北郵概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)事件的獨(dú)立性4

§1.4獨(dú)立性條件概率P(AIB)是當(dāng)知道事件B發(fā)生了的條件下對(duì)事件A的概率的調(diào)整，許多時(shí)候這個(gè)調(diào)整后的P(AIB)與沒有調(diào)整過的概率P(A)有差異，這表明事件B的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率是有影響的，也就是說這兩個(gè)事件之間存在著一些關(guān)聯(lián).但有也一些場(chǎng)合也會(huì)出現(xiàn)P(A)=P(AIB)的情形.例如在上一節(jié)例1中，如果甲、乙兩車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中正品數(shù)與次品數(shù)之比相等，則有P(A)=P(AIB).再比如：例1一個(gè)袋有7個(gè)球，其中5個(gè)紅球,2個(gè)白球.從中依次取2次球,每次取一個(gè)，設(shè)B="第一次取到紅球"，A="第二次取到紅球”.如果是不放回地取球，那么P(A)豐P(AIB).如果是有放回地取球，那么P(A)=P(AIB).如果出現(xiàn)P(A)=P(AIB)的情形，則意味著事件B的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率沒有影響,這時(shí)在概率論上就說A與B是相互獨(dú)立的兩事件.注意到:如果P(B)>0,則P(A)=P(AIB)的充要條件是P(AB)=P(A)P(B)而后一式子不受P(B)>0的限制.為了避免這個(gè)限制條件，我們可用等式P(AB)=P(A)P(B)來刻劃獨(dú)立性.一.兩事件的獨(dú)立性定義設(shè)A,B為兩事件，若P(AB)=P(A)P(B)稱事件A與B相互獨(dú)立，簡稱A與B獨(dú)立,否則稱A與B不獨(dú)立或相依。由此定義易得下面結(jié)論(1)若A與B相互獨(dú)立，則A與B相互獨(dú)立；A與B相互獨(dú)立；A與B相互獨(dú)立.換言之，這4對(duì)事件中有一對(duì)獨(dú)立，則其余3對(duì)事件均相互獨(dú)立.(2)若P(A)>0,則A與B相互獨(dú)立OP(BIA)=P(B).結(jié)合(1)可知,若P(A)<1,則A與B相互獨(dú)立OP(BIA)=P(B).可見A與B相互獨(dú)立時(shí)，無論事件A發(fā)生還是不發(fā)生都不會(huì)對(duì)B發(fā)生的概率產(chǎn)生影響.⑶若P(A)=0,則A與任一事件B獨(dú)立.結(jié)合(1)可知，若P(A)=1,則A與任一事件B獨(dú)立.例2續(xù)領(lǐng)獎(jiǎng)問題.例3將一顆骰子擲兩次,記事件A="第一次出現(xiàn)1點(diǎn)"，B="第二次出現(xiàn)2點(diǎn)"，C=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為7"，D="兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，A與B獨(dú)立否？A與C獨(dú)立否？A與D獨(dú)立否？C與D獨(dú)立否？解:(1)A與B獨(dú)立；A與C獨(dú)立；A與D不獨(dú)立；C與D不獨(dú)立.以上結(jié)果中，A與B獨(dú)立根據(jù)背景便可直接判斷.C與D不獨(dú)立亦可直接判斷，這里有一個(gè)更一般的事實(shí)，在A,B的均有正概率的前提下，A與B互斥則A與B不獨(dú)立.由此可見獨(dú)立與互斥是完全不同的概念.不要混淆.例設(shè)P(A)=0.5,P(AuB)=0.8,⑴若A與B互斥，則P(B)=―；(2)若A與B獨(dú)立，則P(B)=.二.多個(gè)事件的獨(dú)立性.若三個(gè)事件A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B)；P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)那么A,B,C中任兩個(gè)事件都獨(dú)立，此時(shí)我們稱為A,B,C兩兩獨(dú)立.若A,B,C兩兩獨(dú)立，是否可推AB與C獨(dú)立？看下面例子.例4續(xù)例3,可以判斷A,B,C兩兩獨(dú)立。但AB與C互斥且概率均大于零，故AB與C不獨(dú)立?？梢娚厦鎲栴}的答案是否定的.因此有下面定義。定義設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)；P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)；P(ABC)=P(A)P(B)P(C)稱事件A,B,C相互獨(dú)立，否則稱A,B,C不相互獨(dú)立.