泛函分析第4章 內(nèi)積空間

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日第四章內(nèi)積空間之馬矢奏春創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日在第三章中，我們把n維Euclid空間Rn中的向量的模長推廣到一般線性空間中去，獲得了賦范線性空間的概念.但在Rn中可以通過兩個向量的夾角討論向量與方向的問題.這對僅有模長概念的賦范線性空間是做不到的.我們知道，Rn中向量的夾角是通過向量的內(nèi)積描述的,因此在本章我們引入了一般的內(nèi)積空間的概念.4.1內(nèi)積空間的基本概念首先回憶幾何空間R3中向量內(nèi)積的概念.設(shè)X=((,1213),y=(Ys2s3)eR,設(shè)x與y夾角為中，由解析幾何知識可得其中,1X11=2其中,1X11=2\tk=1=2skk=112)2t^，稱為X與y的內(nèi)積，不難證明它有如下性質(zhì):k=1(1)[x,y；>0,VxeR3,且：x,X〉=0ox=0;(2):;x,下)=[?,X，Vx,yeR3;(3)(X]+x2,y)=(Xjy)+(x2,y),VX/X2,yeR3;(4)/x,y，=N.x,y：,V、eR,Vx,yeR3.注：由界說可得||x||=q7XX?,我們看到，兩個向量的夾角僅與向量的內(nèi)積有關(guān).利用內(nèi)積我們可以討論如向量的直交及投影等重要幾何問題.現(xiàn)在我們引入一般的內(nèi)積空間的概念.【界說4.1]設(shè)X為數(shù)域方上線性空間，若對任兩個元素創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日（向量）「yeX,有惟一F中數(shù)與之對應(yīng)，記為仃,y；,而且滿足如下性質(zhì)：（1）［x,y'：>0,VxeX,且:；x,x；=0ox=9;（2）::x,y=,；y,x）,Vx,yeX;（3）（x1+x2,y\=（x1,y\+（x2,y）,Vx1,x2,yeX;（4）：：為x,y）=入:；x,y；，,VieF,Vx,yeX;則稱：x,y;為x與y的內(nèi)積，有了內(nèi)積的線性空間叫做內(nèi)積空間，當(dāng)F為實數(shù)域R（或復(fù)數(shù)域°）,叫X為實（或復(fù)）內(nèi)積空間.注:由性質(zhì)（3）與性質(zhì)（4）知,內(nèi)積運算關(guān)于第一變元是線性的.由性質(zhì)（2）與性質(zhì)（4）可推知/x,y”耳x,y.于是當(dāng)X為內(nèi)積空間時，內(nèi)積關(guān)于第二個變元也是線性的.而常稱；九x,j.x,y;為共軛齊次性，因此在X為賦內(nèi)積空間時，內(nèi)積是共軛線性的.今后討論中不加注明時，恒設(shè)X為復(fù)內(nèi)積空間.【引理4.1】（Schwaraz不等式）設(shè)x為內(nèi)積空間，對任意x,yeX,成立不等式證明：若y=e,則任xeX,有;x的=0,則顯然不等式成立.現(xiàn)在設(shè)ywe,則VieF,有取I二—2代入上式可得（x,x）-叵M>0,由此可得;：y,y； ' ?y；'證畢.【定理4.1］設(shè)X為內(nèi)積空間，對任xeX,令M=",則ixil是x的范數(shù).證明：因范數(shù)的前兩條性質(zhì)可直接由內(nèi)積的性質(zhì)推出,我們僅創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日驗證它滿足第三條性質(zhì)(即三角不等式).事實上故有卜y愀『上證畢.注：常稱||x||為內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)，于是內(nèi)積空間按此范數(shù)成為一個賦范線性空間.在此意義下,第二章關(guān)于賦范線性空間的有關(guān)內(nèi)容都適用于內(nèi)積空間.特別當(dāng)內(nèi)積空間X按由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)完備的，稱X為Hilbert空間.以下介紹幾個經(jīng)常使用的Hilbert空間的例子.Fn暗示(實或復(fù))Euclid空間，對x勺)…,tn),y(s,s,...,s)Fn,類似于幾何空間R3中向量的內(nèi)積界說，令1 2n不難驗證Fn成為一個Euclid空間.例4-2l2{x(t,t,…,t):n|t|2 ,tF,n1,2，…},當(dāng)12n1n1 ni1(SjS,…,s)l2時,令容易證明l2成為內(nèi)積空間.以下證明l2為Hilbert空間.任取Cauchy列xn(t(n),t(n),…,t(n))l2,則對任0,「那時3N,有2 n因而有故數(shù)列為n)}-l2 F是Cauchy歹U,因數(shù)域F完備，則存在skF(k1,2,??.)，彳吏limt(n)s,今弘(s,s,?..)，則任k1,2，…，那時…N,有nkk 1 2則令口,對每個nN及任k1,2，…，有

12)；0,只要n12)；0,只要n>N,所以x-xe12,注意12i=1是線性空間，則x=(xt，)+xnw12,且 ||xjxJ<2，n>N,這即標(biāo)明 xn在12中收斂,故12為Hilbert空間.例4.33E),E為有限或無窮區(qū)間，對任xe卬E),界說內(nèi)積這里皿E)中的元素是實值或復(fù)值二次可積函數(shù)，也不難驗證皿e)是內(nèi)積空間.現(xiàn)在證明卬e)是Hilbert空間.設(shè)xneL2(E)為Cauchy列，則對每個k=1,2，…，存在自然數(shù)nk,有對任有限區(qū)間euE,me<g,由H01der不等式，有故級數(shù)￡Jk=1故級數(shù)￡Jk=1E我們有x(/)-x(/楸收斂，于是由Levi引理(見第一章)nk nk+1從而知￡x(/)-x(/)|是集e上可積函數(shù)，則比在e上為處處有k k+ik=1限函數(shù)，即級數(shù)在e上幾乎處處收斂，而e為E中任意有限區(qū)間，則級數(shù)￡|x(/)-x(/)1在E上幾乎處處收斂，因而級數(shù)k=i% nk+ix(t)+(x(t)-x(t))+(x(t)-x(t))+???