常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法

常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法第一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)際問(wèn)題中遇到的微分方程通常很復(fù)雜，多數(shù)情況下無(wú)法求出解的解析表達(dá)式，即使求出解，也常常由于計(jì)算量太大而不實(shí)用。然而實(shí)際問(wèn)題本身又往往只要求給出其解在一系列點(diǎn)上的近似值，這就要依靠數(shù)值解法。其中稱為李氏常數(shù)。從而保證上面的初值問(wèn)題的解存在并且唯一。所謂數(shù)值解法，就是對(duì)于解存在的區(qū)間上一系列的點(diǎn)，不妨假定第二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日上面給定的初值問(wèn)題的數(shù)值解法有個(gè)基本特點(diǎn)，稱作“步進(jìn)式”，即求解的過(guò)程是按照節(jié)點(diǎn)的排列次序一步步地向前推進(jìn)。描述這類算法，只須在已知的前提下給出計(jì)算的遞推公式。逐個(gè)求出的近似值。稱為給定的微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解。相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距稱為步長(zhǎng)。一般我們總假定，即節(jié)點(diǎn)間是等距的。第三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日其中為的已知函數(shù)，是給定的常數(shù)，求(1.1)、(1.2)的數(shù)值解。一、方法（一）、方法給定初值問(wèn)題(1.1)(1.2)方法是解初值問(wèn)題（1.1）、(1.2)最簡(jiǎn)單的數(shù)值解法。由于它的精確度不高，實(shí)際計(jì)算中已不被采用，然而它在某種程度上卻反映了數(shù)值解法的基本思想。第四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日這種方法是借助于幾何直觀得到的。由于表示解的曲線通過(guò)點(diǎn)，并且在該點(diǎn)處以為切線斜率，于是設(shè)想在附近，曲線可以用該點(diǎn)處的切線近似代替，切線方程為第五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D6.1第六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日也就是說(shuō)，時(shí)，可用近似代替，記這個(gè)值為，即于是給出了一種當(dāng)時(shí)，獲得函數(shù)值的近似值的方法。重復(fù)上面的作法，在處，就可以得到的近似值第七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日依此下去，當(dāng)已經(jīng)得到，則這就是著名的方法的計(jì)算格式。