以上定義可推廣至三個(gè)以上事件的獨(dú)立性。定義設(shè)A,A…,A為n個(gè)事件，若對(duì)任意k=2,3,…,n，及任意k個(gè)事件A,A，…,A1 2n /1 弓 ik(i1<i2<???<ij,都有P(AA…A)=P(A)-P(A)i1i2 ik i1 ik稱事件A1,A2…,A，相互獨(dú)立.由定義，可以得到下面兩個(gè)推論.(1)若事件A1,A2…,A^相互獨(dú)立，則其中任一部分事件也相互獨(dú)立.(2)若事件A,A…,A相互獨(dú)立，則將這幾個(gè)事件中任一部分事件換成它們各自的對(duì)立事1 2n件,所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立獨(dú)立性的概念是概率論中極重要的一個(gè)概念，它的重要性主要體現(xiàn)在可使概率的計(jì)算簡化，一些理論問題的處理也變得簡便。而在實(shí)際問題中，我們很少會(huì)用事件獨(dú)立的定義去驗(yàn)證是否獨(dú)立，而是依據(jù)實(shí)際背景去判斷事件之間是否相依，若可認(rèn)為事件之間沒有相依性或相依性很少以至于可以忽略，則可認(rèn)為這些事件相互獨(dú)立，從而可利用獨(dú)立性定義及獨(dú)立性所賦予的性質(zhì)去計(jì)算一些復(fù)雜事件的概率。例5(分獵物問題)甲、乙兩位獵人同時(shí)向一獵物射擊，已知甲、乙兩位獵人打中獵物的概率分別為0.5,0.6，(1)獵物被打中的概率；(2)如獵物被打中，獵物該如何分？例6(可靠性問題)系統(tǒng)由多個(gè)子系統(tǒng)組成，系統(tǒng)的可靠性(指在一定時(shí)間內(nèi)能正常工作的概率)取決于子系統(tǒng)的可靠性及系統(tǒng)的組成方式假設(shè)各個(gè)子系統(tǒng)的可靠性均為P，且各個(gè)子系統(tǒng)都獨(dú)立地工作.試求以下系統(tǒng)的可靠性.三.獨(dú)立試驗(yàn)序列模型獨(dú)立試驗(yàn)序列模型是概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的概率模型.定義若試驗(yàn)E1的任一結(jié)果(即任一事件),試驗(yàn)E2的任一結(jié)果，……,試驗(yàn)En的任一結(jié)果都相互獨(dú)立,則稱試驗(yàn)E1,E2,……,E，相互獨(dú)立.如果這樣的n個(gè)試驗(yàn)是相同的，每次試驗(yàn)可能的結(jié)果只有兩個(gè)A和A(或只考慮兩個(gè)結(jié)果),并且在每次試驗(yàn)中結(jié)果A發(fā)生的概率保持不變,則稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).在n重伯努利試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)中結(jié)果A發(fā)生的概率均為p,則結(jié)果A恰好發(fā)生k(k=0,1，…,n)次的概率為p(k)=Ckpkqn-k,q=1-pn n證明：首先考慮事件：某特定的k次試驗(yàn)出現(xiàn)結(jié)果A,另外n-k次試驗(yàn)不出現(xiàn)結(jié)果A.由試驗(yàn)的獨(dú)立性知該事件的概率為pkqn-k，又由于n次試驗(yàn)結(jié)果的序列里，包含k次試驗(yàn)出現(xiàn)結(jié)果A而另外n-k次試驗(yàn)不出現(xiàn)結(jié)果A的序列共有Ck個(gè)，且這Ck個(gè)序列是兩兩互不相n n容,故結(jié)果A恰好發(fā)生k(k=0,1, ,n)次的概率為p(k)=Ckpkqn一k以上公式稱為二項(xiàng)概率公式.例如將一骰子擲10次,那么這10次擲骰子的試驗(yàn)便是10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).如果我們關(guān)注每次試驗(yàn)中點(diǎn)數(shù)6是否出現(xiàn),這便是10重伯努利試驗(yàn).由于在每次試驗(yàn)中點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)的概率為p=1，那么由二項(xiàng)概率公式可得事件“點(diǎn)數(shù)6恰好出現(xiàn)2次”的概率為6TOC\o"1-5"\h\z1 5p(2)=C2"2"8\o"CurrentDocument"10 106 6事件”點(diǎn)數(shù)6至少出現(xiàn)2次”的概率為中Ck(1)k(5)10-k106 6k=2或1-(5)10一10義6義(|)9例7連續(xù)發(fā)送n個(gè)碼字，每碼字出錯(cuò)的概率為p(即誤碼率為p)，那么全部碼字都正確的概率為(1-p)n.