在E上幾乎處處收斂，亦即函數(shù)n1 n2 n1 n3 n2xn(t)在E上幾乎處處收斂于函數(shù)x(t).現(xiàn)在證明xeD(x),且lim||x-x||=0.nn告g對任意―0,因｛x｝為L2(x)中Cauchy列,則存在N,那時x(t)-x(t)11<￡,即nnk k+1令kfg,利用第一章Lebesgue積分的性質(zhì)，獲得<8,且x—xeL2（E）,因止匕x=x-（x—x）eL2（E）?因止匕Cauchy列x在L2（E）中收斂，故以e）是Hilbert空間.（1）內(nèi)積的連續(xù)性.設(shè)limxrx,limy=y,則有n-8 nf8證明：由Schwarz不等式，得因收斂y有界.證畢.（2）極化恒等式.對內(nèi)積空間X中元素x與y,成立證明可直接運用范數(shù)的界說和內(nèi)積的性質(zhì)獲得.留給讀者作為練習(xí).注：當(dāng)X為實數(shù)內(nèi)積空間時，則極化恒等式為（3）中線公式.對內(nèi)積空間X中元素x與y,成立證明：證畢.注：也常稱中線公式為平行四邊形公式.因在平面r2中，平行四邊形的對角線長度的平方和即是四條邊的長度平方和.另外,可以證明中線公式是內(nèi)積空間中由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)的特征性質(zhì),即當(dāng)X為賦范線性空間時，若對其中任何元素x與y關(guān)于范數(shù)成立中線公式，則必在X中可界說內(nèi)積;;x,y\，使范數(shù)可由此內(nèi)積導(dǎo)出.也就是一個賦范線性空間成為內(nèi)積空間的條件是其范數(shù)要滿足中線公式.因此,內(nèi)積空間是一類特殊的賦范線性空間.例如，當(dāng)p>1且po2時，lp不是內(nèi)積空間.因為，取x=（1,1,0,0，…）， y=（1,—1,0,0，…）elp,則||x||=||y||=21/2,且

/+W=||x-y||=2,顯然不滿足中線公式.又例如，C[a,切按范數(shù)|刈=max|x?)不是內(nèi)積空間.這只要取a<t<bx(t)=1, Vtg[a,b]及y(t)=-~,Vtg[a,b],貝U||x||=||y||=1,且b-a||x+y|=2,|x-y||=1，明顯不滿足中線公式.再例如，L[a,b]當(dāng)p>1且po2時，也不是一個內(nèi)積空間..證明：Schwarz不等式中等號成立=x與y線性相關(guān)..設(shè)X為實內(nèi)積空間，x,ygX,若||x||=||y||,證明：；x+y,x-y)=0.若X=R2,所證明事實有什么幾何意義？.設(shè)X為內(nèi)積空間，u,vgX，若對任何xgX，有：：x,u}=.xc,v：)，試證明u=v.4,設(shè)x為Hilbert空間，x,xgx,求證x-x(n—)的充要條件是KI1-1IM，且{x,x=(x,x)(n―8)，5.驗證極化恒等式.x=Zte,y=Zse，k=1 k=16,x=Zte,y=Zse，k=1 k=1其中t,skgF,k=1,2,…n,求證(x,y)是X上一個內(nèi)積的充要條件是存在正定矩陣A=(a.)J成立4.2內(nèi)積空間中元素的直交與直交分解f”直交及其性質(zhì)仿照R2中兩個向量的直交概念，我們有如下界說.

【界說4.2】設(shè)X是內(nèi)積空間，羽yeX,若。,y=0,稱X與y直交，記為x1y.設(shè)xeX,MuX,若X與M每個元素直交時，則稱X與M直交，記為X1M.又NuX,若xeM,yeN,者6有x1y,則稱M與N直交，記為N1M.設(shè)MuX,記M1={xeX:x1M卜則稱M1為M的直交補.由以上界說,可得如下簡明事實（性質(zhì)）：（1）零元素9與X中每個元素x直交.（2）若x1y,貝Uy1X.（3）x1Mox=9?（4）若MuNuX,則UN1uM「（5）任MuX,若0eM,則UMQM1斗；若9eM,則MQM1={0}.另外我們還有一下幾條有用性質(zhì)：(6)若X.x(n.8),且X1y,則Ux1y?這是因為fx,y；：=lim：；x,y；：=0.‘ 'n'n.8(7)若x(7)若x,yeX,且x1y,則成立勾股公式1+y||2+||X-y||2=||X||2+||y這個性質(zhì)留給讀者自己驗證.（8）對任MuX,則M1是X的閉子空間.事實上，任意X,xeM事實上，任意X,xeM1,則對每個yeM,有12于是有《X]+X2,y)=(X],y+(x：2,y)=0,故x11y,X1+x2eM1；又任意x21y,xeM1,入eF,則任意yeM,有/x,y=Mx,y>0,故九xeM1,因此M1成為X的線性子空間.現(xiàn)在證明M1是閉集.若(Mi)，E,則M1為閉集,當(dāng)(m1y=0,任取xg(m1y,則存在xgM1,有l(wèi)imx=x-對任意nnnrg”M,應(yīng)用事實(6),有則x1y,于是推得x1M,即x1Mi,因此Mi為閉集.證畢.(9)設(shè)MuX為非空集，則(spanM)—M「事實上，因Mu麗麗，則(spanM)1uM1.另外，對任意xgM1,任意取ye(spanM)=(spanM)|J(spanM)',若yu(spanM),則Uy是M中有限個元素x1,x2,…xn的線性組合，即于是(y,x=X,(x,xi=1而當(dāng)yu(spanM),則存在元素yuspanM,有l(wèi)imy=y,由以上nnnrg證明知yn1x,于是由性質(zhì)(6)得知y1x.綜上所說，xg(spanM)1，故M1g(spanM)1.證畢.直交投影及變分引理仿照R2中向量在坐標(biāo)軸上投影的概念引入以下界說.【界說4.3】設(shè)m是內(nèi)積空間的一個線性子空間，xgX,若存在x0gM,zgM1，使成立x=xjz,則稱xo為x在M上的直交投影(可簡稱為投影).注：一般情況，某個元素x在X的某個空間M上紛歧定存在投影.但當(dāng)投影存在時，則可證明投影的惟一性.