由于方法是用一條折線近似地代替曲線，所以方法也叫折線法。一種計(jì)算格式，當(dāng)在計(jì)算時(shí)，僅僅用到它前一步的信息，稱它為單步法?？梢?jiàn)方法就是單步法。第八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日將方程(1.1)在區(qū)間上求積分，便得到(1.4)式中右端的積分，可以用數(shù)值積分法計(jì)算它的近似值。例如，使用左矩形公式則有（二）改進(jìn)的方法(1.4)上式右端就是用方法得到的，即第九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日一般地有這就是公式(1.3)。由此可見(jiàn)，方法也可以看成用矩形公式近似計(jì)算某個(gè)相應(yīng)的定積分而得到的。因此可以說(shuō)，方法之所以精確度不高，正是由于它在計(jì)算定積分時(shí)，采用矩形公式的緣故。倘若使用較為精確的梯形公式來(lái)計(jì)算(1.4)式中右端的積分，即第十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日將它代入(1.4)式的右端，便得到的近似值，用同樣的方法可以得到。一般地有，(1.5)第十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日這就是改進(jìn)的Euler方法的計(jì)算格式。值得注意的是，Euler方法與改進(jìn)的Euler方法在計(jì)算上有一個(gè)明顯的區(qū)別，Euler方法中是由已知的或已經(jīng)算出的量來(lái)表達(dá)的，得到它不需要解方程，這類方法通常稱為顯示方法；而在改進(jìn)的Euler方法中，未知數(shù)也隱含在方程右端之中，對(duì)于每一個(gè)的值都需要通過(guò)解方程才能得到，這類方法通常稱為隱式格式。在多數(shù)情況下，要從隱式格式(1.5)中解出是很困難的。因此，通常采用如下的迭代方法來(lái)求解。即先用Euler方法算出一個(gè)結(jié)果，作為(1.5)式的初值，進(jìn)行迭代，其計(jì)算格式為第十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日(1.6)由可知，當(dāng)時(shí)，迭代格式收斂。也就是說(shuō)，只要取得充分小，就可能保證迭代序列第十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日收斂，而且越小，收斂得越快。容易看出，改進(jìn)的方法雖然提高了精度，然而每一步的計(jì)算量卻增加很大，每迭代一次，都要重新計(jì)算函數(shù)值，而且迭代需要反復(fù)進(jìn)行若干次。為了簡(jiǎn)化算法，通常只迭代一次。具體地講，先用方法求得一個(gè)初步的近似值，稱為預(yù)估值，再將它代入(1.5)式中作一次校正，這樣處理后，計(jì)算格式為(1.7)第十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日稱它為預(yù)估校正格式?？捎闷渲械牡谝皇剿愠鲆粋€(gè)預(yù)估值，再代入第二式做校正。例1用方法和預(yù)估校正法求解初值問(wèn)題取步長(zhǎng)。解分別使用格式與預(yù)估校正格式計(jì)算，格式的具體形式為第十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。預(yù)估校正格式格式第十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.73211.73791.78481.01.41421.41641.43510.51.67331.67821.71780.91.34161.34341.35820.41.61251.61531.64980.81.26491.26621.27740.31.54921.55251.58030.71.18321.18411.19180.21.48321.48601.50900.61.09541.09591.10000.1準(zhǔn)確解預(yù)校方法方法準(zhǔn)確解預(yù)校方法方法上面給出的初值問(wèn)題有解析解，按該式算出的準(zhǔn)確值與近似值一起列在上表中，通過(guò)比較可以看出方法的精度是較低的。第十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日二、展開(kāi)法與截?cái)嗾`差利用展開(kāi)法可以得到初值問(wèn)題的任意高精度的計(jì)算格式。設(shè)初值問(wèn)題有解，且，足夠光滑，則在點(diǎn)處的展開(kāi)式為展開(kāi)法（一）第十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日其中值問(wèn)題中的函由于足夠光滑，則當(dāng)時(shí)，，式中的各階導(dǎo)數(shù)可由初數(shù)來(lái)表達(dá)，即第十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日我們?cè)谑接叶私厝№?xiàng)，即舍去余項(xiàng)，則算得的近似值，即此式稱為階的公式。第二十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日（二）局部截?cái)嗾`差及其“階”這個(gè)截?cái)嗾`差被稱為是階的，即當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的階無(wú)窮小量。在考察計(jì)算公式的精度時(shí)，我們常常假定第步的結(jié)果是精確的，即，在這一前提下，來(lái)估計(jì)第步計(jì)算結(jié)果的誤差，即，這一誤差稱為局部截?cái)嗾`差。例如，階的公式的第步的局部截?cái)嗾`差為第二十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日定義1如果一種方法的局部截?cái)嗾`差是階的，則稱該方法是階的。由定義1，階公式是階方法，當(dāng)時(shí)，式變?yōu)檫@正是格式，故知格式是一階方法，其局部截?cái)嗾`差為，即為二階的。第二十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例2證明改進(jìn)的格式是2階方法。對(duì)于方法的“階”和局部截?cái)嗾`差的“階”,我們可以這樣來(lái)理解：如果式的局部截?cái)嗾`差是階的，這說(shuō)明公式的前步的計(jì)算結(jié)果都是精確的，即式右端關(guān)于次的多項(xiàng)式與左端的在處的級(jí)數(shù)的次數(shù)不超過(guò)的項(xiàng)，完全重合，而兩端超過(guò)次的項(xiàng)不重合。因此，我們稱此方法為階的。第二十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日將左端的與右端的在處作展開(kāi)，有證明設(shè)是初值問(wèn)題、的精確解，即有，由改進(jìn)的格式有第二十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日將它們代入式，并將右端稍加整理，有可見(jiàn)，該式兩端的前三項(xiàng)，即的次數(shù)不超過(guò)的項(xiàng)完全重合，而從的次方的項(xiàng)開(kāi)始就不重合了。于是，由定義可知，改進(jìn)的格式是階方法，而其局部截?cái)嗾`差是階的。第二十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日解直接求導(dǎo)數(shù)，有例用展開(kāi)法求解例中的初值問(wèn)題。第二十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.26941.26490.31.18321.18320.21.09541.09540.1用階公式，取步長(zhǎng)，部分計(jì)算結(jié)果列于表中。表中表示準(zhǔn)確值，與比較，可見(jiàn)用階公式得到的數(shù)值解是令人非常滿意的。第二十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日三、方法方法（簡(jiǎn)稱方法）是一種構(gòu)造高精度計(jì)算公式的方法。前面我們看到，用展開(kāi)法確實(shí)可以得到高精度的計(jì)算公式。然而，方法每提高一階，都要增加很大的計(jì)算導(dǎo)數(shù)的工作量，而方法，避開(kāi)了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，采用了另外一種構(gòu)造格式的途徑。第二十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日首先，從微分中值定理及方程得。這里稱為方程的積分曲線在區(qū)間上的平均斜率。由此可見(jiàn)，只要對(duì)此平均斜率提供一種算法，就可以得到一個(gè)相應(yīng)的計(jì)算公式。下面，我們來(lái)觀察格式和改進(jìn)的格式，將它們分別寫成方法的基本思想(一)第二十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日前一式是用點(diǎn)處的斜率的平均值來(lái)代替平均斜率的，后一式是用兩點(diǎn)上的斜率的平均值來(lái)代替平均斜率的。我們已經(jīng)知道格式是1階方法，而改進(jìn)的格式是2階方法。由此看來(lái)，如果在區(qū)間內(nèi)多預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，然后將它們加權(quán)平均，以代替上述的平均斜率，就可以構(gòu)造出更高階的計(jì)算公式來(lái)。因此，方法的關(guān)鍵就在于選擇哪些點(diǎn)上的斜率值，以及如何構(gòu)造它們的線性組合。第三十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日與格式與改進(jìn)的格式可以改寫成下面的形式級(jí)公式（二）第三十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日舍去誤差項(xiàng)，便得到顯然，若在區(qū)間內(nèi)取個(gè)不同的點(diǎn)，記積分曲線在這個(gè)點(diǎn)上的斜率分別為，于是我們可以設(shè)第三十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日這就是所謂的級(jí)階的公式。其中都是待定系數(shù)，并且有待定系數(shù)可用比較系數(shù)的方法求得。即將中的和各都在處展成級(jí)數(shù)，然后令兩端關(guān)于別的不超過(guò)次的同次項(xiàng)的系數(shù)相等，便可求得這些待定系數(shù)。下面以為例，說(shuō)明待定系數(shù)的求法。當(dāng)時(shí)，由式有第三十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日將式中的與、分別在處作展開(kāi)，有第三十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日稱為修正的梯形公式。注意，這里用到了二元展開(kāi)式。將上面的三個(gè)展開(kāi)式代入中，并令兩端的次數(shù)不超過(guò)的項(xiàng)的系數(shù)相等，于是得到若取，則可算得，這時(shí)，由式得第三十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日稱為修正的矩形公式。以上兩個(gè)公式，都是在及的前提之下構(gòu)造出來(lái)的。因此，它們都是級(jí)階的公式。若取，則可算得，由式得第三十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日注意，在上面求待定系數(shù)的方程組中，有一個(gè)自由參數(shù)，故級(jí)階的公式有無(wú)窮多個(gè)。但是，在這些級(jí)公式中，不可能存在高于階的方法。下面，我們給出級(jí)公式可以達(dá)到的最高階數(shù)：第三十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)級(jí)階公式依照級(jí)階公式的構(gòu)造過(guò)程，我們可以得到更高級(jí)高階的公式，其中最常用的就是標(biāo)準(zhǔn)的級(jí)階公式，其形式為：例用標(biāo)準(zhǔn)級(jí)階公式求解例中給出的初值問(wèn)題，取。（三）第三十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日解計(jì)算公式如下：第三十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.7320511.7321401.7378691.051.6124521.6125131.6164740.841.4832401.4832811.4859650.631.341641.3416671.3433600.421.1832161.1832921.1840960.2111100(精確值)(4階R-K方法)(2階R-K方法)將計(jì)算結(jié)果列于表。第四十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日將表與表的結(jié)果相比較，盡管這里步長(zhǎng)放大了，但計(jì)算的精度卻很高，從而出可以看出選擇方法的重要意義。第四十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日四、線性多步法