至少有一個(gè)碼字出錯(cuò)的概率為1-(1-p)n.例8甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p,且p>1.若采用三局二勝制，甲取勝的概率記為p1，若采用五局三勝制，甲取勝的概率記為p2,如此若采用2n+1局n+1勝制，甲取勝的概率記為pn,(1)求p/p2,并比較p「p2的大??；⑵證明pn+1>pn.解：(1)p=p2+2p2(1-p)=3p2-2p3p=p3+3p3(1-p)+6p3(1-p)2=6p5-15p4+10p3p2-p1=3p2(p-1)2(2p-1),可見p2>p1；(2)記A表示事件“采用2n+3局n+2勝制時(shí)甲取勝”,B1表示事件“甲在前2n+1局勝n局”，B2表示事件“甲在前2n+1局勝n+1局”，B3表示事件“甲在前2n+1局勝n+1局以上”，則p1=P(A)=P(B3)PP(B2)(1—q2)+P(B1)p2pn=P(B3)PP(B2),結(jié)合P(B)=Cn+1pn+1qn,P(B)=Cnpnqn+1，可得2 2n+1 1 2n+1p—p=Cnpn+1qn+1(p—q)n+1 n2n+1又p>q,故p1>p.以上考慮的獨(dú)立試驗(yàn)序列是固定了試驗(yàn)次數(shù)還有一類常見的模型:試驗(yàn)次數(shù)事先不固定,而是達(dá)到了某種“要求”時(shí)才停止試驗(yàn),此類問題中我們常關(guān)注所需的試驗(yàn)次數(shù)這類問題稱為等待時(shí)間的問題.例9連續(xù)擲骰子直至6點(diǎn)出現(xiàn)停止試驗(yàn),那么需擲3次骰子的概率是多少?如直至6點(diǎn)出現(xiàn)2次停止試驗(yàn)，那么需擲3次骰子的概率又是多少？解：“直至6點(diǎn)出現(xiàn)，需擲3次”等同于“前2次均不出現(xiàn)6點(diǎn)，而第3次出現(xiàn)6點(diǎn)”，由試驗(yàn)的獨(dú)立性可得事件”直至6點(diǎn)出現(xiàn)，需擲3次”的概率為(5)2義1；6 6“直至6點(diǎn)出現(xiàn)2次，需擲3次”等同于“前2次中6點(diǎn)恰好出現(xiàn)1次，而第3次出現(xiàn).1516點(diǎn)”，由試驗(yàn)的獨(dú)立性可得事件”直至6點(diǎn)出現(xiàn)2次，需擲3次”的概率為2xxx；666例同時(shí)擲兩顆骰子,觀察點(diǎn)數(shù)的和，如此試驗(yàn)連續(xù)做，求和為5出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)和為7之前的概率.解：令A(yù)="前n-1次試驗(yàn)中5和7都不出現(xiàn)，而第n次試驗(yàn)出現(xiàn)5”，n那么所求的概率為P(uA)=￡P(guān)(A)=￡(1-10)n.1x4n=1n n=1 n n=1 36 36同樣可求得和為7出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)和為5之前的概率為5.另解：令A(yù)1="第1次的和為5"，A2=”第1次的和為7"A3="第1次的和既不為5也不為7”,A=”和為5出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)和為7之前”.由全概率公式有P(A)=P(A1)P(AIA1)+P(A2)P(AIA2)+P(A3)P(AIA3)而P(AIA)=1,P(AIA)=0,P(AIA3)=P(A)所以有4 10P(A)=—+(1-京)P(A)36 36

，…、2解得P(A)=5.例10(賭徒輸光問題)兩個(gè)賭徒約定:每一局輸者支付給贏者1元,直至有一方輸光就停止賭局.假設(shè)每一局甲贏的概率為a,乙贏的概率為P(a+B=1,即不考慮平局)，且各局輸贏情況互不影響.開始時(shí)甲有。元賭資，乙有b元賭資(〃,b為正整數(shù)).求甲最后嬴得所有錢的概率.解:記N=a+b,4為甲有i元賭資時(shí)最后贏得所有錢的概率,那么有p=ap+pp并且有邊界條件po=0,pN=1.解由于a+p=1,上面等式可變形為p-p=P(p-p)i+1iaii-1由p0=0,可得pp-p=p2 1a1p-p=P(p-p)=(-)2p3 2a2 1a1 p-p=()i-1p-1a1,P"p-p-(—)N-1pnn-1a1將前面i-1等式相加得p-p-p[(-)+(-)2+…+(-)i-1]i1 1aa a即p-p[1+(—)+(—)2+???+(-)i-1]i1aa ap11aw-p11aw-2a1-a再利用邊界條件Pn=1，可得1-I1p，°，21a1/N,a=2所以fB1Ta）aJ1凡