因為若xo及5都是x在M上的投影，則由界說有z=x-x°，q=x-xigM1，于是x-x=z-zgMMM1={0},故x=x?對R2，任向量x=勺12)在x軸(即子空間M={(t,0)：tgR])上有創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日投影為x0二((,0).而且知道點x二(t1,12)到X軸上每個點的距離最小者為卜_x0b/.這種現(xiàn)象如何在一般的(特別是無限維)內(nèi)積空間中暗示是個需要探討的問題.為此,我們首先給出重要概念.【界說4.4】設(shè)X是懷抱空間，M是X中非空子集，xeX,則稱infp(x,y)為x到集M的距離，記為p(x,M).若存在某xeM,yeM 0使p(x,x°)=p(x,M),則稱x0為x在M中最佳迫近元.注：一般情況下，某元xeX,在某集MuX中紛歧定存在最佳迫近元.而且在最佳迫近元存在時也紛歧定惟一.因此,最佳迫近元的存在性及惟一性成為迫近理論中一個主要研究方向.在此我們僅介紹一個在微分方程,現(xiàn)代控制論等學(xué)科都有重要應(yīng)用的基本結(jié)果.【定理4.2](極小化向量定理)設(shè)m是Hilbert空間x中的凸閉集，則任意xeX,必有M中惟一存在最佳迫近元.TOC\o"1-5"\h\z證明：令d=inf||x_y||=p(x,M),則存在xeM,使lim||x-x^d.n ―nyeM nfs因M是凸集，則1(x+x)eM,于是必有|x-1(x+x)11>d.2nm 2nm在中線公式中以xn—x代換x,以x-xm代換y,則有因此x是完備內(nèi)積空間X中Cauchy列，則存在x0eX,使limx二x.因M是閉集，則xeM,而且有nfsn0 0這證明了最佳迫近元的存在性.現(xiàn)在證明惟一性.設(shè)y0eM也是x的最佳迫近元.還是由中線公式得故|x0-y0故|x0-y0b0，創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日我們通常也稱此定理為變分引理.由于子空間一定是凸集,并注意定理的證明過程，則定理條件改為M是內(nèi)積空間X中完備的子空間時,定理結(jié)論仍成立.投影定理【定理4.3］（投影定理）設(shè)M是內(nèi)積空間X的完備線性子空間，則任意xeX,必在M中惟一存在投影.即必惟一存在xeM,zeM,，使x=x+z.證明：由題設(shè)，依據(jù)極小化向量定理，x在M中存在最佳迫近元x0,記為任取復(fù)數(shù)九》eM,則x0+九yeM,且有那時y-,取九二 代入上式，得|y||2于是推得《x-x0,y）=0,再注意y=9,此式也成立，因而x-x0eM「令z=x-x,即有x=x+z.投影的存在性得證.投影的惟一性已由界說4.3的注得證.證畢.注：（1）X為hilbert空間時，則對任閉集子空間MuX投影定理成立.（2）表達式x=x+z也常稱為元素x的直交分解，故投影定理0也叫做直交分解定理，是尺2中向量的直交分解的推廣.由于在一般賦范線性空間中沒有直交概念,因此不能討論直交分解的問題.（3）對hilbert空間X及子閉空間M,在投影定理條件下有即X暗示為兩個直交子空間的直和，常稱X為M與M工的直交和，或直交分解.

投影定理在內(nèi)積空間理論中是極為重要的基本定理.由于投影x0eM,就是元素XeX在子空間M中的最佳迫近元，因此在現(xiàn)代迫近論,概率論以及控制論中許多問題都可以籠統(tǒng)為如下的數(shù)學(xué)問題.設(shè)X是內(nèi)積空間，且X,X1,X2,…,XJX，問是否存在n個數(shù)仆仆…,九,使得X-￡X-￡九XI，」二inf||x-j，yeM其中M=span{x,X,…,X}.而且—i般假設(shè)X,X1,X2,…,xn線性無關(guān).由于M是一個n維賦范線性空間，故M完備，則由投影定理,對Xe對XeX,必惟一存在X0=￡九XeMi=1，使Ix-X011=infllx-yl.0 yeM現(xiàn)在我們給出求解母的方法，因x現(xiàn)在我們給出求解母的方法，因xeM,1<i<n,則由投影定理,我們有即得線性方程組記其系數(shù)行列式為A.因為方程組已知有惟一解，故Aw0,而且可計算出入』<i<n.最后,我們再給出投影定理的兩個推論.【推論4.1】設(shè)m是Hilbert內(nèi)積空間X的真閉線性子空間，則m,中必有非零元素.證明：由題設(shè)M豐X,則存在xeX-M.由投影定理得知，存在X0eM,xeML使得x=x0+z,于是必zwe,否則x=X0eM,與之矛盾.證畢.【推論4.2］設(shè)m是Hilbert內(nèi)積空間X的真閉線性子空間，則M=(M1)「特別當(dāng)M,={0},則M在X中濃密.證明：由性質(zhì)(8),(M1)1是X中真閉線性子空間，因X完備,則(M1)1完備.顯然，有Mu(M1)1,于是Mu(M1)「同樣得知M也完備.如果M豐(M1)1,于是關(guān)于Mu(M1)1，應(yīng)用推論4.1,存在非零元素xe(M1)1,且xe(M1)1=M1,故：:尤,x)=0,從而x=0,矛盾.從而必有M=(M1)1,證畢.1,設(shè)X是實內(nèi)積空間，若||x+y||2=||x||2+|M|2,則x1y.問X是復(fù)內(nèi)積空間時,結(jié)論是否成立？2,證明：內(nèi)積空間X中的兩個元素x,y直交的充要條件是對任意數(shù)九eF,成立||x+九y||>||x||.3,設(shè)x,x1,x2,…,xn是內(nèi)積空間X中兩兩直交的非零元素組，求證：x,x1,x2，.,xn線性無關(guān).4,設(shè)X是內(nèi)積空間，x,yeX,則x1y。對任意九eF,有||x+九y||=||x-九y||.5,設(shè)X是hilbert空間，M是X的子集，求證(M1)1是包括M的最小閉子空間.6,設(shè)X是hilbert空間X中非空子集，求證：spanM=XoM1={0}?7,設(shè)M為hilbert空間以一1,1］中全體偶函數(shù)的集合：(1)求證M1是以一1,1］中全體奇函數(shù).(2)任意xeL2［-1,1］,求x在X上的投影.

