎn)方向上的位移；是外載荷引起的處的相應(yīng)位移。式(14-3)稱為靜不定力法正則方程，它們是對(duì)應(yīng)于n個(gè)多余未知力的變形協(xié)調(diào)條件，是求解靜不定問題的補(bǔ)充方程。第二十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日下面以圖14.13為例說明各因數(shù)的物理意義。圖14.13第三十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日【例14.5】如圖14.14(a)所示為一靜不定剛架，設(shè)剛架相同，求支座反力。圖14.14第三十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：如圖14.14(a)所示為三次靜不定結(jié)構(gòu)，解除B端約束，代之以多余約束反力，，，圖14.14(b)為相當(dāng)系統(tǒng)，按式(12-3)，、均可用莫爾定理計(jì)算，即有第三十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日將以上值代入式(14-3)，整理后得解此聯(lián)立方程，求出其中，負(fù)號(hào)表示與所設(shè)方向相反，應(yīng)向下。求出多余約束力，即求出了支座B的支座反力，進(jìn)一步即可作出內(nèi)力圖。第三十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日●

14.3對(duì)稱及對(duì)稱性質(zhì)的利用利用結(jié)構(gòu)上載荷的對(duì)稱或反對(duì)稱性可使正則方程得到一些簡(jiǎn)化。結(jié)構(gòu)幾何尺寸、形狀、構(gòu)件材料及約束條件均對(duì)稱于某一軸，則稱此結(jié)構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)[見圖14.15(a)]。當(dāng)在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上受力也對(duì)稱于結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸，則此結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生對(duì)稱變形[見圖14.15(b)]。如外力反對(duì)稱于結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸，則結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生反對(duì)稱變形[見圖14.15(c)]。與此相似，桿件的內(nèi)力也可分成對(duì)稱和反對(duì)稱的。例如平面結(jié)構(gòu)的桿件的橫截面上一般有剪切力、彎矩和軸向力即三個(gè)內(nèi)力(見圖14.16)。對(duì)所考察的截面來說彎矩M和軸向力是對(duì)稱的內(nèi)力，剪切力則是反對(duì)稱的內(nèi)力。第三十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D14.16圖14.15正確利用對(duì)稱、反對(duì)稱性質(zhì)，則可推知某些未知量，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程。如對(duì)稱變形對(duì)稱截面上[見圖14.15(b)]，反對(duì)稱內(nèi)力等于零或已知；反對(duì)稱變形[見圖14.15(c)]反對(duì)稱截面上，對(duì)稱內(nèi)力M為零或已知。第三十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日●14.3.1對(duì)稱問題以圖14.17(a)對(duì)稱變形為例，切開結(jié)構(gòu)對(duì)稱截面，此為三次超靜定，應(yīng)有三個(gè)多余未知力，即軸向力，剪切力與彎矩，則可證明其反對(duì)稱內(nèi)力應(yīng)為零，正則方程為①②③圖14.17第三十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日用積分法計(jì)算及時(shí)，所要用的載荷彎矩圖以及=1，=1，=1時(shí)的彎矩圖分別見圖14.17(b)、(c)、(d)、(e)，其中，，均對(duì)稱于對(duì)稱軸，而反對(duì)稱于對(duì)稱軸。由莫爾積分知，對(duì)稱函數(shù)與反對(duì)稱函數(shù)相乘在區(qū)間積分應(yīng)為零，即有將此結(jié)果代入①、②、③，此時(shí)圖14.17的正則方程為(14-5a)(14-5b)(14-5c)從式(14-5b)可知，=0，在對(duì)稱的結(jié)構(gòu)上受對(duì)稱的載荷作用時(shí)，在對(duì)稱截面上，反對(duì)稱的內(nèi)力等于零。以后在解題時(shí)可作為已知條件用。這就是說利用對(duì)稱性可減少求解方程的個(gè)數(shù)，這是講解本節(jié)的目的。第三十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日●14.3.2反對(duì)稱問題以圖14.18(c)為例，在對(duì)稱面切開后，其多余未知力也是，與，同上類似證明，其對(duì)稱內(nèi)力與應(yīng)等于零，只需一個(gè)協(xié)調(diào)方程，即可解出，即有圖14.18第三十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日將此結(jié)果代入式①、②、③，此時(shí)圖14.18的正則方程為由式(14-6b)得，由式(14-6a)、式(14-6c)得。在對(duì)稱的結(jié)構(gòu)上受反對(duì)稱的載荷作用時(shí)，在對(duì)稱截面上，對(duì)稱的內(nèi)力等于零。同理以后在解題時(shí)可作為已知條件用。(14-6a)(14-6b)(14-6c)第三十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日●14.3.3既非對(duì)稱也非反對(duì)稱問題