前面介紹的幾種方法都是單步法，即在計(jì)算時(shí)，僅用到它前面一步得到信息。設(shè)想，當(dāng)通過(guò)單步法已經(jīng)算出，如何充分地利用這些信息，在計(jì)算時(shí)獲得較高精度，這就是多步法的基本思想。

假定仍討論本章開(kāi)始給出的一階微分方程的初值問(wèn)題第四十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日與其等價(jià)的積分方程是前面我們?cè)褂锰莨?，?jì)算式右端的積分，而得到了改進(jìn)的方法。其實(shí)，這也可以理解為是用插值點(diǎn)和的線性插值函數(shù)代替函數(shù)而得到的。由于通常插多項(xiàng)式的次數(shù)越高越精確，所以使我們?cè)噲D用高次插值多項(xiàng)式代替，來(lái)得到高精度的計(jì)算方法。

第四十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日今取和為插值節(jié)點(diǎn)，這時(shí)的插值多項(xiàng)式為

第四十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日用代替，便得到的近似值，即

令，并注意到則得

第四十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第四十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日上式中右端的用代替，就有顯然，這是一個(gè)隱式方法，稱式為內(nèi)插公式。第四十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日上面之所以得到的是隱式方法，其原因在于選用了作為插值節(jié)點(diǎn)。例如我們?nèi)『妥鳛椴逯倒?jié)點(diǎn)。這時(shí)的插值多項(xiàng)式成為第四十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日用上式代替式右端積分中的，也將得到的近似值，與推導(dǎo)隱式方法的過(guò)程類似，可得到如下的顯式公式：我們稱式為外插公式。在討論它們的截?cái)嗾`差時(shí)，不僅要假定，還要假定‘和，容易證明它們的截?cái)嗾`差均為。第四十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日可以單獨(dú)使用外插公式，用它每計(jì)算一個(gè)的值，只需要計(jì)算一次的值，計(jì)算量小于方法，而它們的截?cái)嗾`差為同階。但該方法的明顯不足是開(kāi)始的幾個(gè)值和不能用它算，必須采用其它方法。通常把上面給出的兩個(gè)公式聯(lián)合使用，即用外插