.設(shè)X為標(biāo)式一丫空間，元素列\(zhòng)乂且兩兩直交，求證：級數(shù)x收斂數(shù)值級數(shù)卜/2收斂.i1 i1.證明：直交性質(zhì)（1）-（5）..設(shè)x,x,x,…,x是內(nèi)積空間X中兩兩直交元素組,求證:nxkk1k11nxkk1k1口2.k4.3直交系返照R2中情況，在內(nèi)積空間引入直角坐標(biāo)系的概念.【】設(shè)M是內(nèi)積空間中一個不含零元的子集，若M中任意兩個分歧元素都直交，則稱M為X的一個直交系.又若M中每個元素的范數(shù)都是1,則稱M為標(biāo)準直交系.注：為了簡單起見,我們僅討論至多含可列個元素的直交系,因為對不成列情況,在方法上同可列情況并沒有實質(zhì)的區(qū)別.例4.4在（實或復(fù)）Euclid空間Fn中是一個標(biāo)準直交系.例4.5在內(nèi)積空間⑵以下元素列是一個標(biāo)準直交系其第n個分量是1,其余分量都是0,n1,2,….例4.5在實內(nèi)積空間L2［0,2］中，若界說內(nèi)積為則三角函數(shù)系是12［0,2］的一個標(biāo)準直交系.【界說4.6］設(shè)他｝是內(nèi)積空間X中一個標(biāo)準直交系，對任nn1xX,稱cn（x,e）為元素x關(guān)于*的尸0口埒。丫系數(shù)，常簡稱為乂的

Fourier系數(shù).于是有形式級數(shù)cnen,稱為元素x關(guān)于｛叱1可以展n1開為Fourier級數(shù).注：一般情況下，F(xiàn)ourier級數(shù)紛歧定收斂.即或收斂，也紛歧定收斂于X.在什么條件下元素*可以展開為Fourier級數(shù)的問題自然是重要的.【定理4.4】設(shè)｛e｝是內(nèi)積空間X中一個標(biāo)準直交系，記nn1對任意給定乂X,貝卜在X上的投影是snce,即$是在X內(nèi)n n kk n nk1的最佳迫近元.證明：因乂sn(xsn),由于snXn,則只須證明XsnXn.由4.2性質(zhì)(9),又僅須證xsnen,k1,2，…,n.于是由nce,ence,eiiki10,知結(jié)論成立.證畢.注：任意neX,任xX,成立kknk1【定理4.5】口35531不等式)設(shè)｛e｝是內(nèi)積空間X中一個nn1標(biāo)準直交系，則對任意XX,成立Bessel不等式^其中,c；x,e；,n1,2，….證明：已知s(xs),其中snce,則由勾股定理得n n n kkk1☆n ,得結(jié)論成立.證畢.注：Bessel不等式指元素x在每個^上投影cnen的范數(shù)的平方和不年夜于x的范數(shù)；由此知卜了為收斂級數(shù)，于是推得事實n1特別對內(nèi)積空間網(wǎng)0,2兀］關(guān)于標(biāo)準直交系三角函數(shù)系（見例4.3）,對任意1E.0,2兀］,其Fourier系數(shù)為其中a,。即通常的Fourier系數(shù)，則由Bessel不等式，得注意這里用了收斂正項級數(shù)的可交換性.在內(nèi)積空間X給定標(biāo)準直交系｛e卜情況下，1eX,其對應(yīng)的nn=1Fourier系數(shù)構(gòu)成一個序列c=（c1,c/一）e12,并確定了由X到內(nèi)積空間/2內(nèi)的一個映射T為其中c;（i,e>n=1,2,?…不難證明T是線性映射.反之，任意12中的元素c=（c1,c2，.一），一般情況下，紛歧定存在X中元素i,使c=（x,e），n=1,2，…，但在X完備時，有以下定理.【定理4.6】（Riesz.Fisher）設(shè)｛e卜是內(nèi)積空間X中一個標(biāo)nn=1準直交系，則對任意c=（c1,c/一）e12，惟一存在ieX，使cn=（1,e），n=1,2,..,且成立等式TOC\o"1-5"\h\z證明：令s=2Lce ,因為||s-s ||2=X|c |2,由于級數(shù)￡c |2收n kk nm k nk=1 k=n+1 n=1斂，則根據(jù)Cauchy收斂準則，有故sn是完備空間X中一個Cauchy列，則存在1eX,有現(xiàn)在設(shè)k為任意自然數(shù)，則再注意Is『=￡c|2,令nf8,即得等式￡c|2=怵.n n nk=1 n=1最后證明惟一性.若yeX,也滿足定理結(jié)論,且￡c|2=|ynn=1n則因|y|2=|s||2+||y-s||2（由定理4.3）,令n-8,推得s-y.n由極限的惟一性，必y=”證畢.注：在X為Hilbert空間時，可確定一個有12到X內(nèi)的映射.但在一般情況下，不能判定映射是滿射.因此紛歧定為由12到X上的一一映射.在〃維Euclid空間中，標(biāo)準直交基(直角坐標(biāo)系)的極年夜性是至關(guān)重要的,對此我們有如下推廣.【界說4.7］設(shè)｛e卜是內(nèi)積空間X中一個標(biāo)準直交系，若對nn=1任意XeX,有(x,e)=0,n=1,2，…，則必x=0,我們就稱｛e”是完全的.標(biāo)準直交系是12中一個完全的標(biāo)準直交系.【定理4.7】(Riesz—Fisher)設(shè)｛e卜是Hilbert空間X中一一個nn=1標(biāo)準直交系,則一下的命題等價：(1){e'是完全的；(2)對任意xeX,成立Parseval等式||x『二c|2,其中nn=1c=(X,e>n=1,2,…；(3)對任意xeX,有x工cnen，其中cn=(x,e),n=1,2,…；n=1(4)對任意兩個元素x,yeX有證明：(1)n(2).設(shè)｛e卜是完全的，對任意xeX，記nn=1cn=(x,e)，n=1,2,…c=(c1,c「…)e12,再由定理4.6知，惟一存在yeX，使得c:0e)且成立忖p=￡cj.因為(x,e)=0e),n=1,2,…n=1則：x-y,e\=0,n=1,2,….由于｛e卜是完全的，于是必有y=x,因, n- nn=1創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日此有時|2=￡|c|2,命題（2）成立.n=1（2）=（3）.現(xiàn)在假設(shè)命題（2）成立，任意?。x,令c=c=