對(duì)于某些載荷既非對(duì)稱，也非反對(duì)稱，可將它們化為對(duì)稱和反對(duì)稱兩種情況的疊加，如圖14.19所示。載荷作用在對(duì)稱軸上的情形如下。

圖14.19第四十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日【例14.6】如圖14.20(a)所示，AB為剛性桿受力F，求各桿的內(nèi)力。圖14.20解：首先將圖14.20(a)簡(jiǎn)化到圖14.20(b)，這樣就可將問題簡(jiǎn)化成對(duì)稱和反對(duì)稱問題。單獨(dú)有力F作用時(shí)為對(duì)稱問題，單獨(dú)有力偶M作用時(shí)為反對(duì)稱問題。對(duì)稱問題：反對(duì)稱問題：

第四十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日【例14.7】已知抗彎剛度為EI，半徑為R的圓環(huán)，直徑CD方向受一對(duì)力F[見圖14.21(a)],求圓環(huán)內(nèi)彎矩M。圖14.21第四十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：(1)超靜定次數(shù)：封閉圓環(huán)為三次超靜定。在C處截開，則有三個(gè)多余未知力：彎矩，軸向力，剪切力。(2)對(duì)稱性：直徑CD為一對(duì)稱軸，對(duì)稱截面C上剪切力為零，對(duì)稱截面D上彎矩和軸力與截面C上相等。由豎直方向力的平衡可得。故只有彎矩未知[見圖14.21(c)]。(3)根據(jù)對(duì)稱性，選1/4半圓環(huán)為靜定基，作用于1/4圓環(huán)的力如圖14.21(c)所示，則協(xié)調(diào)條件應(yīng)是D截面在F及彎矩作用下轉(zhuǎn)角應(yīng)為零(由對(duì)稱性可知)，所以有④(4),的計(jì)算。靜定基上施加外力F如圖14.21(d)所示，單位力偶如圖14.21(e)所示，用莫爾定理求與。由單位力偶引起的彎矩

由外力引起彎矩的第四十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日故有

(5)求未知力。由式④得(6)圓環(huán)內(nèi)彎矩M為第四十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日●