n,n=1,2,…，…工一則有k=1即得lim巳卜=x，于是命題（3）成立.n―k=1kk（3）=（4）.現(xiàn)在假設(shè)命題（3）成立，任意取羽”（3）=（4）.現(xiàn)在假設(shè)命題（3）成立，任意取羽”x,令=yy,=yy,e；：,則有x=limiLcen n―k=1kky=limZdkek.于是可得nT6k=1 k即命題（4）成立.（4）n（1）.現(xiàn)在假設(shè)命題（4）成立，取xeX,若x±e，n=1,2,…，此時任取yeX,有｛x,y)=L[x,e).n=1x=e,因此命題（1）成立.證畢.注：若Hilbert空間X存在的標(biāo)準直交系｛e卜，則任意xeX,nn=1有cn=（x,e）,n=1,2,....映射Tx=（c/c2,...）e12是由x到12上的一個等距同構(gòu)映射，故X與12的等距同構(gòu).以下的定理在判別某標(biāo)準直交系的完全性時是經(jīng)常有用的.【定理4.8］設(shè)｛e卜是Hilbert空間X中一個標(biāo)準直交系，如nn=1果Parseval等式在X中某濃密子集D上成立，則｛e｝?1是完全的.證明：X=span｛e卜，則X是X的閉線性子空間?任xeD,令0 nn=1 0c;（x,e>n=1,2，…，則由假設(shè)成立|琲=Lc卜，同定理4.7（2）n=1n（3）之證明得x=lim2cle卜，故xeX。.于是DuX。.因X。是閉集,nf0k=1

則X=DuX0=X0,即得X=X0.由X0界說，任XeX0=X,有x=￡ce=limXce,且c=(x,e),n=1,2，….因此由定理4?7命題n=1 n*k=1(3)成立推得則{e}、是完全的.證畢.例4.7L2［0,2兀］中三角函數(shù)系是完全的.因為取D在L［0,2兀］中濃密.對任意三角多項式aT(t)=-70+

n2￡(aaT(t)=-70+

n2kk=1kk=1根據(jù)定理4.7,對任意xeL2［0,2兀］,其中Fourier級數(shù)依范數(shù)收斂于x.但這其實不能推知每個,eL2［0,2冗］,有由線性代數(shù)及解析幾何的知識,我們知道直交組比一般的線性無關(guān)組的性質(zhì)更為優(yōu)越,若某向量可用標(biāo)準直交組線性暗示,其組合系數(shù)有內(nèi)積容易求出,十分方便.以下介紹一個獲得標(biāo)準直交系的經(jīng)常使用的方法.對內(nèi)積空間X中已知的某線性無關(guān)序列{x卜，通過Gram-Schmidt標(biāo)準直交化nn=1過程可獲得一個標(biāo)準直交系.其過程如下：第一步，把x標(biāo)準化，令1第二步，記X=span{e}=span{x}.由定理4.4第一步，把x標(biāo)準化，令1第二步，記X=span{e}=span{x}.由定理4.4得知，x在X上的投影為《x2，e)e1,由投影定理，記士=3ejejy2,則y2±彳.1因為x/［線性無關(guān)，則)產(chǎn)e,此時令不難看出有span{e,e}=span{x,x}.1212第三步，記X=span{e,e},也由定理4.4得知,12X3在X2上的投影為3e)ei+卜3,e)e「依據(jù)投影定理,記x￡(x,e,)e+y,則k=1y31ejk=1,2.因為x3,e」e2線性無關(guān)，則yO,此時令且易知span{e于是歸納有第匕步，記x1=span{e,e,…,e}，同樣由定理4.4得知，x在X1上的投影為遼,e'ek,并根據(jù)投影定理，記k=1x=E(x,e)e+y,則Uy1e，k=1,2,???n-1,又因為x,e，k=1則易知span{e1e，…,e線性無關(guān)，則ywO,此時令2n-則易知span{e1,e，…,e}=span{x,x，…,x}.于是以上法式無限進行下去，即得一個標(biāo)準直交系{e}0VHilbert空間與12等距同構(gòu).因12是可分的（即存在有限或可列濃密子集），則X也是可分的.相反地，我們有如下定理.【定理4.9］設(shè)X是Hilbert空間，則（1）若X是可分的，則X必有至多可列的完全的標(biāo)準直交系；（2）設(shè)X是無限維的可分空間，則X的每個完全的標(biāo)準直交系都是可列集.證明：由于X存在有限或可列（也稱為至多可列）個元素{xk},使而麗不二X,且無妨設(shè){xk}為線性無關(guān)集合.由Gram-Schmidt標(biāo)準直交化法式，可構(gòu)造出對{x}的（等勢的）標(biāo)準直交系{e卜當(dāng)X為n維內(nèi)積空間時，則有span{e,e，…,e}=span{x,x，…,x},故有從而有于是必有

故｛e｝\是完全的.定理4.9(1)證畢.又X存在可列濃密子集D,任取X一個完全標(biāo)準直交系M,則M是一個無限集.任取e,e.eM,且ewe「都有記S=｛xeX:||x一ej|< ｝, S=｛xeX:k一e.||< ｝則S[nSJ=巾.由于D在X中濃密，則存在xeDnS，xeDDS，有xwx..于是M的勢年夜于D的勢.因而M必是可列集.證畢.1.在內(nèi)積空間/2中，試給出一個使Bessel不等式成為嚴格不等式的例子.2,設(shè)｛e%是內(nèi)積空間X中一個標(biāo)準直交系，求證對任意xyeX,有3.設(shè)｛e｝是內(nèi)積空間X中一個標(biāo)準直交系，給定xeX,令nn=1cn=(x,en),n=1,2…則對任意自>0,求證：(1)使成立不等式|cn|“的cn僅有有限個；(2)設(shè)｛n:c|“｝的個數(shù)為m,則有m<口忖『.1n1 自2".在LL1,1］中，試將心)=1,x2(t)=t,x3(t)=12標(biāo)準直交化..求(a,a,a)eR3,使』1(e「a-at-at2)2dt取最小值.012 0 0 1 2.設(shè)｛e｝是Hilbert空間X中一個標(biāo)準直交系，若x,yeX有nn=1nn=1te,y=￡sen=1求證：(1):x,y=￡…；(2)級數(shù)￡t-s是絕對收斂的.n=1 n=1.設(shè)｛e｝是Hilbert空間X中一個標(biāo)準直交系，給定xeX,若nn=1X=￡te，求證t=(x,e),n=1,2,,且有||x|p=￡|tR-nn n n nn=1 n=18.設(shè)K卜是Hilbert空間X中一個完全標(biāo)準直交系，試問是否每個nn=1xeX都可用K卜線性暗示.nn=19設(shè)b是Hilbert空間X中一個標(biāo)準直交系，任意xeX,求證nn=1y=￡(X,3在X中收斂，而且x.y與每個en直交.n=1Hilbert空間上有界線性泛函在理論及應(yīng)用中，對一個具體的賦范線性空間X來說,往往要和它的共軛空間x*結(jié)合一起來研究.為此，知道有界線性泛函feX*的一般形式，自然是十分重要的.對一般賦范線性空間，獲得這種暗示是相當(dāng)困難的.但對Hilbert空間，情況卻非常簡單.Riesz定理【】(Riesz)設(shè)X是Hilbert空間，對每個feX*,惟一存在yeX,使任意xeX,有而且還有證明：若f=0為零泛函，則取X中零元素y=0即可.現(xiàn)在設(shè)f村，令M={xeX:f(x)=0}為f的零空間.因f是連續(xù)線性泛函，則M是X的閉子空間.因fw0,則必有M為X的真子空間.由投影定理，肯定有zwe且zeM1.所以f(z)w0任取xeX,因為則x.3zeM.于是有f(z)幺主，即有從而得f(%=/@八,z：.此時令尸幺主，即有存在性得證.現(xiàn)在證明yeX由/惟一確定.如果還有y1eX,使于是有《x,y一八"0,vxeX,即y-y11X,所以y1=y,惟一性得證.最后證明11/1|=3|.當(dāng)f=0,事實明顯.現(xiàn)在設(shè)fwe,則ywe.首先由Schwarz不等式有l(wèi)f(%)=k,y\|?||y|I-IIxll,v%eX于是推得||f11<||y|I；另一方面，取x=y,又有于是推知IIf11>||y||.因此必成立||f|=||y||.定理證畢.注X*到X內(nèi)的映射.現(xiàn)在要說明它是一一映射.因為任意取定元素yeX,則確定X上一個泛函f為f(X)=：X,y；,vxeX由內(nèi)積的性質(zhì)可知f是線性的.再由Schwarz不等式，有|f(x)=|:x,y；|<||y|Hx,v%eX因而f是有界泛函，且|f歸y,故feX*.類似于定理4.10的證明,可推知fihy.于是可得以下的由X到X*上的映射T是個一一映射：T(y)=feX*,VyeX,使f(x)=：：x,y;,VxeX?任取復(fù)數(shù)個卜之及元素y1，y2ex,令Tyi=f1'T2=于2,T,yi+好2)=f創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日則對任意％eX,有即有T（九y+九y）=^Ty+X-Ty因此稱T為復(fù)共軛線性映射，而且有即T是一個等距映射（或稱為保范映射）.故稱映射T是X到X*上的復(fù)共軛等距映射.在這種意義下，認為元素yeX與對應(yīng)的泛函feX*是一致的，即X=X-因此，稱X為自共軛空間（必需注意是在復(fù)共軛等距同構(gòu)意義下）.Hilbert空間上的共軛算子我們曾在第3章討論過賦范線性空間上的共軛算子問題.現(xiàn)在我們利用Hilbert空間與共軛空間的一致化，引入所謂Hilbert空間上的共軛算子概念.這類算子是在研究矩陣及線性微分（或積分）方程的問題中提出來的,有著廣泛的應(yīng)用.【界說4.8】設(shè)X和y是兩個內(nèi)積空間，T：X-y是一個有界線性算子.又設(shè)T*:y-X是有界算子，若對任意的XeX,yey,都有就稱T*是T的共軛算子（或陪伴算子）.注：在復(fù)空間情況下,第3章關(guān)于賦范線性空間所引進的共軛算子與界說4.8所陳說的共軛算子其實不完全一致，設(shè)TT2eL（X,y）及復(fù)數(shù)年”,按第3章所述界說，有但依界說4.8的概念,卻有而在實空間情況下,兩者完全一致.例4.8設(shè)Cn,Cm為復(fù)Euclid空間，對有界線性算子T.CnfCm,則T為m行n列的矩陣，即那時x=（t1,12…,tn）eC，有此時，任取尸（s1,s2，…s]eCm，有其中我們看到共軛算子T*是T的轉(zhuǎn)置共軛矩陣T*.如果X是n維（實或復(fù)）內(nèi)積空間，取定您e2，…e｝為其一個標(biāo)準直交基，y是m維（實或復(fù)）內(nèi)積空間，取定ff,…f｝為其一個標(biāo)準直交基.設(shè)T：X-y是一個線性算子（則T一定有界）.令則任意xeX,有惟一暗示x-te.,于是有j=1不難看出，線性算子T:X-y由一個m行n列的矩陣（ajmnn所決定.類似于Euclid空間的情形，可得T的共軛算子T*:y-X由（ajmnn的轉(zhuǎn)置共軛矩陣（不）暗示.以下定理說明了一般情況下共軛算子的存在性.【定理4.11】設(shè)X是Hilbert空間，y是內(nèi)積空間，則對任意有界線性算子T:X-y,必惟一存在共軛算子T*.證明：對任意取定yey,確定了X上線性泛函f（x）=Tx,y,其中xeX.因則feX*,且||f|WT|Hy.由Riesz定理，惟一存在zeX有我們獲得了算子T*:y-X為T*y=z,且f=|z|.使對任意的xeX,yey,有ITx,y：=；x,T*y；：.現(xiàn)在證明t*是由y到x的有界線性算子.任意取復(fù)數(shù)仆仆及元素y1,y2ey,因有因此T*(4乂、y"嚇*y'T*y?.這說明T*是線性的.再由T*的界說,對任意的yGY,有『*y|=M|<ITI|-||y||，因此有『*||<ITI|,即T*為有界線性算子，而八的惟一性是明顯的.證畢.再給出一個實例.設(shè)X二Lla,b]K(t,s)是矩形區(qū)域D=la,b]xla,b]上平方可積函數(shù)，則由核K(t,s)界說了空間Lla,b]上的有界線性算子T為T是一個Fredholm型積分算子.現(xiàn)在求T的共軛算子.任取yeLla,bL因為在給定條件下可交換積分次第，有故有 T*y%)=』bK(s,t)y(s)ds.即T*是以K(t,s)為核的Fredholm型a積分算子.由例4.8，我們看到共軛算子是轉(zhuǎn)置共軛矩陣概念的推廣，因此它肯定具有許多類似轉(zhuǎn)置共軛矩陣的性質(zhì).【定理4.12】(共軛算子的性質(zhì))設(shè)X,Z是Hilbert空間，Y是內(nèi)積空間.T,SeL(X,Y),QeL(Z,X)，九是復(fù)數(shù)，則以下命題成立：(1)(九T)*=kT*；(2)(T+S)*=T*+S*；(3)(T*)*=T；(4)|「『=|t*||2=|t*t||；(5)(TQ)*=Q*T*；(6)T存在有界線性逆算子的充要條件是T*也存在有界線性逆算子，有(T一1)*=(T*)-1；⑺o(T*)=[-入eoT)}證明：⑴任取有因此有。7)=仃*.性質(zhì)(1)得證.(2)證明留給讀者證明.(3)任取xeX,ye丫,有(Tx,y)=1,T*丁)，因此有.于是(T*)*=T?性質(zhì)(3)得證.||t*||<||t||?因此也有［(7*)*|力*|，即||<||r*||-于是必用=|p*『任取xeXy因則得『*7七］琲.