12.4連續(xù)梁及三彎矩方程

為減小跨度很大直梁的彎曲變形和應(yīng)力，常在其中間安置若干中間支座[見圖14.22(a)]，在建筑、橋梁以及機(jī)械中常見的這類結(jié)構(gòu)稱為連續(xù)梁。撤去中間支座，該梁是兩端鉸支的靜定梁，因此中間支座就是其多余約束，有多少個(gè)中間支座，就有多少個(gè)多余約束。中間支座數(shù)就是連續(xù)梁的超靜定次數(shù)。圖14.22第四十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)連續(xù)梁采用下述記號(hào)：從左到右把支座依次編號(hào)為0，1，2，…[見圖14.22(a)]，把跨度依次編號(hào)為，，，…。設(shè)所有支座在同一水平線上，并無不同沉陷。且設(shè)只有支座0為固定鉸支座，其余皆為可動(dòng)鉸支座。這樣，如梁只有兩端鉸支座，它將是兩端簡(jiǎn)支的靜定梁。于是增加一個(gè)中間支座就增加了1個(gè)多余約束．靜不定的次數(shù)就等于中間支座的數(shù)目。連續(xù)梁是超靜定結(jié)構(gòu)，靜定基可有多種選擇，如果選撤去中間支座為靜定基，則因每個(gè)支座反力將對(duì)靜定梁的每個(gè)中間支座位置上的位移有影響，因此正則方程中每個(gè)方程都將包含多余約束反力，使計(jì)算非常繁瑣。第四十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D14.23第四十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日如果設(shè)想將每個(gè)中間支座上的梁切開[見圖14.23(a)]，并裝上鉸鏈，將連續(xù)梁變成若干個(gè)簡(jiǎn)支梁，每個(gè)簡(jiǎn)支梁都是一個(gè)靜定基，這相當(dāng)于把每個(gè)支座上梁的內(nèi)約束解除，即將其內(nèi)力彎矩，，…，，，作為多余約束力[見圖14.23(b)]，則每個(gè)支座上方的鉸鏈兩側(cè)截面上需加上大小相等、方向相反的一對(duì)力偶矩，與其相應(yīng)的位移是兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。于是多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件是梁中間支座處兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為零。如對(duì)中間任一支座i來說[見圖14.23(a)]，其變形協(xié)調(diào)條件為(14-7)方程式(14-7)中只涉及三個(gè)未知量，，。，，及可用莫爾積分來求。第四十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日(1)求。靜定基上只作用外載荷時(shí)[見圖14.23(b)]，跨度上彎矩圖為，跨度上彎矩圖為[見圖14.23(c)]。當(dāng)時(shí)，跨度和內(nèi)彎矩分別為,由莫爾積分得式中，是外載單獨(dú)作用下，跨度內(nèi)彎矩圖的微面積[見圖14.23(c)]，而是彎矩圖面積對(duì)左側(cè)的靜矩，如以表示跨度內(nèi)彎矩圖面積的形心到左端的距離，則。同理，表示外載荷單獨(dú)作用下，跨度內(nèi)彎矩圖面積的形心到右端的距離，則。第四十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日于是有式中，第一項(xiàng)可看作是跨度右端按逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角，第二項(xiàng)看作跨度按順時(shí)針方向的轉(zhuǎn)角。兩項(xiàng)和就是鉸鏈i兩側(cè)截面在外載荷單獨(dú)作用下的相對(duì)轉(zhuǎn)角。(2)，，的計(jì)算。當(dāng)n支座鉸鏈處作用有時(shí)，用莫爾積分有而，也可類似求得第五十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日(3)三彎矩方程。將，，，代入式(14-7)得三彎矩方程(14-8)式中，i代表任一支座，如i=1，2，…，n，則可得到n個(gè)聯(lián)立方程，解個(gè)中間支座多余力，，…，，此n個(gè)聯(lián)立方程中每個(gè)方程只涉及三個(gè)多余力，求解比較方便。第五十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日【例14.8】如圖14.24所示左端z為固定端，右端為自由端的連續(xù)梁受力作用，其抗彎剛度為，試用三彎矩方程求解B、C、D處的彎矩。圖14.24第五十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：為能應(yīng)用三彎矩方程，將固定端視為跨度為無限小()的簡(jiǎn)支梁AB，而外伸端的載荷可向支座D簡(jiǎn)化，得一力F與彎矩，原結(jié)構(gòu)[見圖14.24(a)]變化為圖14.24(b)。將A、B、C、D四處支座處分別用0、1、2、3表示，則對(duì)1、2兩支座應(yīng)用三彎矩方程式(14.8)，并將，，，代入得

得,,第五十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

14-1什么叫多余約束？選定多余約束的原則是什么？如何確定超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)？14-2什么叫基本結(jié)構(gòu)？它所要求滿足的唯一條件是什么？14-3什么叫相當(dāng)系統(tǒng)？在什么條件下，相當(dāng)系統(tǒng)同原超靜定系統(tǒng)完全等價(jià)？相當(dāng)系統(tǒng)的主要性質(zhì)是什么？14-4力法正則方程的物理意義是什么？是否可以說力法的實(shí)質(zhì)是疊加法？為什么？14-5試舉例說明力法正則方程中自由項(xiàng)和系數(shù)的物理意義。14-6試舉例說明：對(duì)同一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)，可以取得幾個(gè)不同的基本結(jié)構(gòu)。14-7對(duì)稱結(jié)構(gòu)受對(duì)稱載荷時(shí)，在沿其對(duì)稱軸所截取的截面上內(nèi)力和位移有何特點(diǎn)？受反對(duì)稱載荷作用時(shí)，又有何特點(diǎn)？怎樣利用這些特點(diǎn)使計(jì)算得以簡(jiǎn)化？14-8什么叫內(nèi)超靜定？如何區(qū)分外超靜定結(jié)構(gòu)和內(nèi)超靜定結(jié)構(gòu)？分析這兩種問題的方法有何異同？

思考題第五十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日習(xí)題如圖14.25所示結(jié)構(gòu)中梁ABC的兩端固定，在點(diǎn)B剛好與圓環(huán)接觸，圓環(huán)下方為光滑剛性平面。在圖示載荷作用下，多余約束力的個(gè)數(shù)有如下四種答案，試判斷哪一種是正確的。(A)5個(gè)(B)6個(gè)(C)7個(gè)(D)8個(gè)圖14.2514-1第五十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日14-2圖14.26如圖14.26所示結(jié)構(gòu)中，已知載荷情況。這時(shí)利用對(duì)稱性或反對(duì)稱性，結(jié)構(gòu)的未知約束力個(gè)數(shù)有如下四種答案，試判斷哪一種是正確的。(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)第五十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日14-3圖14.27關(guān)于求解圖