另一方面，任?。X,且以||=1，有則得即有『『《/*琲綜上所證就獲得畔=同2巾*T卜性質(zhì)(4)得證.(5)由假設(shè)知TQ"(Z,y).任取zeZ,yeV,因于是有GQ)=Q*T*.性質(zhì)(5)得證.(6)設(shè)丁存在有界線性逆算子7」，貝=/,7一17=/,其中/,/Y X XY分別是X及y上單元(恒等)算子.因明顯有/*=//=/,則XXYY利用性質(zhì)(5)可得因此知(Tt)*是7*的逆算子，即成立(T*)-i=(T-i)*-反之，設(shè)T*存在有界線性逆算子，于是由前證有T=(")*存在有界線性逆算子.性質(zhì)(6)得證.定理證畢.(7)設(shè)九ep(T),則(九/—7>16(X,X),于是由性質(zhì)(6)，(入/—7)*存在有界線性逆算子，而&/—7)=兀_7*,可見無$p(T*),故同理可證即所以 pT*)=1入ep(T)}而4*)o(T)分別是p(T*),p(T)的余集，因此習(xí)題4,41設(shè)X是Hilbert空間，Y是內(nèi)積空間，若S,SeLY,X),有:;x,Sy\.=；x,Sy\:：,xeX,yeY,求證S=S?2設(shè)X是Hilbert空間，求證X是自反空間.3證明/*=1,0*=0,其中1,9分別是Hilbert空間X上單元算子和零算子.4試求作用于12上的算子的共軛算子：⑴tq,t2,...)=Qty2,…)T?,12,??)=&，t3…).5試求作用于L2(—8,s)上的算子T的共軛算子：(1)(Tx)()=x(+h),其中xeL(—8,s),h是實常數(shù)；(2)(Tx)()=，Q(t)+x(-1)),其中xeL(—8,s).2設(shè)x是復(fù)Hilbert空間，TeL(X)=L(X,X).求證：若T=T*,貝U對任意xeX,有ReTx,x).=0?設(shè)x是Hilbert空間，TeL(X)且||T||<1,求證：:Tx=x}=1:T*x=x}8設(shè)X,Y是Hilbert空間，TeL(X,Y).記T的零空間與值域分別為NT)={xeX:Tx=9},R(T)=^TxeY:xeX)?任AuX,BuY,若T(A)uB,求證A±^T*(B!)；(2)若(1)中，A,B都是閉線性子空間，若A「T*(B,),求證T(A)uB；求證R(T*)=(N(T)>;R(T)=(N(T*))±；N(T)=(R(T*))i;N(T*)=(R(T))「9設(shè)X是復(fù)Hilbert空間，M是X的閉線性子空間，求證：若M是X是某個非零有界線性泛函f的零空間，則M,是X的一維空間.Hilbert空間上共軛算子的概念，如果TeL(X,X),那么T*eL(X,X).當(dāng)X是實Hilbert空間且是有窮維時，算子T就可看成實方陣，而T*就是T的轉(zhuǎn)置.若T*=T,那么矩陣T就是對稱矩陣.通過線性代數(shù)我們知道,對稱矩陣有很多好的性質(zhì).在這里我們將對稱矩陣的概念一般化,引入一類重要的算子.【界說4.9］若T*=T,則稱T為自共軛算子(或自伴算子).【定理4.13］設(shè)X是Hilbert空間，則下面的結(jié)論成立：(1)若TeL(X,X),則T為自共軛算子當(dāng)且僅當(dāng)對VxeX,Tx,x：是實數(shù).(2)若T1,T2eL(X,X)且為自共軛算子，則對任何實數(shù)a,P,aT1+附2是自共軛算子.(3)若T1,T2eL(X,X)且為自共軛算子，則T1T2是自共軛算子的充要條件是T1T=T2T1.證明：（1）設(shè)對任何xeX,T,x是實數(shù)，來證T=T*.由于所以；T-T*l,x,：=0,令S=T-T*,那么;Sx,x；=0.又；S（x+y）x+y=0及［S（x+iy）S（x+iy））：=0于是得；Sx,y；+Sy;y,x；=0及［Sx,y'-；--：Sy：,,x：=0故：3x,y；=0,對Vx,yeX,可見Sx=。，即S是零算子.于是T=T*-反之，若T=T*,則那么Tx,x：是實數(shù).（2）由性質(zhì)（1）之證,由于（研+"）x,x）=a（Tx,x）+BTx,4是實數(shù)，所以嗎+附2是自共軛算子.（3）首先設(shè)7=T2T1,那么由共軛算子的性質(zhì)知即T1T2自共軛，反之注：從定理4.13的性質(zhì)（2）可以看出，自共軛算子組成L（x,X）的一個實線性子空間,而且從下面的定理近一步得知,這個子空間在算子的一致收斂和強收斂下均是閉子空間.【定理4.14】設(shè)TJ是一列自共軛算子，TeL（X,X）.若對每個xeX,有TxfTx,則T是自共軛算子.證明：對Vx,yeX,由TxfTx及內(nèi)積的連續(xù)性得故 T=T*【推論4.3］設(shè)Tn｝是一列自共軛算子，TeL（X,X）,且Tn-T||f0,則T也是共軛的.證明：由算子的一致收斂可推出算子的強收斂,再由定理4.14可證得此推論成立.【定理4.15】自共軛算子的每個譜點都是實數(shù).證明：設(shè)X=a+汨*0),來證心pT),則QI-T卜eL(X,X).對每個xeX,Tx,x是實數(shù)，于是可見算子S二九I-T是一一對一的，下面證S的值域S(X)是閉的.設(shè)jeS(x)j.j,于是有j=Sx=QI-T)x,xeX.由式(*)得因此&}是Cauchy列，而X完備，故存在xeX，使x“.x.根據(jù)S的連續(xù)性，有y二limSx二Sx,即yeS(x).這樣由投影定理nMf8X=S(x)?S(X，得知，為證S(X)=X，僅需證S(x)」4}.若否則,設(shè)yeS(X，，但jw°?因為QI-TbeS(X),那么0 0 0亦即T0,jJ二九I|j0『.注意到T是自共軛算子，等式左邊是實數(shù)，而等式右邊是復(fù)數(shù)，矛盾.故S(x)=X,這說明S是X上一對一滿設(shè).因此由Banach逆算子定理S-i=QI-T卜eL(x,X),即九epT).從定理4.15可見自共軛算子的譜集是實數(shù)軸上的一個有界閉集，下面的定理4.16進一步說明譜集的范圍.【定理4.161對自共軛算子T,令則：(1)T=maxjm|,|M|}；oT)ulm,M］且m,MeoT).證明：記A=max(|,|M|},對||x|=1,有g(shù),x)|<||t||,于是-T|<m<M<『|I，即A<T\k另一方面，對任何a>0可直接驗證下面等式成立:于是得設(shè)Xwe特別取a2二四,則MT琲<八網(wǎng)I」XII,即||T#邨II故Tl|<A,因此ITI|=A.仿定理4.15之證，得上pT).同理，若…M可得0pT).這樣0t)um,m]下面來證M*T)(類似可證，mrT)).注意到得m-t\|=m—m可取列％｝使得帆=1,且/](mI-T)x,x\fm-M.又故MI-T不存在有界線性逆算子，若否則，則由得出矛盾.就一般而言，自共軛算子未必有特征值，但當(dāng)算子是緊自共軛時，特征值一定存在.【定理4.17】設(shè)T是緊自共軛算子，那么T有特征值.證明：如果T是零算子，則結(jié)論顯然.現(xiàn)設(shè)Twe(零算子).不失一般性，設(shè)M|〉|m|,則T=|M|,由M,m之界說，此時M〉0.取xneX且||x」|=1,使Txn,x「Mt||T||.因T是緊算子，那么Txn｝有收斂子序列.設(shè)Txfy，因為k則 xtJ-Tx-4x-Mx)f—ynkMnk nk nk M0所以Tf-Ly°、jtlimTxyy,即Ty=My.因||x|=1,則ywe,所fM°/kfsnk0 0 0 11噌 0以M是T的特征值.結(jié)合第3章關(guān)于緊算子的Riesz.Schauder理論，如果T是自共軛算子，那么t的譜集將十分簡單，即存在一組互不相同的非零實數(shù)&.｝（有窮或可列），每個人是T的特征值，使oT）=h?,九2,卜記p.=dimNQI-T）,即p為算子T對應(yīng)特征值入的特征子空間的維數(shù)，｛,卜為該子空間的規(guī)范正交基，則若i jj=1xeX可以展成則Tx=EEPp:：x,eiei.ij=11在R2fR2中舉例說明線性算子T滿足T2=T，但T不是自共軛算子.2設(shè)T是Hilbert空間X上的自共軛算子，證明：對任何偶自然數(shù)n都有；Tnx,x：>0（xeX）.3設(shè)X=C2（二維酉空間），x=1,t2）eX界說算子T:XfX為Tx=?+it2,t1-it2）求T*,并證明T*T=TT*=21.4設(shè)x是Hilbert空間，稱TeL（X,X）為正規(guī)算子，是指T*T=TT*.證明：如果T是自共軛算子，貝Ut是正規(guī)算子，請舉例說明T是正規(guī)算子，但T卻不是自共軛算子.5設(shè)X是Hilbert空間，TeL（X,X），證明：T為正規(guī)算子的充要條件是存在兩個自共軛算子A,B且AB=BA，使T=A+iB-6設(shè)T是Hilbert空間X上一列正規(guī)算子，TeL（X,X）,若^^一T||f0（nfs）,證明：t為正規(guī)算子.7若T是Hilbert空間X上一個正規(guī)算子，證明：『21卜|琲.4.6投影算子正算子和酉算子利用投影定理我們引進投影算子的概念,投影算子也是一類非常重要的自共軛算子.【界說4.10】設(shè)m是Hilbert空間X的一個給定的閉子空間，則對V%€X,由投影定理，存在惟一的垂直分解％二u+V，其中u€M,V€M「界說算子P:X-M為P%=uG€X）,并稱P為由X到M上的投影算子.注：根據(jù)投影算子的界說，對每個投影算子p,惟一對應(yīng)一個閉子空間M，使P：X-M,為清楚起見，有時記P為PM.【定理4.18】（1）投影算子P是有界線性算子.（2）那時m―心},p=1.（3）P%=0O%€M1;P%=%O%€M.（4）P2=P即P是冪等算子.證明：對任意仆匕及任意元素%1,%2€X,有由于M,M1都是線性子空間，那么故九％十九％=（kp%+xp%）+6v+xv）.因止匕p6%+九％）=xp%+xp%即P是線性算子.另一方面，由||%||2=||P%||2+||u|氏=P%+u,P%1u）,得||P%IWI%],即帆區(qū)1,說明P是有界的.因M-},取%0€M,%產(chǎn)0,由P的界說有P%0=%」于是|%0||=P%0II等價于因此,因=sup||Px||>1,得P=1.\xL定理4.18之性質(zhì)（3），性質(zhì)（4）由P的界說顯然成立.】p為投影算子的充要條件是：（1）p是自共軛算子；（2）P是冪等，即P2二P.證明：設(shè)p是投影算子，則條件（2）自然成立，僅需證明p是自共軛算子，對任意x,yeX,記于是故Px,y'.=:x,Py:,因此P-P*.反之，設(shè)條件（1）,設(shè)條件（2）成立，來證明p是某一閉子空間M上的投影算子.記M-PG）（算子P的值域），顯然M是X的子空間.我們來證M是閉的.設(shè)yeM,yfy0,取xeX使Px-y,根據(jù)條件（2）P2xn-Pxn=Pyn=yn,再由P的連續(xù)性，得Py。-y。.故y0eM.對VxeX,來證x-PxeML事實上由條件（1）和條件（2）,對任何v-PyeM,有可見x—PxeML特別x—Px±Px且x-Px+（x—Px）,即P是XfM的投影算子.讀者利用定理4.19很容易證明投影算子的如下性質(zhì)：（1）設(shè)p：XfMjP2:XfM2是兩個投影算子，則P-p+P2為投影算子的充要條件是M11M2,此時P是XfM1十M2的投影算子.（2）設(shè)P「XfM1，P2：XfM2是兩個投影算子，則PP為投影算子的充要條件是P1P2=P2P1,此時P是X-M1nM2的投影算子.現(xiàn)在引進另一類特殊的自共軛算子正算子.【界說4.11】設(shè)X是Hilbert空間，T是X上自共軛算子，若對VxeX,有內(nèi),X>0.則稱T為正算子.記為T>9.注：（1）通過正算子的概念,我們可對自共軛算子類引進一種序，設(shè)TjT2是自共軛算子，若T1-T2>9,則記（>T2（注意T」T2不用是正算子）.（2）對X上的任何有界線性算子T,TT*及T*T都是正算子，這是因為T*Tx,X=；Tx,Tx：>0,；TT*x,x'；=-T*x,T*x-：>0（3）若T1,T2是正算子，兀N是兩個非負實數(shù)，則XT+巴也是正算子.（4）若T是正算子，則成立廣義Schwarz不等式即證明可拜會Schwarz不等式的證明過程，利用TQ+Xy）x+Xy：：>0展開,把他留作習(xí)題.【定理4.20】設(shè)T為自共軛算子，若T產(chǎn)T+1（n=1,2,…），且有常數(shù)M>0，使sup|^||<M,則存在自共軛算子ri滿足TJ強收斂n于T,即xeX,有證明：對每個x來證數(shù)列｛Tx,x）l收斂，事實上，對m>n,有且lTnx,x|<Tnx||.||x||<MIM2所以｛Tx,xj是單調(diào)上升的有界數(shù)列，于是lim：Tx,x）存在.nf8接下來證明Tx｝是X中Cauchy歹U.疇前面注中的關(guān)于正算

子的廣義Schwarz不等式應(yīng)用于Tm—T”(m>n)得因此